Schnittpunkt Ebene Gerade < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:06 Do 12.04.2007 | | Autor: | abiag |
| Aufgabe | | Die Gerade [mm] \vec{x}: \vektor{0 \\ 2\\3} [/mm] + [mm] \alpha \vektor{a \\ 1\\5} [/mm] durchstößt die Ebene E: [mm] \vektor{3a \\ 2\\8} [/mm] + [mm] \beta\vektor{2\\ 1\\3}+ \gamma \vektor{4 \\ -1\\-4} [/mm] im Punkt P [mm] (a\not=-10). [/mm] Berechne die Koordinaten von P |
Also ich habe die Ebene in die Koordinatenform gebracht und als Ergebnis
x-10y+6z = 3a + 8
Danach habe ich die Koordinaten des Stützvektors der Geraden für x, y, z eingesetzt:
[mm] (0+a\alpha) [/mm] - [mm] 20(2+\alpha)+6(3+5\alpha) [/mm] = 3a + 8
[mm] \alpha(a+10) [/mm] = 3a +8 /+22
[mm] \alpha(a+10) [/mm] = 3a + 30 /:(a+10)
[mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{3a+30}{a+10}
[/mm]
[mm] \alpha [/mm] = 6 ????
also die Lösung muss 3 sein. Ich glaube mein problem liegt im Kürzen des Bruchs. Könnt ihr mir sagen, wie ich den kürzen kann bzw. welche Regel dafür gilt?
Danke!!!
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Hallo,
> Die Gerade [mm]\vec{x}: \vektor{0 \\ 2\\3}[/mm] + [mm]\alpha \vektor{a \\ 1\\5}[/mm]
> durchstößt die Ebene E: [mm]\vektor{3a \\ 2\\8}[/mm] +
> [mm]\beta\vektor{2\\ 1\\3}+ \gamma \vektor{4 \\ -1\\-4}[/mm] im
> Punkt P [mm](a\not=-10).[/mm] Berechne die Koordinaten von P
> Also ich habe die Ebene in die Koordinatenform gebracht
> und als Ergebnis
>
> x-10y+6z = 3a + 8 ist die falsche Form... keine -10 sondern -20 wär richtig, du hast dann unten aber in die richtige Form eingesetzt...
>
> Danach habe ich die Koordinaten des Stützvektors der
> Geraden für x, y, z eingesetzt:
das sind nun nicht die Koordinten des SV, sondern die Koordinaten eines allgm. Ortsvektors der auf der Geraden liegt, SV wäre hier ja auch falsch.. 
>
> [mm](0+a\alpha)[/mm] - [mm]20(2+\alpha)+6(3+5\alpha)[/mm] = 3a + 8
> [mm]\alpha(a+10)[/mm] = 3a +8 /+22
> [mm]\alpha(a+10)[/mm] = 3a + 30 /:(a+10)
> [mm]\alpha[/mm] = [mm]\bruch{3a+30}{a+10}[/mm]
> [mm]\alpha[/mm] = 6 ????
>
> also die Lösung muss 3 sein. Ich glaube mein problem liegt
> im Kürzen des Bruchs. Könnt ihr mir sagen, wie ich den
> kürzen kann bzw. welche Regel dafür gilt?
Klammere im Zähler die 3 aus, dann kürzt sich a+10 und du erhälst [mm] \alpha=3 [/mm]
Setz das errechnete [mm] \alpha [/mm] in die Geradengleichung ein.
So bekommst du den Ortsvektor des gesuchten Schnittpunktes in Abhängigkeit von a natürlich.
Liebe Grüße
Andreas
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