Schnittpunkte berechnen < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:23 Di 06.02.2007 | | Autor: | Clone |
| Aufgabe | Für k>0 ist [mm] f_k(x)=1/k((k+1)x-x^2).
[/mm]
Zeige, dass es zwei Punkte gibt, in denen sich jeweils alle Funktionsgraphen schneiden. |
Hallo,
bei dieser Aufgabe komme ich auf kein richtiges Ergebnis.
Ich habe versucht [mm] f_{k_1}(x) [/mm] mit [mm] f_{k_2}(x) [/mm] gleichzusetzen. Ist das der richtige Ansatz?
Vielen Dank im Voraus!
Gruß
Clone
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Hallo Clone!
Das ist der absolut richtige Ansatz! ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Forme dann also nach $x \ = \ ...$ um und verwende zwischendurch, dass gilt: [mm] $k_1 [/mm] \ [mm] \not= [/mm] \ [mm] k_2$ [/mm] .
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:23 Di 06.02.2007 | | Autor: | Clone |
| Aufgabe | | Zeige, dass es zwei Punkte gibt, in denen sich jeweils alle Funktionsgraphen schneiden. |
Hallo,
das ist mein Ergebnis:
[mm] $x[1+\bruch{1}{k_1}(1-x)]=x[1+\bruch{1}{k_2}(1-x)]$
[/mm]
d.h. [mm] $x_1=0 \vee x_2=1$
[/mm]
Wie kann man das mathematisch zeigen? Ich meine ich habs ja nur abgelesen.
Gruß
Clone
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Hallo Clone!
> Zeige, dass es zwei Punkte gibt, in denen sich jeweils alle
> Funktionsgraphen schneiden.
> Hallo,
> das ist mein Ergebnis:
> [mm]x[1+\bruch{1}{k_1}(1-x)]=x[1+\bruch{1}{k_2}(1-x)][/mm]
> d.h. [mm]x_1=0 \vee x_2=1[/mm]
> Wie kann man das mathematisch
> zeigen? Ich meine ich habs ja nur abgelesen.
Multipliziere erst die Klammern aus, dann kannst du x subtrahieren. Und dann formst du das ganze in eine Gleichung der Form [mm] ax^2+bx+c=0 [/mm] um, wofür du die Brüche mit den Nennern erweitern musst. Wenn du dich nicht verrechnest, erhältst du am Ende die Gleichung: [mm] x^2-x=0. [/mm] Und wenn du die dann auflöst, erhältst du genau deine Lösungen. 
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:25 Di 06.02.2007 | | Autor: | galileo |
Hallo Clone und alle Beteiligten
Damit alle Graphen der Funktionenschar in einem Punkt schneiden, muss die Gleichung der Funktionen für alle k's gelten.
[mm]
f_{k}(x)=y=\bruch{1}{k}\left( (k+1)x-x^{2}\right)
[/mm]
Man formt ein bischen um:
[mm]
k(y-x)+x^{2}-x=0
[/mm]
Dieses Ergebnis betrachten wir als eine ganzrationale Funktion von k. Damit sie null ist für alle k, müssen die Koeffizienten aller Potenzen von k null sein.
Wir erhalten so die Gleichungen:
[mm]
y-x=0
[/mm]
[mm]
x^{2}-x=0
[/mm]
Die zwei Lösungen sind die Punkte:
[mm]
(0|0),\qquad (1|1)
[/mm]
Schöne Grüße an Clone, Roadrunner, Bastiane,
und die anderen stillen Leser,
von galileo
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