Schnittmenge von zwei Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:53 Sa 12.02.2005 | | Autor: | baerchen |
Hallo,
ich habe als HA auf die Schnittmenge von zwei Ebenen (Geraden) herauszufinden. Ich habe das natürlich auch gemacht ;), aber die Lösung kommt mir so komisch vor (auf Grund der Brüche).
Mag die vielleicht jemand nachrechnen und mir sagen, ob sie/er das gleiche Ergebnis raushat?
Ich würde mich freuen :)
Nun die Aufgabe 1:
-x1 + 2x2 + 5x3 =10
2x1 - 4x1 - 4x2 + x3 = 4
Meine Lösung:
[mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{10/11 \\ 0 \\ 24/11} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{- 18/11 \\ 1 \\ - 8/11}
[/mm]
Aufgabe 2:
-2x1+3x2 + 4x3 = 12
-x1+4x2 - 3x3 = 0
Meine Lösung:
[mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{- 48/47 \\ -12/47 \\ 0} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{- 21/47 \\ 30/47\\ 1}
[/mm]
Einen schönen Samstagabend wünscht euch allen
Bärchen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:49 Sa 12.02.2005 | | Autor: | dominik |
Hallo baerchen
Kannst du die erste aufgabe noch einmaldurch sehen und schauen, ob du die zweite Gleichung richtig wieder gegeben hast?
Es kommen zwei Terme mit x1 darin vor!
Viele Grüsse
dominik
> Nun die Aufgabe 1:
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> -x1 + 2x2 + 5x3 =10
>
> 2x1 - 4x1 - 4x2 + x3 = 4
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:02 Sa 12.02.2005 | | Autor: | baerchen |
Hallo Dominik,
es ist kein Schreibfehler, aber es ist mein Fehler, denn ich hätte es gleich abziehen sollen, damit es nicht zu Missverständnissen kommt.
Danke für deine Hilfe.
Liebe Grüße
Bärchen
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Hallo, baerchen,
bei der 1.Aufgabe verwundert zunächst, dass bei E2 das x1 zweimal dasteht. Warum vereinfachst Du die Ebenengleichung nicht erst zu
-2x1-4x2+x3=4?
Ich hab's getan und Deine Schnittgerade in beide Ebenen eingesetzt.
Ergebnis: Bei der ersten Ebene stimmt's, bei der zweiten nicht!
Bei Aufgabe 2 hab' ich's anders gemacht und erst mal den Richtungsvektor der Schnittgeraden ausgerechnet. Ich erhalte [mm] \vektor{5\\2\\1} [/mm] und glaube nicht, dass ich mich verrechnet habe. Egal, womit Du's multiplizierst: Auf Deinen Richtungsvektor kommst Du damit nicht.
Mal eine Frage: Kennst Du schon das Kreuzprodukt bzw. Vektorprodukt?
Dann würde Dir das bei der Lösung der Aufgabe massig helfen, weil der Richtungsvektor der Schnittgeraden damit ganz schnell auszurechnen geht!
Wenn nicht, geb' ich Dir einen anderen, guten Lösungsweg!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:43 Sa 12.02.2005 | | Autor: | baerchen |
Ich kenne das Kreuzprodukt, habe aber einen bestimmten Lösungsweg für meine Aufgabe bekommen.
Ich versuche ihn zu beschreiben, vielleicht kennst du ihn ja auch.
Erst addiere bzw. substrahiere ich die beiden Ebenen.
Dann löse ich nach x1, x2 oder x3 auf.
Einer der beiden übriggebliebenen x, also unbekannt, wird zu Lambda.
Die setze ich dann in Vektor x ein. Mein erhaltenen Verktor löse ich auf, in dem ich das Lambda herausziehe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:25 Sa 12.02.2005 | | Autor: | dominik |
[mm]1) \qquad \qquad -2x_1+3x_2+4x_3=12[/mm]
[mm]2) \qquad \qquad -x_1+4x_2-3x_3=0[/mm] verdopeln:
[mm]2') \qquad \qquad -2x_1+8x_2-6x_3=0[/mm] 1)-2'):
[mm]3) \qquad \qquad -5x_2+10x_3=12 \gdw x_3= \bruch{12+5x_2}{10}[/mm]
Nun setzen wir der Reihe nach für [mm] x_2 [/mm] eine Zahl ein und bestimmen so die Koordinaten von zwei Punkten, die zugleich in beiden Ebenen liegen:
1. Punkt: zum Beispiel:
[mm]x_2=1 \Rightarrow x_3= \bruch{12+5}{10}= \bruch{17}{10} \quad x_1=4x_2-3x_3=4- \bruch{51}{10}=- \bruch{11}{10}[/mm]
Also [mm]P \left(- \bruch{11}{10}/1/ \bruch{17}{10} \right)[/mm]
2. Punkt: zum Beispiel:
[mm]x_2=2 \Rightarrow x_3= \bruch{12+10}{10}= \bruch{22}{10} \quad x_1=4x_2-3x_3=8- \bruch{66}{10}= \bruch{14}{10}[/mm]
Also [mm]Q \left( \bruch{14}{10}/2/ \bruch{22}{10} \right)[/mm]
Mit den beiden Punkten P und Q bildest du nun die Gleichung der Geraden:
[mm] \vec{r}= \vektor{\bruch{7}{5} \\ 2\\\bruch{11}{5}}+t'*\vektor{\bruch{25}{10} \\ 1\\\bruch{5}{10}}= \vektor{\bruch{7}{5} \\ 2\\ \bruch{11}{5}}+t*\vektor{5 \\ 2\\1}[/mm]
Also wie zwerglein
Viele Grüsse
dominik
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:30 Sa 12.02.2005 | | Autor: | informix |
Hallo Bärchen,
kannst du dir vorstellen, dass es viel einfacher ist, einen Lösungsweg nachzuvollziehen als ihn gleich aufwendig selbst zu rechnen?
Damit will ich sagen, wenn du von uns schnelle Hilfe haben möchtest, dann poste doch bitte auch deinen Lösungsweg wenigstens in sinnvollen Auszügen, so dass wir sehen können, was du gerechnet hast.
Dadurch können wir auch gleich abschätzen, welches Vorwissen du mitbringst. (und brauchen nicht erst zu fragen, ob du das Kreuzprodukt schon kennst  )
Du siehst ja, welch Andrang manchmal hier ist, da ist jede Hilfestellung von den Fragenden sehr erwünscht, damit niemand allzu lange warten muss.
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