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| Aufgabe | | Welcher Kreis [mm] K_{3} [/mm] geht durch die Schnittpunkte der Kreise [mm] K_{1}:(x_{1}-5)²+(x_{2}-4)²=49 [/mm] und [mm] K_{2}:(x_{1}-2)²+(x_{2}-1)²=25 [/mm] und hat seinen Mittelpunkt auf der Geraden zu [mm] 3x_{1}-5x_{2}=7? [/mm] |
Hallo ,
also ich bräuchte mal Hilfe bei dieser Aufgabe. Ich sitze schon lange - aber ich finde keinen Ansatz, der mich weiter bringt und würd mich darüber mal freuen!
Bitte helft mir =)
Viele Grüße
Informacao
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:40 Sa 23.09.2006 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
[mm] x_{1}=x
[/mm]
[mm] x_{2}=y
[/mm]
Erstmal die beiden Schnittpunkte der Kreise Berechnen!
[mm] K_{1}:(x-5)²+(y-4)²-49=0
[/mm]
[mm] K_{2}:(x-2)²+(y-1)²-25=0
[/mm]
(x-5)²+(y-4)²-49=(x-2)²+(y-1)²-25
Das müsstest du alles auflösen, und x² und y² würde sich wegkürzen. Nach etwas vereinfachen kommst du auf: y=2-x.
Auf dieser Geraden liegen die Schnittpunkte der Kreise. Also musst du diese Gerade nochmal in einen Kreis einsetzen (die Schnittpunkte mit dem Kreis und der Gerade sind also gleichzeitig die Schnittpunkte beider Kreise). Danach kommst du 2 y-Werte. Diese beiden y-Werte kannst du dann wieder in y=2-x einsetzen um noch x herauszukriegen.
Du solltest dann auf A(-2|4) und B(5|-3) als Schnittpunkte kommen.
Jetzt ist es Zeit die Kreisgleichung zu bestimmen!
Diese beiden Punkte kannst du in eine allgemeine Kreisgleichung einsetzen.
[mm] c=x_{M}, d=y_{M}
[/mm]
(-2-c)²+(4-d)²=r²
(5-c)²+(-3-d)²=r²
Diese beiden Gleichungen solltest du vereinfachen (binomische Formeln auflösen) und dann gleichsetzen!
Letztendlich solltest du auf c=d+1 kommen.
Nun kommt die Gerade ins Spiel, auf die der Mittelpunkt liegen soll.
3x-5y=7
Da c und d ja auch darauf liegen sollen erhälst du:
3c-5d=7
Und wir haben eben gezeigt, dass man für c auch d+1 schreiben kann.
3(d+1)-5d=7
3d+3-5d=7
-2d=4
d=-2 [mm] \Rightarrow [/mm] c=-1
Also hast du deinen Mittelpunkt bei M(-1|-2).
Nun musst du noch die Strecke vom Mittelpunkt bis zu einem der Punkte A oder B berechnen und dait hast du deinen Radius!
Ich nehme mal [mm] \overline{MA}:
[/mm]
1+6²=r²
r²=37
Damit wäre deine Kreisgleichung komplett!
[mm] K_{3}: [/mm] (x+1)²+(y+2)²=37
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Hi,
danke für die ausfürhliche antwort! Jetzt habe ich es verstanden!
Aber eine Frage habe ich noch:
Ich kann mir die aufgabe nicht bildlich vorstellen...also ich weiß nicht, wie ich das aufzeichen müsste??
Könnt ihr mir helfen??
Viele Grüße
Informacao
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:21 So 24.09.2006 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Du müsstest nur die beiden Kreise skizzieren und die Schnittpunkte Kennzeichnen. Ist ja alles schön gerade! Und dann zeichnest du noch die gegebene Gerade dazu wo der Mittelpunkt vom Gesuchten Kreis draufliegen soll.
Und suchen tuest du dann einen Punkt auf dieser gegebenen Gerade, der von den beiden Shcnittpunkten den selben Abstand hat.
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