Schnittpunkt von zwei Graphen < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] fs(x)=e^{2x}-2s*e^{x}-3s² [/mm] x [mm] \in [/mm] R und [mm] s\in [/mm] R Schaubild Ks
Die Kurven Ks1 und Ks2 sollen genau einen Punktgemeinsam haben. Geben sie dafür eine möglichst einfache Beziehung zwischen s1 und s2 an.
A(xa/ya) ist ein Punkt auf Ks, B(xb/yv) ist ein Punkt auf K(-s). Bestimmen sie s in Abhängigkeut von xa und xb so, das die Tagente in A an Ks parrallel zur Tangente in B an K-s ist. |
Hallo habe mit der oben stehenden Aufgabenteil Probleme. Beim ersten Teil muss man ja Ks1=Ks2 setzen. Das würde dann so ausehen: [mm] e^{2x}-2s1*e^{x}-3s1²=e^{2x}-2s2*e^{x}-3s2²
[/mm]
Würde als nächstes dann [mm] -e^{2x} [/mm] mach sodass nur noch [mm] 2s1*e^{x}-3s1²=2s2*e^{x}-3s2² [/mm] stehen bleibt. Aber jetzt weis ich nicht wie weiter machen muss. Denn ausklammern nützt mir hier auch nicht viel.
Beim zweiten Teil der Aufgabe müssen ja die Anstiege gleich sein damit den Tangenten in den Punkten parrallel verlaufen. Als erstes habe ich die erste Ableitung gebildet: [mm] 2*e^{2x}-2s*e^{x} [/mm] für Ks und für K-s [mm] 2*e^{2x}+2s*e^{x}
[/mm]
Jetzt würde ich xa nehmen und in f' einsetzen [mm] mt=2*e^{2xa}-2s*e^{xa} [/mm] und jetzt xb nehmen und in die Ableitung von K-s einsetzen: [mm] mh=2*e^{2xb}+2s*e^{xb}. [/mm] mt und mh sind von mir jetzt ausgedachte Bezeichungen für die Anstiege. Habe zwar jetzt die Anstiege von den beiden Tagenten an den beiden Stellen, weiß jetzt aber nicht wie ich weiter machen muss damit sie gleich werden.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:41 Fr 19.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo mathpower!
> Würde als nächstes dann [mm]-e^{2x}[/mm] mach sodass nur noch
> [mm]2s1*e^{x}-3s1²=2s2*e^{x}-3s2²[/mm] stehen bleibt. Aber jetzt
> weis ich nicht wie weiter machen muss. Denn ausklammern
> nützt mir hier auch nicht viel.
Das mit Ausklammern kommt später ... bringe zunächst alles auf eine Seite der Gleichung:
[mm] $3s_2^2-3s_1^2+s_2*2e^x-s_1*2e^x [/mm] \ = \ 0$
Und nun beginnen wir mit Ausklammern:
[mm] $3*\left(s_2^2-s_1^2\right)+2e^x*\left(s_2-s_1\right) [/mm] \ = \ 0$
Wenn Du nun auf die erste Klammer die 3. binomische Formel anwendest, kannst Du nochmals ausklammern, und zwar: [mm] $\left(s_2-s_1\right)$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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So wenn ich ausklammere bekomme ich: ( [mm] s_{1}-s_{2})*((3*(s_{1}-s_{2})+2e^{x})=0
[/mm]
Normalerweise deviert man mit den ausgeklammerten sodass nur noch [mm] (3*(s_{1}-s_{2})+2e^{x})=0 [/mm] stehen bleibt. Oder sehe ich das falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:09 Fr 19.05.2006 | | Autor: | M.Rex |
> So wenn ich ausklammere bekomme ich: (
> [mm]s_{1}-s_{2})*((3*(s_{1}-s_{2})+2e^{x})=0[/mm]
>
> Normalerweise deviert man mit den ausgeklammerten sodass
> nur noch [mm](3*(s_{1}-s_{2})+2e^{x})=0[/mm] stehen bleibt. Oder
> sehe ich das falsch?
>
Nein, das ist korrekt. Ich würde nur, wenn du durch einen Term mit variablen teilst, eine Fallunterscheidung machen, dass du nicht durch null teilst. Hier in dem Fall ist das aber unnötig, denn wenn [mm] s_{1} [/mm] = [mm] s_{2} [/mm] gilt, sind die Funktionen ja eh komplett gleich.
Gruss
Marius
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Das ich manchmal eine Fallunterscheidung machen muss ict mir klar. Aber wo weis ich denn jetzt auf einmal her das s1=s2 ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:24 Fr 19.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo mathpower!
Die Fallunterscheidung ist hier nicht nötig. Denn gemäß Voraussetzung der Aufgabenstellung gilt [mm] $s_1 [/mm] \ [mm] \not= [/mm] \ [mm] s_2$ [/mm] und damit auch: [mm] $s_1-s_2 [/mm] \ [mm] \not= [/mm] \ 0$ .
Von daher darfst Du durch den Term [mm] $\left(s_1-s_2\right)$ [/mm] auch "ungestraft" teilen.
Gruß
Loddar
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Also kann man wohl sagen das [mm] (3\cdot{}(s_{1}-s_{2})+2e^{x})=0 [/mm] die einfache Beziehung zwischen s1 und s2 ist?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:32 Fr 19.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo mathpower!
Das ist nun Geschmackssache ... vielleicht wird aber auch noch erwartet, dass hier noch nach [mm] $s_1 [/mm] \ = \ ...$ oder [mm] $s_2 [/mm] \ = \ ...$ umgestellt wird.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:42 Fr 19.05.2006 | | Autor: | mathpower |
Wenn ich das mache bekomme ich s1=- [mm] \bruch{2}{3}*e^{x}+s2
[/mm]
s2= [mm] \bruch{2}{3}*e^{x}+s1
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:15 Fr 19.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo mathpower!
Da ist aber (zumindest im Vergleich zu meiner Rechnung) noch ein falsches Vorzeichen drin.
Es muss heißen: [mm](s_{1}-s_{2})*\left[(3*(s_{1}\red{+}s_{2})+2e^{x}\right] \ = \ 0[/mm]
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:07 Fr 19.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo mathpower!
Auch hier ist die Vorgehensweise ähnlich:
[mm] $2*e^{2x_a}-2s*e^{x_a} [/mm] \ = \ [mm] 2*e^{2x_b}+2s*e^{x_b}$
[/mm]
Zunächst durch $2_$ teilen und anschließend alles mit $s_$ auf die linke Seite, der Rest nach rechts:
[mm] $-s*e^{x_b}-s*e^{x_a} [/mm] \ = \ [mm] e^{2x_b}-e^{2x_a}$
[/mm]
Links $-s_$ ausklammern und rechts wieder 3. binomische Formel.
Bedenke, dass gilt: [mm] $e^{2a} [/mm] \ = \ [mm] \left(e^a\right)^2$
[/mm]
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:23 Fr 19.05.2006 | | Autor: | mathpower |
[mm] -s*(e^{xb}+e^{xa})=(e^{xb}+e^{xa})*(e^{xb}-e^{xa})
[/mm]
Jetzt kann ich ja dividiren und erhalte: [mm] -s=(e^{xb}-e^{xa})
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:32 Fr 19.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
Nun also die Gleichung noch mit $(-1)_$ multiplizieren ...
Gruß
Loddar
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[mm] s=(-e^{xb}+e^{xa})
[/mm]
Das heoßt also wenn s wie oben angeben ist, dann sind die Tangenten in A bzw B parrallel zu einander?
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also, ich kann das mal so übertragen... wie ich das gelernt habe.
und demnach ist das genau richtig so...
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