Schnittmenge von Ebenen < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:09 Di 27.06.2006 | | Autor: | VLV |
| Aufgabe | Bestimmte die Schnittmenge zweier Ebenen mit folgenden Gleichungen:
[mm] x_{1}+ x_{2}- x_{3}=1
[/mm]
[mm] 4\*x_{1}- x_{2}- x_{3}=3 [/mm] |
Ich schlage mich schon seit längerer Zeit mit dieser Aufgabe herum, aber komme leider zu keiner Lösung. Das Problem scheint bei mir schon in den ersten Schritten zu liegen.
Könnte mir jemand von euch erklären, wie man diese Aufgabe rechnet? Wäre echt super :=)
EDIT: Ich habe gerade bemerkt, dass "Lineare Algebra/Vektorrechnung" nicht gerade der passende Oberbegriff für mein Anliegen ist. Das tut mir sehr Leid, denn mir scheint ein Fehler unterlaufen zu sein.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallöchen,
nun, der meiner Meinung nach richtige Lösungsweg ist folgender:
> Bestimme die Schnittmenge zweier Ebenen mit folgenden
> Gleichungen:
>
> [mm]x_{1}+ x_{2}- x_{3}=1[/mm]
> [mm]4\*x_{1}- x_{2}- x_{3}=3[/mm]
Zunächst solltest du überprüfen, ob die Normalvektoren der Ebenen (die Koordinaten der Normalvektoren entsprechen den Koeffizienten vor [mm] x_{1},x_{2},x_{3}) [/mm] linear abhängig und damit parallel/zusammenfallend sind. Dies ist offensichtlich nicht der Fall, d.h. es gibt eine Schnittgerade. Da wir diese in Parameterdarstellung erhalten wollen, setzen wir eine beliebige Variable (in diesem Fall [mm] x_{3}) [/mm] gleich t (der Parameter der Schnittgeraden).
Nun sehen die Ebenen wie folgt aus:
[mm]x_{1}+ x_{2}- t=1[/mm]
[mm]4\*x_{1}- x_{2}- t=3[/mm]
Ein lineares Gleichungssystem ist entstanden; für die Auflösung bietet sich das Gauß'sche Eliminationsverfahren an, d.h. du addierst einfach die beiden Gleichungen, sodass [mm] x_{2} [/mm] wegfällt. Durch weiteres Umformen erhältst du nun für [mm] x_{1}:
[/mm]
[mm] x_{1}=(4-2t)/5
[/mm]
Nun setzt du diesen Ausdruck für [mm] x_{1} [/mm] in eine der beiden obigen Gleichungen ein (am besten in die erste) und erhältst durch Umformen für [mm] x_{2}:
[/mm]
[mm] x_{2}=(1-7t)/5
[/mm]
Nun hast du Lösungen für [mm] x_{1}, x_{2} [/mm] und [mm] x_{3} [/mm] - und damit die zeilenweise angeschriebenen Koordinaten der Schnittgeraden!
Stell dir einfach folgendes vor:
[mm] x=x_{1}=4/5 [/mm] - (2/5)*t
[mm] y=x_{2}=1/5 [/mm] - (7/5)*t
[mm] z=x_{3}=0 [/mm] + 1*t
Daraus kannst du unmittelbar die Schnittgerade ablesen:
s: [mm] \vec{x}=\vektor{4/5 \\ 1/5 \\ 0} [/mm] + [mm] t*\vektor{-2/5 \\ -7/5 \\ 1}
[/mm]
Eine kleine optionale Verschönerung:
s: [mm] \vec{x}=\vektor{4/5 \\ 1/5 \\ 0} [/mm] + [mm] t*\vektor{-2 \\ -7 \\ 5}
[/mm]
So, ich hoffe, dir ist jetzt geholfen!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:57 Fr 07.07.2006 | | Autor: | mathemak |
Hallo!
Die Schnittgerade ist gegeben durch:
$g: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{4/5 \\ 1/5 \\ 0 } [/mm] + [mm] r\, \vektor{2 \\ 3 \\ 5}$
[/mm]
Der Rechenfehler liegt beim Addieren und Umformen der Gleichungen!
Gruß
mathemak
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:46 Fr 27.05.2011 | | Autor: | zim_georg |
Stimmt, du hast Recht. Entschuldige!
Lg Georg
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