Schnittpunkt mit Parallelogram < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Trifft die Gerade [mm]g: \vec x = \begin{pmatrix} 6 \\ 12 \\ 10 \end{pmatrix} + t * \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}[/mm] die Fläche des Parallelogramms ABCD mit A(2/1/0) und [mm] AB = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 8 \end{pmatrix} ; AD = \begin{pmatrix} 1 \\ 6 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm] Begründe deine Antwort! |
Hallo, zunächst einmal sollen AB und AD Vektoren sein, aber ich hab das irgendwie nicht hinbekommen =/
Zur Aufgabe: mithilfe des Vektors [mm]AD[/mm] und dem Punkt A habe ich den Punkt D berechnet, welcher die Koordinaten (3/7/2) besitzt. Warum ich ihn errechnete, weiß ich selbst nicht so genau :)
Dann habe ich die Ebene gebildet, in welcher sich das Parallelogramm befindet:
[mm] E : \vec x = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + r *\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 8 \end{pmatrix} + s * \begin{pmatrix} 1 \\ 6 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm]
Diese hab ich nun mit [mm] g : \vec x [/mm] gleichgesetzt, um den Schnittpunkt der Geraden mit der Ebene zu ermitteln:
(1) 2 + 3r + s=6 + t
(2) 1 + 6s=12 + 2t
(3) 8r + 2s=10 + 3t
Die Lösungen dieses LGS lauten:
[mm] r=\bruch{1}{2}[/mm]
[mm]s=\bruch{3}{2}[/mm]
[mm]t=-1 [/mm]
Nun hab ich t in [mm]g : \vec x[/mm] eingesetzt, sodass letztendlich der Schnittpunkt S(5/10/7) herauskam.
Nun zur eigentlichen Frage:
Ich habe begründet, dass der Schnittpunkt der Geraden mit der Ebene außerhalb des Parallelogramms liegen muss, da die [mm] x_{2}[/mm]-Koordinate höher ist als sämtliche [mm]x_{2}[/mm]-Koordinaten der Eckpunkte des Parallelogramms. Daher kann der Punkt unmöglich in der Fläche desselben liegen.
Nun hat meine Lehrerin mir das angestrichen und "unvollständig" daneben geschrieben (und mir 2 Punkte dafür abgezogen ^^).
Sie begründete das damit, dass diese Erklärung im 3-Dimensionalen Raum nicht unbedingt hinreichend ist. Auf mein "Warum?" konnte sie leider keine allzu konkrete Antwort liefern.
meine frage: wieso ist meine Erläuterung nicht ausreichend?
Ich danke für Antworten,
Melvissimo
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Hallo Melvissimo,
> Trifft die Gerade [mm]g: \vec x = \begin{pmatrix} 6 \\ 12 \\ 10 \end{pmatrix} + t * \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}[/mm]
> die Fläche des Parallelogramms ABCD mit A(2/1/0) und [mm]AB = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 8 \end{pmatrix} ; AD = \begin{pmatrix} 1 \\ 6 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm]
> Begründe deine Antwort!
> Hallo, zunächst einmal sollen AB und AD Vektoren sein,
> aber ich hab das irgendwie nicht hinbekommen =/
>
> Zur Aufgabe: mithilfe des Vektors [mm]AD[/mm] und dem Punkt A habe
> ich den Punkt D berechnet, welcher die Koordinaten (3/7/2)
> besitzt. Warum ich ihn errechnete, weiß ich selbst nicht
> so genau :)
> Dann habe ich die Ebene gebildet, in welcher sich das
> Parallelogramm befindet:
> [mm]E : \vec x = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + r *\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 8 \end{pmatrix} + s * \begin{pmatrix} 1 \\ 6 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Diese hab ich nun mit [mm]g : \vec x[/mm] gleichgesetzt, um den
> Schnittpunkt der Geraden mit der Ebene zu ermitteln:
> (1) 2 + 3r + s=6 + t
> (2) 1 + 6s=12 + 2t
> (3) 8r + 2s=10 + 3t
>
> Die Lösungen dieses LGS lauten:
> [mm]r=\bruch{1}{2}[/mm]
>
> [mm]s=\bruch{3}{2}[/mm]
>
> [mm]t=-1[/mm]
>
> Nun hab ich t in [mm]g : \vec x[/mm] eingesetzt, sodass letztendlich
> der Schnittpunkt S(5/10/7) herauskam.
>
> Nun zur eigentlichen Frage:
> Ich habe begründet, dass der Schnittpunkt der Geraden mit
> der Ebene außerhalb des Parallelogramms liegen muss, da
> die [mm]x_{2}[/mm]-Koordinate höher ist als sämtliche
> [mm]x_{2}[/mm]-Koordinaten der Eckpunkte des Parallelogramms. Daher
> kann der Punkt unmöglich in der Fläche desselben liegen.
>
> Nun hat meine Lehrerin mir das angestrichen und
> "unvollständig" daneben geschrieben (und mir 2 Punkte
> dafür abgezogen ^^).
>
> Sie begründete das damit, dass diese Erklärung im
> 3-Dimensionalen Raum nicht unbedingt hinreichend ist. Auf
> mein "Warum?" konnte sie leider keine allzu konkrete
> Antwort liefern.
>
> meine frage: wieso ist meine Erläuterung nicht
> ausreichend?
Betrachte die Punkte A, B und D.
Für welche Parameterwerte (r,s) erreichst Du diese Punkte?
Dann hast Du Bereiche für r und s.
Anhand derer Bereiche, kannst Du entscheiden,
ob der Schnittpunkt innerhalb oder ausserhalb
des Parallelogramms liegt.
>
> Ich danke für Antworten,
> Melvissimo
Gruss
MathePower
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Hallo, danke erstmal für deine Antwort.
Irgendwie bin ich gerade unfähig dazu...
für A(2/1/0) muss r=s=0 sein
und für D(3/7/2) muss r=0 und s=1 sein
für B(5/1/8) ist r=1 und s=0.
also dürfen sich die Parameter im Bereich von 0-1 bewegen?
muss ich dann prüfen, ob r und s zwischen 0 und 1 liegen, falls ich den schnittpunkt der Geraden einsetze?
da ich r und s für den Schnittpunkt schon ausgerechnet habe
(r=0,5, s=1,5)
liegt er wegen dem Parameter s nicht auf dem Parallelogramm?
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Hallo Melvissimo,
> Hallo, danke erstmal für deine Antwort.
>
> Irgendwie bin ich gerade unfähig dazu...
>
> für A(2/1/0) muss r=s=0 sein
>
> und für D(3/7/2) muss r=0 und s=1 sein
>
> für B(5/1/8) ist r=1 und s=0.
>
> also dürfen sich die Parameter im Bereich von 0-1
> bewegen?
So ist es.
>
> muss ich dann prüfen, ob r und s zwischen 0 und 1 liegen,
> falls ich den schnittpunkt der Geraden einsetze?
Ja.
>
> da ich r und s für den Schnittpunkt schon ausgerechnet
> habe
> (r=0,5, s=1,5)
> liegt er wegen dem Parameter s nicht auf dem
> Parallelogramm?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:05 So 27.06.2010 | | Autor: | Melvissimo |
ich danke euch für eure Hilfe, nun ist mir einiges etwas klarer ^^
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:00 So 27.06.2010 | | Autor: | abakus |
> Trifft die Gerade [mm]g: \vec x = \begin{pmatrix} 6 \\ 12 \\ 10 \end{pmatrix} + t * \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}[/mm]
> die Fläche des Parallelogramms ABCD mit A(2/1/0) und [mm]AB = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 8 \end{pmatrix} ; AD = \begin{pmatrix} 1 \\ 6 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm]
> Begründe deine Antwort!
> Hallo, zunächst einmal sollen AB und AD Vektoren sein,
> aber ich hab das irgendwie nicht hinbekommen =/
>
> Zur Aufgabe: mithilfe des Vektors [mm]AD[/mm] und dem Punkt A habe
> ich den Punkt D berechnet, welcher die Koordinaten (3/7/2)
> besitzt. Warum ich ihn errechnete, weiß ich selbst nicht
> so genau :)
> Dann habe ich die Ebene gebildet, in welcher sich das
> Parallelogramm befindet:
> [mm]E : \vec x = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + r *\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 8 \end{pmatrix} + s * \begin{pmatrix} 1 \\ 6 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Diese hab ich nun mit [mm]g : \vec x[/mm] gleichgesetzt, um den
> Schnittpunkt der Geraden mit der Ebene zu ermitteln:
> (1) 2 + 3r + s=6 + t
> (2) 1 + 6s=12 + 2t
> (3) 8r + 2s=10 + 3t
>
> Die Lösungen dieses LGS lauten:
> [mm]r=\bruch{1}{2}[/mm]
>
> [mm]s=\bruch{3}{2}[/mm]
>
> [mm]t=-1[/mm]
>
> Nun hab ich t in [mm]g : \vec x[/mm] eingesetzt, sodass letztendlich
> der Schnittpunkt S(5/10/7) herauskam.
>
> Nun zur eigentlichen Frage:
> Ich habe begründet, dass der Schnittpunkt der Geraden mit
> der Ebene außerhalb des Parallelogramms liegen muss, da
> die [mm]x_{2}[/mm]-Koordinate höher ist als sämtliche
> [mm]x_{2}[/mm]-Koordinaten der Eckpunkte des Parallelogramms.
Hast du dazu auch die Koordinaten von C berechnet?
Daher
> kann der Punkt unmöglich in der Fläche desselben liegen.
Da gebe ich dir zwar recht, aber es ist kein bekannter mathematischer Satz. Deine Folgerung ist anschaulich "offensichtlich", aber muss auch exakt hergeleitet werden.
In dem Sinne ist es wohl eine gute Idee, aber eben nicht vollständig gelöst. Ob man dafür einen oder zwei Punkte abzieht, möchte ich aus der Ferne nicht beurteilen.
Viele Grüße
Abakus
>
> Nun hat meine Lehrerin mir das angestrichen und
> "unvollständig" daneben geschrieben (und mir 2 Punkte
> dafür abgezogen ^^).
>
> Sie begründete das damit, dass diese Erklärung im
> 3-Dimensionalen Raum nicht unbedingt hinreichend ist. Auf
> mein "Warum?" konnte sie leider keine allzu konkrete
> Antwort liefern.
>
> meine frage: wieso ist meine Erläuterung nicht
> ausreichend?
>
> Ich danke für Antworten,
> Melvissimo
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