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| Aufgabe | S sei der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden des Dreiecks. ( entspricht dem Schwerpunkt)
Zeige, dass der [mm] \overrightarrow{OS} [/mm] = 1/3 ( [mm] \overrightarrow{OA} [/mm] + [mm] \overrightarrow{OB} [/mm] + [mm] \overrightarrow{OC}) [/mm] gilt! |
Ich habe mir eine Skizze gemacht und weiß auch, dass ich das über den Ortsvektor ausrechnen muss, aber mir fehlt jeglicher Ansatz. Ich würde mich freuen, wenn mir jemand den anstoßenden Funkten geben kann.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Da die Formel symmetrisch in [mm]A,B,C[/mm] ist, genügt es zu zeigen, daß [mm]S[/mm] auf einer der drei Seitenhalbierenden liegt. Er muß dann automatisch auf allen drei Seitenhalbierenden liegen und damit deren Schnittpunkt sein.
Nehmen wir die Seitenhalbierende von [mm]AB[/mm]. Sie geht durch [mm]C[/mm] und den Mittelpunkt der Seite [mm]AB[/mm], hat also die Gleichung
[mm]\overrightarrow{OX} = \overrightarrow{OC} + \lambda \left( \frac{1}{2} \left( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} \right) - \overrightarrow{OC} \right) \, , \ \ \lambda \in \mathbb{R}[/mm]
Jetzt mußt du nur noch ein [mm]\lambda[/mm] finden, das dir
[mm]\frac{1}{3} \left( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} \right)[/mm]
liefert. Das ist aber nicht schwer zu erraten - schließlich weiß man ja von früher etwas über das Teilverhältnis, in dem [mm]S[/mm] eine Seitenhalbierende teilt. Und zugleich wird dies alles noch einmal mitbewiesen.
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das mit den Seitenhalbierenden ist mir schon klar, aber meine lehrerin sagte mir, ich muss die Formel, die ich angegeben habe, über den Nullvektor beweisen und mir helfen die Antworten leider nicht weiter. Da ich nicht gerade ein Matheass bin, hoffe ich, dass ihr mir da nochmal weiterhelfen könnt...
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Dann verrate ich es halt doch: Setze in der obigen Formel [mm]\lambda = \frac{2}{3}[/mm] und berechne den Term. Das ist schon der ganze Beweis.
Zur Übung kannst du ja entsprechend die Gleichungen der Seitenhalbierenden von [mm]BC[/mm] und [mm]CA[/mm] aufstellen und nachweisen, daß [mm]S[/mm] auch auf diesen Geraden liegt.
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ich habe die aufgabe habe ich schon lösen können. Ich habe es mit dem Nullvektor bewiesen. Ich konnte mit den Ansätzen, die ich hier bekommen habe leider nichts anfangen. Aber nach langen überlegen und Bücherdurchwelzen bin ich zur Antwort gekommen.
Danke nochmal.
MFG Claudia
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![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]"){kind=small}
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Beweis(e)