Schnittpunkt zweier Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:24 Di 12.06.2007 | | Autor: | Hume |
| Aufgabe | Zwei Ebenen [mm] $E_1$ [/mm] und [mm] $E_2$ [/mm] sind durch ihre Parameterdarstellungen gegeben:
[mm] $E_1=\overrightarrow{x}=\vektor{-1 \\ 2 \\ 1} [/mm] + r [mm] \vektor{3 \\ 0 \\ -1} [/mm] + s [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0}$
[/mm]
[mm] $E_2=\overrightarrow{x}=\vektor{2 \\ 0 \\ -1} [/mm] + t [mm] \vektor{1 \\ -2 \\ 0} [/mm] + v [mm] \vektor{0 \\ -1 \\ 0}$
[/mm]
Berechne den Schnittpunkt beider Ebenen! |
Hallo,
um den Schnittpunkt der zwei Ebenen zu ermitteln, habe ich beide Ebenengleichungen gleichgesetzt und das daraus resultierende Gleichungssystem teilweise gelöst. Es ergaben sich folgende Lösungen:
$r=2$
$t=3$
$s=-8-v$
Diese Lösungen in die erste Ebenengleichung eingesetzt, ergibt
[mm] $E_1=\overrightarrow{x}=\vektor{-1 \\ 2 \\ 1} [/mm] + 2 [mm] \vektor{3 \\ 0 \\ -1} [/mm] + (-8-v) [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0}$,
[/mm]
was sich meinen Berechnungen nach zu folgendem umformen lässt:
[mm] $E_1=\overrightarrow{x}=\vektor{5 \\ 2 \\ -1} [/mm] -v [mm] \vektor{0 \\ -8 \\ 8}$
[/mm]
Aber wie kann ich jetzt den letzten Parameter $v$ und damit die Koordinaten des Schnittpunktes berechnen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Hume!
Ich begrüße dich in diesem Forum mit einem herzlichen ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> [mm]E_1=\overrightarrow{x}=\vektor{5 \\ 2 \\ -1} -v \vektor{0 \\ -8 \\ 8}[/mm]
>
> Aber wie kann ich jetzt den letzten Parameter [mm]v[/mm] und damit
> die Koordinaten des Schnittpunktes berechnen?
Kleiner Hinweis: Zwei Ebenen bilden, wenn sie nicht parallel zueinander verlaufen, keinen Schnittpunkt, sondern eine Schnittgerade. Das was du dort ermittelt hast sieht meines Erachtens doch sehr nach einer Geradengleichung aus. Demnach wärest du (sofern die Geradengleichung richtig ist - ich hab es nicht nachgerechnet) schon fertig mit der Aufgabe.
Gruß,
Tommy
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:35 Di 12.06.2007 | | Autor: | Hume |
Also ich glaube bei dieser Aufgabe sollte ein Schnittpunkt vorliegen. Selbst wenn nicht, müsste man dann nicht irgendwie zeigen, dass das Gleichungssystem nicht weiter lösbar ist?
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Hiho,
nein, da liegst du falsch.
Wenn du prüfst, ob sich 2 Geraden schneiden, gibt es 3 Möglichkeiten:
1.) Sie schneiden sich nicht. Dann hättest du aber einen Widerspruch in deinem Gleichungssystem rausbekommen
2.) Sie schneiden sich mit [mm] E_1 \not= E_2, [/mm] dann gibt es eine Schnittgerade
3.) Sie sind gleich, also [mm] E_1 [/mm] = [mm] E_2, [/mm] dann bekommst du eine "Schnittebene" (trivialerweise).
Und du musst nicht zeigen, daß dein Gleichungssystem nicht weiter aufgelöst werden kann, das ergibt sich aus der Theorie der Gleichungssysteme:
3 Gleichungen, 4 Unbekannte => 1 Unbekannte bleibt übrig.
Genau das ist ja bei dir der Fall.
MfG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:55 Di 12.06.2007 | | Autor: | Hume |
Wieso Geraden? Es geht doch um Ebenen...
> 3 Gleichungen, 4 Unbekannte => 1 Unbekannte bleibt übrig.
Heißt das, ich hätte von Anfang an sagen können, dass das Gleichungssystem nicht lösbar ist und dass ein Schnittpunkt nicht existiert?
Und eine Sache verstehe ich nicht ganz: Wenn ich zwei Ebenengleichungen gleichsetze, dann habe ich doch immer 4 verschiedene Parameter / Variablen, wie soll ich das Gleichungssystem dann lösen?
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> Wieso Geraden? Es geht doch um Ebenen...
Ja, aber der "Schnittpunkt" zweier Ebenen ist eine Gerade. Halte doch mal 2 DINA4-Blätter in die Luft und versuche sie sich nur in einem Punkt schneiden zu lassen, dann wirst du sehen, daß nur diese 3 Fälle auftreten können.
> > 3 Gleichungen, 4 Unbekannte => 1 Unbekannte bleibt übrig.
>
> Heißt das, ich hätte von Anfang an sagen können, dass das
> Gleichungssystem nicht lösbar ist und dass ein Schnittpunkt
> nicht existiert?
Ja, das Gleichungssystem ist nicht eindeutig lösbar, du wirst immer eine Variable nicht rausbekommen. D.h. aber auch, daß du nie einen eindeutigen "Schnittpunkt" rausbekommst, sondern unendlich viele Punkte, die sich auf einer Geraden oder Ebene anordnen, oder gar keine Lösung.
> Und eine Sache verstehe ich nicht ganz: Wenn ich zwei
> Ebenengleichungen gleichsetze, dann habe ich doch immer 4
> verschiedene Parameter / Variablen, wie soll ich das
> Gleichungssystem dann lösen?
Wie wir gerade Festgestellt haben, lässt sich das Gleichungssystem nicht eindeutig lösen.
MfG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:13 Di 12.06.2007 | | Autor: | Hume |
Oh mann...
sorry Leute, jetzt wird mir gerade alles klar! Wenn sich zwei Ebenen schneiden ergibt sich ja als "Schnittpunkt" immer eine Gerade, d.h. das was ich oben ausgerechnet habe ist tatsächlich schon die Lösung, halt in Form einer Geradengleichung.
Danke!
Es wäre nett wenn vielleicht noch jemand die Werte überprüfen könnte, da das die Erste Aufgabe dieser Art war, die ich gelöst habe und ich gerne wissen möchte ob das so nun wirklich korrekt ist.
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Hiho,
guck dir mal die letzte Umformung nochmal an, ansonsten scheint alles zu stimmen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:13 Di 12.06.2007 | | Autor: | Hume |
Beim letzten Schritt war ich mir auch nicht ganz sicher. Ich versuch's mal schrittweise:
Die Ergebnisse des Gleichungssystem in die erste Ebenengleichung eingesetzt:
[mm] \overrightarrow{x}=\vektor{-1 \\ 2 \\ 1}+2 \vektor{3 \\ 0 \\ -1} [/mm] + (-8-v) [mm] \vektor{0\\ 1 \\0}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{x}=\vektor{-1 \\ 2 \\ 1}+\vektor{6 \\ 0 \\ -2} [/mm] + (-8-v) [mm] \vektor{0\\ 1 \\0}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{x}=\vektor{5 \\ 2 \\ -1}+ [/mm] (-8-v) [mm] \vektor{0\\ 1 \\0}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{x}=\vektor{5 \\ 2 \\ -1}- [/mm] v [mm] \vektor{0\\ -8 \\0}
[/mm]
Damit liegt der Schnittpunkt der zwei Ebenen in Form der Geradengleichung
g : [mm] \overrightarrow{x}=\vektor{5 \\ 2 \\ -1}- [/mm] v [mm] \vektor{0\\ -8 \\0}; [/mm] v [mm] \in \IR
[/mm]
vor.
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> Damit liegt der Schnittpunkt der zwei Ebenen in Form der
> Geradengleichung
>
> g : [mm]\overrightarrow{x}=\vektor{5 \\ 2 \\ -1}-[/mm] v [mm]\vektor{0\\ -8 \\0};[/mm]
> v [mm]\in \IR[/mm]
>
> vor.
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") So ist es.
Auf das gleiche Ergebnis wärest du auch gekommen, wenn du einfach deine Lösung r=2 in die erste Ebenengleichung eingesetzt hättest. Die Gerade hätte nur eben den Parameter s anstatt v gehabt, aber das ist ja nicht von Bedeutung.
Gruß,
Tommy
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Oder ums noch schöner zu begründen....
mit [mm] v\in\IR[/mm] beliebig, ist auch [mm]v' = -8-v \in\IR[/mm] beliebig und damit ergibt sich:
[mm]g : \overrightarrow{x}=\vektor{5 \\ 2 \\ -1} + v'\vektor{0\\ 1 \\0}[/mm]
Ist letztendlich das Gleiche, sieht nur schöner aus 
MfG,
Gono.
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