Schnittpunkt durch quadr. Gl. < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:54 Fr 01.09.2006 | | Autor: | Feeline |
| Aufgabe | Gegeben sei die Parabel y= [mm] x^2+4 [/mm] und die Gerade y=2x+b.
Bestimme b so,daß die Gerade die Parabel berührt. |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/83187,0.html
Jedoch bin ich aus der Antwort auch nicht schlauer geworden.
Meine genaue Frage ist, wie ich durch eine Rechnung und nicht durch Ausprobieren auf die exakten Ergebnisse komme und ich würde gerne erklärt haben, warum man so rechnen muss.
Ich habe schon versucht eine Gleichung aufzustellen, jedoch war alles nach dem Ausrechnen Unfug, deswegen bitte ich dringend um Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:08 Fr 01.09.2006 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
also meiner Meinung nach müssen die Steigungen der Geraden und der Parabel in einem Punkt gleich sein, damit man ein solches $b$ bestimmen kann, d.h. es muss gelten:
[mm] $(x^2+4)'=2x=2=(2x+b)'$
[/mm]
Nun kann man schnell erkennen, dass $x=1$ sein muss. Diesen Wert setzt Du nun in Deine Funktion ein:
[mm] $1^2+4=5$
[/mm]
Damit hast Du den Punkt $(1,5)$. Durch diesen Punkt muss nun auch Deine Gerade $2x+b$ laufen, genauer muss gelten:
$2*1+b=5$
Wenn Du diesen Gleichung nach $b$ auflöst, so erhälst Du $b=3$ und damit die Gerade
$2x+3$
als Lösung.
Hoffe, dass ich Dir weiterhelfen konnte
Ciao Denny
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:28 Fr 01.09.2006 | | Autor: | Feeline |
Also, ich habe noch Fragen zu deiner Rechnung :
1.Wieso wird klar, dass x = 1 ist?
[mm] 2.(x^2+4)=2x=2=(2x+b)
[/mm]
- 2.1 Wo kommen die 2x und die 2 her?
- 2.2 Wieso und wo kann man den Punkt 1.5 ablesen?
- 2.3 Was stellen die oberen Striche nach der Klammer dar und kann man die Lösung genau so schriftlich übernehmen oder fehlen noch Zwischenschritte zur Vereinfachung?
- 2.4 Die Frage lautete, was b sein muss, damit die Gerade die Parabel berührt, setzt man im taschenrechner z.B 4 ein, berühren sie sich doch auch, aber warum gibt es dann nur eine Lösung?
LG :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:40 Fr 01.09.2006 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
1. Die Steigung der Gerade und der Parabel müssen in einem Punkt übereinstimmen. Die erste Ableitung sagt etwas über die Steigung aus, daher die Ableitung.
Leitet man die Parabel und die Gerade ab, so erhält man
(' bedeutet im Übrigen "abgeleitet")
$2x$ (für die Parabel abgeleitet)
$2$ (für die Gerade abgeleitet)
Nun muss die Steigung aber in einem Punkt übereinstimmen, daher das Gleichsetzten:
$2x=2$
und diese Gleichung ist nur für $x=1$ erfüllt.
Also weißt Du, dass der Berührpunkt von der Parabel und der Geraden bei $x=1$ liegt. Da Deine Geradengleichung noch unvollständig ist (da das b noch bestimmt werden muss), verwendest Du die Parabelgleichung und setzt dort $x=1$ ein:
[mm] $1^2+4=5$
[/mm]
und erhälst den Funktionswert $y=5$. Diesen Punkt muss die Gerade auch durchlaufen. Also setzt du $x=1$ in die Geradengleichung ein und musst schlussendlich $y=5$ erhalten, also
$2*1+b=5$
Addiert man nun $-2$ auf beiden Seiten, so erhälst Du
$b=3$
Hoffe, dass hilft Dir weiter.
Ciao Denny
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:49 Fr 01.09.2006 | | Autor: | Feeline |
Herzlichen Dank, hast mir sehr geholfen und geduldig erklärt!
Liebe Grüße,
die vom Wissen Unbelastete :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:18 So 03.09.2006 | | Autor: | Feeline |
Hallo!
Was eine Ableitung ist und wie man damit die Steigung eines Funktionsgraphen berechnet habe ich noch nicht gelernt, unser Mathelehrer neigt zu Aufgabenstellungen,die wir nur mit Grundbasis der 9. komplett lösen müssen, und schon da hatten wir Mathedefizite.
Meine Rückfrage ist jetzt Folgende :
Ich habe den Graphen in meinen Taschenrechner eingegeben, und selbst wenn ich 4 oder 5 als b einsetze, schneiden sich die Kurven , müsste die Lösung denn dann nicht größer gleich 3 heißen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:20 So 03.09.2006 | | Autor: | Teufel |
Hallo.
Nein, denn schneiden heißt etwas anderes als berühren :)
Berühren heißt, dass es nur einen Schnittpunkt gibt. Wie eine Tangente eines Kreises.
EDIT:
Nun zur Lösung ohne Ableitung:
f(x)=y=x²+4
g(x)=y=2x+b
Nun gleichsetzen:
x²+4=2x+b
x²-2x+4-b=0
p-q-Formel:
[mm] x_{1,2}=1\pm\wurzel{1-4+b}
[/mm]
Und es gibt ja genau einen Schnittpunkt, wenn unter wer Wurzel 0 rauskommt, da man dann 1+0 und 1-0 hätte.
Also muss 1-4+b=-3+b=0 gelten.
b ist demnach 3.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:32 So 03.09.2006 | | Autor: | Feeline |
Also dann hab ich jetzt noch einmal eine Frage, ich habe gerade noch mal bei Wikipedia rumgeklickt und da stand
' Zu beachten ist, dass eine Kurventangente mit der zugehörigen Kurve weitere Punkte gemeinsam haben kann.'
Trifft das denn nicht auf meine Aufgabe zu?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:35 So 03.09.2006 | | Autor: | Teufel |
Hallo.
Nein bei dir ist das nicht so, aber bei Funktionen wie f(x)=x³ wäre das so.
Da ist es nicht vermeidbar, dass eine Tangente an einem Punkt den Grafen nochmal schneidet (außer bei O(0|0)).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:37 So 03.09.2006 | | Autor: | Feeline |
Könntest du mir das mit
$ [mm] x_{1,2}=1\pm\wurzel{1-4+b} [/mm] $ nochmal erklären?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:42 So 03.09.2006 | | Autor: | Teufel |
Ok also:
x²-2x+4-b=0
Die allgemeine p-q-Formel ist ja:
x²+px+q=0
[mm] x_{1,2}=-\bruch{p}{2}\pm \wurzel{\bruch{p²}{4}-q}.
[/mm]
Und bei
x²-2x+4-b=0
ist das p nur -2 und q=4-b.
Also:
[mm] x_{1,2}=-\bruch{-2}{2}\pm \wurzel{\bruch{4}{4}-(4-b)}=1\pm \wurzel{1-4+b}.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:46 So 03.09.2006 | | Autor: | Feeline |
$ [mm] x_{1,2}=-\bruch{-2}{2}\pm \wurzel{\bruch{4}{4}-(4-b)}=1\pm \wurzel{1-4+b}. [/mm] $
Und wieso steht hinter dem x 1,2 und was bedeutet das + mit Unterstrich?
Sorry ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:55 So 03.09.2006 | | Autor: | Teufel |
Du kennst doch die p-q-Formel oder? Die ist extra dazu da, um Gleichungen wie x²+px+q=0 zu lösen.
Und bei dieser Art Gleichungen können 0, eine oder 2 Lösungen auftreten.
Man könnte es auch so schreiben:
[mm] x_{1}=-\bruch{p}{2}+\wurzel{\bruch{p²}{4}-q}
[/mm]
[mm] x_{2}=-\bruch{p}{2}-\wurzel{\bruch{p²}{4}-q}
[/mm]
Und bei
[mm] x_{1,2}=-\bruch{p}{2}\pm\wurzel{\bruch{p²}{4}-q}
[/mm]
Werden diese beiden Lösungen nur zusammengefasst.
[mm] \pm [/mm] heißt nur Plusminus :)
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
,
Ableitung