Schnittpunkt Zylinder - Strahl < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo ihr Lieben!
Das hier ist meine erste Frage hier im Forum. Und ich kann euch versprechen, dass es nicht die leichteste sein wird.
Vorweg ist vielleicht noch zu sagen, dass ich diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt habe.
Ich versuche vergeblich einen Strahl mit einem Zylinder zum Schnitt zu bringen um dann den nächsten Schnittpunkt und die tangentiale Ebene an diesem Punkt zu errechen.
Vorgegeben sind für den Zylinder folgende Vektoren:
[mm] \vec{b} [/mm] : Vektor vom Urspung zum Mittelpunkt einer Grundseite des Zylinders
[mm] \vec{n} [/mm] : Richtungs- und Längenvektor des Zylinders, also die Achse mitten durch
r : Radius des Zylinders
Der Strahl ist durch eine Geradengleichung definiert:
[mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vec{a} [/mm] + [mm] \mu [/mm] * [mm] \vec{u}
[/mm]
Zur Berechnung des Schnittpunktes will ich jetzt zunächst einmal [mm] \mu [/mm] ausrechnen. Dafür hatte ich zwei verschiedene Ansätze gefunden. Zunächst der erste:
Nehmen wir an, dass [mm] \vec{s} [/mm] unseren Schnittpunkt darstellt und [mm] \vec{p} [/mm] der Punkt ist, den man erhält, wenn man ein Lot von [mm] \vec{s} [/mm] auf die Mittelachse des Zylinders fällt. Damit ergibt sich folgende Gleichung:
[mm] (\vec{s} [/mm] - [mm] \vec{p}) [/mm] * [mm] \vec{n} [/mm] = 0
Weiterhin gilt, dass der Abstand zwischen [mm] \vec{s} [/mm] und [mm] \vec{p} [/mm] gleich r ist. So kommen wir auf die Kugelgleichung:
[mm] (\vec{s} [/mm] - [mm] \vec{p})^{2} [/mm] = [mm] r^{2}
[/mm]
Wie zu Anfang erwähnt, wollen die den Schnittpunkt durch [mm] \mu [/mm] und der Geradengleichung ausdrücken, also ersetzen wir [mm] \vec{s} [/mm] wie folgt:
[mm] (\vec{s} [/mm] - [mm] \vec{p} )*\vec{n} [/mm] = 0
[mm] \gdw \vec{s}\vec{n} [/mm] - [mm] \vec{p}\vec{n} [/mm] = 0
[mm] \Rightarrow (\vec{a} [/mm] + [mm] \mu [/mm] * [mm] \vec{u}) [/mm] * [mm] \vec{n} [/mm] - [mm] \vec{p}\vec{n} [/mm] = 0
Ebenso kann man [mm] \vec{p} [/mm] durch eine gleichartige Gleichung der Zylinderparameter zusammensetzen. Das sieht dann so aus:
[mm] (\vec{a} [/mm] + [mm] \mu [/mm] * [mm] \vec{u}) [/mm] * [mm] \vec{n} [/mm] - [mm] (\vec{b} [/mm] + [mm] \lambda [/mm] * [mm] \vec{n}) [/mm] * [mm] \vec{n} [/mm] = 0
Das selbe kann man auch mit der andere Gleichung machen.
Zum Schluss ergibt sich eine riesige Gleichung, die gerade mal Querformat aufs Blatt passt und man kann die erste Gleichung dann nach [mm] \lambda [/mm] auflösen um sie dann in die zweite Gleichung einsetzen zu können. Dann erhält man eine quadratische Gleichung, die man per pq-Formel nach [mm] \mu [/mm] auflösen kann. Und schon hat man auch gleich die Fälle, wenn der Strahl den Zylinder nicht trifft, ihn nur einmal oder eben zweimal trifft impliziert. Leider hat das ganze so nicht funktioniert. Mein Programm hat dann ganz komische 3D-Gebilde ausgeworfen, die sich mit der Entfernung des Strahlstartpunktes geöffnet oder geschlossen haben.
Nach diesem Fehlschlag hab ich einen neuen Ansatz kreiert, der wie folgt aussieht:
Ich habe folgende Ausgangsgleichungen:
[mm] \vec{s} [/mm] = [mm] \vec{a} [/mm] + [mm] \lambda [/mm] * [mm] \vec{u} \to [/mm] für den Schnittpunkt aus der Strahlgleichung
[mm] \vec{r} [/mm] = [mm] (\vec{b} [/mm] + [mm] \mu [/mm] * [mm] \vec{n}) [/mm] - [mm] \vec{s} \to [/mm] für das Lot (als Vektor) von Schnittpunkt auf die Mittelachse des Zylinders
[mm] \vec{r}^{2} [/mm] = [mm] r^{2} \to [/mm] für die Länge dieses Lotes
[mm] \mu [/mm] = [mm] \bruch{\vec{n} * (\vec{s} - \vec{b})}{\vec{n}^{2}} \to [/mm] für die Position des Punktes auf der Mittelachse, auf den das Lot fällt
Nach ein bisschen Einsetzerei kommt man auf die folgende Formel:
[mm] \vec{r} [/mm] = [mm] (\vec{b} [/mm] + [mm] \bruch{\vec{n}*(\vec{a} + \lambda * \vec{u} - \vec{b})}{\vec{n}^{2}} [/mm] * [mm] \vec{n}) [/mm] - [mm] (\vec{a} [/mm] + [mm] \lambda [/mm] * [mm] \vec{u})
[/mm]
Da wir [mm] \vec{r} [/mm] aber nicht kennen und nur [mm] \vec{r}^{2} [/mm] bekannt ist, müssen wir die komplette Gleichung quadrieren, nachdem wir [mm] \lambda [/mm] schonmal vorsorglich ausgeklammert haben:
[mm] \vec{r} [/mm] = [mm] \lambda [/mm] * [mm] (\bruch{\vec{u}\vec{n}}{\vec{n}^{2}} [/mm] * [mm] \vec{n} [/mm] - [mm] \vec{u}) [/mm] + [mm] (\vec{b} [/mm] - [mm] \vec{a}) [/mm] + [mm] \bruch{\vec{n} * (\vec{a} - \vec{b})}{\vec{n}^{2}} [/mm] * [mm] \vec{n}
[/mm]
Nach dem Quadrieren kommt man auf eine relativ lange quadratische Gleichung, die ich jetzt nicht eintippen möchte, die aber ebenfalls leider nicht zum gewünschten Ergebnis führt.
Deswegen meine Frage an die Profis hier:
Wer hat Material dazu und kann mir einen funktionierenden Ansatz aufzeigen, mit dem ich weiterkommen könnte? Mein Problem mag nicht leicht, aber sicher zu lösen sein.
Danke schonmal an alle Interessierten und Profis, die sich meinem Problem annehmen!
|
|
| |
|
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Ich versuche vergeblich einen Strahl mit einem Zylinder zum
> Schnitt zu bringen um dann den nächsten Schnittpunkt und
> die tangentiale Ebene an diesem Punkt zu errechen.
>
> Vorgegeben sind für den Zylinder folgende Vektoren:
> [mm]\vec{b}[/mm] : Vektor vom Urspung zum Mittelpunkt einer
> Grundseite des Zylinders
> [mm]\vec{n}[/mm] : Richtungs- und Längenvektor des Zylinders, also
> die Achse mitten durch
> r : Radius des Zylinders
> mm
> Der Strahl ist durch eine Geradengleichung definiert:
> [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vec{a}[/mm] + [mm]\mu[/mm] * [mm]\vec{u}[/mm]
nimm eine Gleichung des Kreises mit wechselnden Mittelpunkten:
[mm]\left( {\overrightarrow x \; - \;\overrightarrow m } \right)^{2} \; = \;r^{2} [/mm]
wobei
[mm]
\begin{gathered}
\overrightarrow x \; = \;\overrightarrow a \; + \;\mu \;\overrightarrow u \hfill \\
\overrightarrow m \; = \;\overrightarrow b \; + \;\lambda \;\overrightarrow n \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Einsetzen und ausmultiplizieren liefert eine quadratische Gleichung in [mm]\lambda[/mm] und [mm]\mu[/mm]. Diese Gleichung löst Du nach [mm]\mu[/mm] auf. Dann erhältst Du die Lösungen in Abhängigkeit vom Parameter [mm]\lambda[/mm].
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
Hi MathePower und Danke für die Antwort.
Leider ist deine Antwort nicht ganz die Lösung auf mein Problem oder aber ich habe sie falsch verstanden.
Wenn ich deine vorgeschlagene Gleichung nach [mm] \mu [/mm] auflöse, bleibt mir ja wie gesagt immer noch der unbestimmte Parameter [mm] \lambda. [/mm] Aber ich will ja beide Parameter berechnen.
Oder bin ich gerade etwas blind, weil es schon so spät ist?
Ich brauche keine vollständig ausgerechnete Lösung, aber vielleicht noch einen Tick größeren Ansatz, der mir das ganze verständlicher macht. Denn so bin ich der Meinung, dass ich nicht beide unbekannten Parameter ausrechnen kann. Dafür bräuchte ich zwei Gleichungen, oder nicht?
|
|
|
| |
|
Hi NicTheQuick
Du musst die Zylindergleichung aufstellen, die zusammen mit der Geradengleichung ein System bildet.
Wenn [mm]\vec{i}[/mm] ind [mm]\vec{j}[/mm] zwei untereinander und auf [mm]\vec{n}[/mm] orthogonale Vektoren sind, dann ist die parametrische Vektorengleichung des Zylinders:
[mm]\vec{x}=\vec{b}+r\cos\varphi \vec{i}+r\sin\varphi \vec{j}+\lambda \vec{n}[/mm] mit [mm]\vec{i}\vec{j}=0, \qquad \vec{i}\vec{n}=0, \qquad \vec{j}\vec{n}=0[/mm]
Die Vektoren [mm]\vec{i}, \ \vec{j}[/mm] sind nicht eindeutig bestimmt, was dazu führt, dass [mm] \varphi [/mm] passend wählbar ist.
Also, wir haben
[mm]\vec{a}+\mu\cdot\vec{u}=\vec{b}+r\cos\varphi \vec{i}+r\sin\varphi \vec{j}+\lambda \vec{n}[/mm]
Hier wählen wir [mm]\varphi = 0[/mm]:
[mm]r\vec{i}=\vec{a}-\vec{b}+\mu\vec{u}-\lambda\vec{n}[/mm]
Wir eliminieren [mm] \vec{i} [/mm] einmal multiplizierend mit [mm] \vec{n} [/mm] ([mm]\vec{i}\,\vec{n}=0[/mm]) und einmal quadrierend ([mm]{\vec{i}\ }^{2}=1[/mm]). Wir erhalten 2 skalare Gleichungen in [mm] \mu [/mm] und [mm] \lambda.
[/mm]
Versuche das Ganze nachzuvollziehen!
Schöne Grüße, 
Ladis
|
|
|
| |
|
Hallo ladislauradu!
Danke für deine Bemühungen! Und ich komme auch bis auf eine Sache mit. Und zwar verstehe ich nicht ganz, wieso man [mm] \varphi [/mm] so einfach auf Null setzen kann.
Ich bin jetzt bei den zwei Gleichungen, die du beschrieben hast. War ja nicht weiter schwer.
[mm] 0=\vec{n}\vec{a}-\vec{n}\vec{b}+\mu\vec{n}\vec{u}-\lambda\vec{n}^{2} [/mm] und [mm] r^{2}=((\vec{a}-\vec{b})+\mu\vec{u}-\lambda\vec{n})^{2}
[/mm]
Jetzt muss ich also nur noch die erste Gleichung nach [mm] \lambda [/mm] auflösen, diese dann in die zweite einsetzen und die zweite nach [mm] \mu [/mm] auflösen?
Ich werde mich mal ransetzen und poste das Ergebnis anschließen wieder.
PS.: Wer Lust hat kann sich ja schonmal an das analoge Problem mit dem Kegel begeben, wobei man hier wohl einfach nur noch das [mm] r^{2} [/mm] in der zweiten Gleichung mit [mm] (\lambda [/mm] * [mm] r)^{2} [/mm] ersetzen muss, oder?
|
|
|
| |
|
Hallo NicTheQuick
> Und zwar verstehe ich nicht ganz, wieso man
> [mm]\varphi[/mm] so einfach auf Null setzen kann.
Das ist Gleichwertig mit einer bestimmten Auswahl von [mm]\vec{i}[/mm] und [mm]\vec{j}[/mm]. Wenn du diese zwei Vektoren rotierst, addierst du etwas zu [mm]\varphi[/mm]. Du rotierst so lange bis [mm]\varphi=0[/mm] wird.
Wenn das nicht richtig sein sollte, dann machst du folgendes:
[mm]r\cos\varphi\vec{i}+r\sin\varphi\vec{j}=\vec{a}-\vec{b}+\mu\vec{u}-\lambda\vec{n}[/mm]
und quadrierst diese Gleichung. Das Ergebnis ist das Gleiche.
Das weitere ist so richtig, wie du es beschrieben hast. Kompliment!
Shöne Grüße,
Ladis
|
|
|
| |
|
Ich liebe Bestätigungen! *g*
Und danke nochmals für die Erklärung mit [mm] \varphi. [/mm] Ich hab mal wieder viel zu kompliziert gedacht.
Morgen - oder besser gesagt heute - setze ich mich mal während dem Deutschunterricht damit auseinander.
|
|
|
| |
|
Ich habe die Gleichung nun fertig aufgelöst und [mm] \mu [/mm] und [mm] \mu^{2} [/mm] ausgeklammert. Der Rest ist jetzt ja simpel. Aber bevor ich diese Formel nun benutze, würde es mich interessieren, ob sie so auch richtig ist.
Dazu nehme ich mir die Zeit und schreibe sie mal ausführlich hier rein, auch wenn sie doch wirklich ziemlich lang ist. Zum Schluss habe ich dann ein bisschen substituiert.
Und los gehts!
1. [mm]0=\vec n\vec a-\vec n\vec b+\mu\vec n\vec u-\lambda\vec{n}^2[/mm]
2. [mm]r^2=((\vec a-\vec b)+\mu\vec u-\lambda\vec n)^2[/mm]
Erste Gleichung nach [mm] \lambda [/mm] aufgelöst:
1. [mm]\lambda=\bruch{\vec n(\vec a-\vec b)+\mu\vec n\vec u}{\vec{n}^2}[/mm]
Die eingesetzt in die zweite:
2. [mm]r^2=((\vec a-\vec b)+(\mu\vec u-\bruch{\vec n(\vec a-\vec b)+\mu\vec u\vec n}{\vec{n}^2}\cdot\vec n))^2[/mm]
Binomische Formel auflösen (1. Teil):
[mm]r^2=(\vec a-\vec b)^2+2(\vec a-\vec b)(\mu\vec u-\bruch{\vec n(\vec a-\vec b)+\mu\vec n\vec u}{\vec n^2}\cdot\vec n)+(\mu\vec u-\bruch{\vec n(\vec a-\vec b)+\mu\vec n\vec u}{\vec n^2}\cdot\vec n)^2[/mm]
Binomische Formel auflösen (2. Teil):
[mm]r^2=(\vec a-\vec b)^2+2(\vec a-\vec b)(\mu\vec u-\bruch{\vec n(\vec a-\vec b)+\mu\vec n\vec u}{\vec n^2}\cdot\vec n)+(\mu\vec u)^2-2(\mu\vec u)(\bruch{\vec n(\vec a-\vec b)+\mu\vec n\vec u}{\vec n^2}\cdot\vec n)+(\bruch{\vec n(\vec a-\vec b)+\mu\vec n\vec u}{\vec n^2}\cdot\vec n)^2[/mm]
Eine Kleinigkeit:
[mm]r^2=(\vec a-\vec b)^2+2(\vec a-\vec b)(\mu\vec u)-2(\vec a-\vec b)(\bruch{\vec n(\vec a-\vec b)+\mu\vec n\vec u}{\vec n^2}\cdot\vec n)+\mu^2\vec u^2-2(\mu\vec u)(\bruch{\vec n(\vec a- \vec b)+\mu\vec n\vec u}{\vec n^2}\cdot\vec n)+(\bruch{\mu\vec n\vec u}{\vec n^2}\cdot\vec n+\bruch{\vec n(\vec a-\vec b)}{\vec n^2}\cdot\vec n)^2[/mm]
Verschiedene Klammern multiplizieren:
[mm]r^2=(\vec a-\vec b)^2+\mu\cdot2(\vec a-\vec b)\vec u-2(\vec a-\vec b)(\bruch{\vec n(\vec a-\vec b)}{\vec n^2}\cdot\vec n)+2(\vec a-\vec b)(\bruch{\mu\vec u\vec n}{\vec n^2}\cdot\vec n)+\mu^2\vec u^2-2(\mu\vec u)(\bruch{\vec n(\vec a-\vec b)}{\vec n^2}\cdot\vec n)-2(\mu\vec u)(\bruch{\mu\vec u\vec n}{\vec n^2}\cdot\vec n)+\mu^2(\bruch{\vec n\vec u}{\vec n^2}\cdot\vec n)^2+2\mu(\bruch{\vec n\vec u}{\vec n^2}\cdot\vec n\cdot\bruch{\vec n(\vec a-\vec b)}{\vec n^2}\cdot\vec n)+(\bruch{\vec n(\vec a-\vec b)}{\vec n^2}\cdot\vec n)^2[/mm]
Jetzt ein paar Sachen ersetzen:
[mm]\vec m=\bruch{\vec n(\vec a-\vec b)}{\vec n^2}\cdot\vec n[/mm]
[mm]\vec p=\bruch{\vec u\vec n}{\vec n^2}\cdot\vec n[/mm]
[mm]\vec c=\vec a-\vec b[/mm]
Jetzt [mm]\mu[/mm] und [mm]\mu^2[/mm] ausklammern:
[mm]r^2=\vec c^2+\mu(2\vec c\vecu+2\vec c\vec p-2\vec u\vec m)+2\vec p\vec \m)+\mu^2(\vec p^2-\vec u^2-2\vec u\vec p)[/mm]
Die quadratische Gleichung wäre dann:
[mm] \mu^2+\mu\cdot(\bruch{2\vec c\vec u+2\vec c\vec p-2\vec u\vec m+2\vec p\vec m}{\vec p ^2-\vec u^2-2\vec u\vec p})+(\bruch{\vec c^2-2\vec c\vec m+\vec m^2-r^2}{\vec p ^2-\vec u^2-2\vec u\vec p})=0
[/mm]
Vielleicht erbarmt sich ja jemand und schaut meine "kleine" Rechnung nach. Ich denke die Rechenschritte waren klein genug.
Viele Dank!
|
|
|
| |
|
Hallo NicTheQuick,
>
> Jetzt ein paar Sachen ersetzen:
> [mm]\vec m=\bruch{\vec n(\vec a-\vec b)}{\vec n^2}\cdot\vec n[/mm]
>
> [mm]\vec p=\bruch{\vec u\vec n}{\vec n^2}\cdot\vec n[/mm]
> [mm]\vec c=\vec a-\vec b[/mm]
>
> Jetzt [mm]\mu[/mm] und [mm]\mu^2[/mm] ausklammern:
> [mm]r^2=\vec c^2+\mu(2\vec c\vecu+2\vec c\vec p-2\vec u\vec m)+2\vec p\vec \m)+\mu^2(\vec p^2-\vec u^2-2\vec u\vec p)[/mm]
>
> Die quadratische Gleichung wäre dann:
> [mm]\mu^2+\mu\cdot(\bruch{2\vec c\vec u+2\vec c\vec p-2\vec u\vec m+2\vec p\vec m}{\vec p ^2-\vec u^2-2\vec u\vec p})+(\bruch{\vec c^2-2\vec c\vec m+\vec m^2-r^2}{\vec p ^2-\vec u^2-2\vec u\vec p})=0[/mm]
Da haben sich ein paar Rechenfehler eingeschlichen.
Mit Deinen Abkürzungen ergibt sich folgende Gleichung die zu lösen ist:
[mm]
\begin{array}{l}
r^2 \; = \; < \;\overrightarrow a \; - \;\overrightarrow b \; - \;\frac{{ < \overrightarrow a \; - \;\overrightarrow b ,\;\overrightarrow n > }}{{ < \overrightarrow n ,\;\overrightarrow n > }}\;\overrightarrow n \; + \;\mu \;\left( {\overrightarrow u \; - \;\frac{{ < \overrightarrow u ,\;\overrightarrow n > }}{{ < \overrightarrow n ,\;\overrightarrow n > }}\;\overrightarrow n } \right),\;\overrightarrow a \; - \;\overrightarrow b \; - \;\frac{{ < \overrightarrow a \; - \;\overrightarrow b ,\;\overrightarrow n > }}{{ < \overrightarrow n ,\;\overrightarrow n > }}\;\overrightarrow n \; + \;\mu \;\left( {\overrightarrow u \; - \;\frac{{ < \overrightarrow u ,\;\overrightarrow n > }}{{ < \overrightarrow n ,\;\overrightarrow n > }}\;\overrightarrow n } \right) > \\
\Leftrightarrow \;r^2 \; = \; < \;\overrightarrow c \; - \;\overrightarrow p \; + \;\mu \;\left( {\overrightarrow u \; - \;\overrightarrow m } \right),\;\overrightarrow c \; - \;\overrightarrow p \; + \;\mu \;\left( {\overrightarrow u \; - \;\overrightarrow m } \right) > \; \\
\Leftrightarrow \;r^2 \; = \; < \;\overrightarrow c \; - \;\overrightarrow p ,\;\overrightarrow c \; - \;\overrightarrow p > \; + \;2\;\mu \; < \;\overrightarrow c \; - \;\overrightarrow p ,\;\overrightarrow u \; - \;\overrightarrow m > \; + \;\mu ^2 \; < \overrightarrow u \; - \;\overrightarrow m ,\;\overrightarrow u \; - \;\overrightarrow m > \\
\Leftrightarrow \;\mu ^2 \;\left( { < \overrightarrow u ,\;\overrightarrow u \; > \; - \;2\; < \overrightarrow u ,\;\overrightarrow m > \; + \; < \overrightarrow m ,\;\overrightarrow m \; > } \right)\; + \;2\;\mu \;\left( { < \overrightarrow c ,\;\overrightarrow u > \; - \; < \overrightarrow c ,\;\overrightarrow m > \; - \; < \overrightarrow p ,\;\overrightarrow u > \; + \; < \overrightarrow p ,\;\overrightarrow m > } \right)\; + \;\left( { < \overrightarrow c ,\;\overrightarrow c \; > \; - \;2\; < \overrightarrow c ,\;\overrightarrow p > \; + \; < \overrightarrow p ,\;\overrightarrow p \; > \; - \;r^2 } \right)\; = \;0 \\
\end{array}[/mm]
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:56 So 02.09.2007 | | Autor: | engineer |
> Hallo NicTheQuick,
>
> >
> > Jetzt ein paar Sachen ersetzen:
> > [mm]\vec m=\bruch{\vec n(\vec a-\vec b)}{\vec n^2}\cdot\vec n[/mm]
>
> >
> > [mm]\vec p=\bruch{\vec u\vec n}{\vec n^2}\cdot\vec n[/mm]
> > [mm]\vec c=\vec a-\vec b[/mm]
>
> >
> > Jetzt [mm]\mu[/mm] und [mm]\mu^2[/mm] ausklammern:
> > [mm]r^2=\vec c^2+\mu(2\vec c\vecu+2\vec c\vec p-2\vec u\vec m)+2\vec p\vec \m)+\mu^2(\vec p^2-\vec u^2-2\vec u\vec p)[/mm]
>
> >
> > Die quadratische Gleichung wäre dann:
> > [mm]\mu^2+\mu\cdot(\bruch{2\vec c\vec u+2\vec c\vec p-2\vec u\vec m+2\vec p\vec m}{\vec p ^2-\vec u^2-2\vec u\vec p})+(\bruch{\vec c^2-2\vec c\vec m+\vec m^2-r^2}{\vec p ^2-\vec u^2-2\vec u\vec p})=0[/mm]
>
> Da haben sich ein paar Rechenfehler eingeschlichen.
> Mit Deinen Abkürzungen ergibt sich folgende Gleichung die
> zu lösen ist:
>
> [mm]
\begin{array}{l}
r^2 \; = \; < \;\overrightarrow a \; - \;\overrightarrow b \; - \;\frac{{ < \overrightarrow a \; - \;\overrightarrow b ,\;\overrightarrow n > }}{{ < \overrightarrow n ,\;\overrightarrow n > }}\;\overrightarrow n \; + \;\mu \;\left( {\overrightarrow u \; - \;\frac{{ < \overrightarrow u ,\;\overrightarrow n > }}{{ < \overrightarrow n ,\;\overrightarrow n > }}\;\overrightarrow n } \right),\;\overrightarrow a \; - \;\overrightarrow b \; - \;\frac{{ < \overrightarrow a \; - \;\overrightarrow b ,\;\overrightarrow n > }}{{ < \overrightarrow n ,\;\overrightarrow n > }}\;\overrightarrow n \; + \;\mu \;\left( {\overrightarrow u \; - \;\frac{{ < \overrightarrow u ,\;\overrightarrow n > }}{{ < \overrightarrow n ,\;\overrightarrow n > }}\;\overrightarrow n } \right) > \\
\Leftrightarrow \;r^2 \; = \; < \;\overrightarrow c \; - \;\overrightarrow p \; + \;\mu \;\left( {\overrightarrow u \; - \;\overrightarrow m } \right),\;\overrightarrow c \; - \;\overrightarrow p \; + \;\mu \;\left( {\overrightarrow u \; - \;\overrightarrow m } \right) > \; \\
\Leftrightarrow \;r^2 \; = \; < \;\overrightarrow c \; - \;\overrightarrow p ,\;\overrightarrow c \; - \;\overrightarrow p > \; + \;2\;\mu \; < \;\overrightarrow c \; - \;\overrightarrow p ,\;\overrightarrow u \; - \;\overrightarrow m > \; + \;\mu ^2 \; < \overrightarrow u \; - \;\overrightarrow m ,\;\overrightarrow u \; - \;\overrightarrow m > \\
\Leftrightarrow \;\mu ^2 \;\left( { < \overrightarrow u ,\;\overrightarrow u \; > \; - \;2\; < \overrightarrow u ,\;\overrightarrow m > \; + \; < \overrightarrow m ,\;\overrightarrow m \; > } \right)\; + \;2\;\mu \;\left( { < \overrightarrow c ,\;\overrightarrow u > \; - \; < \overrightarrow c ,\;\overrightarrow m > \; - \; < \overrightarrow p ,\;\overrightarrow u > \; + \; < \overrightarrow p ,\;\overrightarrow m > } \right)\; + \;\left( { < \overrightarrow c ,\;\overrightarrow c \; > \; - \;2\; < \overrightarrow c ,\;\overrightarrow p > \; + \; < \overrightarrow p ,\;\overrightarrow p \; > \; - \;r^2 } \right)\; = \;0 \\
\end{array}[/mm]
>
> Gruß
> MathePower
Hallo,
erstmal vielen Dank für deine Lösung!
Nur ein kleiner Hinweis, ich denke da ist p und m vertauscht.
falls:
temp=m
m=p
p=temp
stimmt die Lösung zu 100%...
Gruesse
|
|
|
| |
|
Hallo MathePower.
Ich werde gerade nicht richtig schlau aus deiner Gleichung. Was sind das alles für Größer-Kleiner-Zeichen und Kommas? Ich blicke gerade überhaupt nicht durch, was du da aus meiner Gleichung gemacht hast.
Bedenke, dass ich noch in der 12. Klasse am Gymnasium bin. Da kennt man solche Ausdrücke noch nicht. Kannst du mir nochmal in "meiner" Schreibweise deutlich machen, was ich falsch gemacht habe?
Wie gesagt, für mich klingt das gerade alles zu sehr nach Bahnhof...
Aber vielen Dank für deine Bemühungen und dass du dich überhaupt meinem Problem angenommen hast!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:59 So 26.06.2005 | | Autor: | Astrid |
Hallo,
die Zeichen sind nichts anderes als eine andere Schreibweise für das Skalarprodukt von Vektoren, also in deiner Schreibweise:
[mm]< \vec x,\vec y> = \vec x \cdot \vec y[/mm]
Also z.B.:
[mm]< \vektor{1 \\ 2 },\vektor{4 \\ 7}> = 1 \cdot 4 + 2 \cdot 7[/mm]
Denn eigentlich gibt es z.B. [mm] $\vec a^2$ [/mm] nicht!
Hilft dir das?
Viele Grüße
Astrid
|
|
|
|
