Schnittpunkte der zwei Graphen < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion f(x) = [mm] x^{4} [/mm] -4x²+4
Das Schaubild einer ganzrationalen Funktion g vom Grad 2 schneidet das Schaubild von f für x=1 und x=-1 rechtwinklig.
Bestimmen Sie alle Schnittpunkte der beiden Graphen |
Hallo an Alle,
Die ganzrationale Funktion zweiten Grades ist ja g(x) = ax²+bx+c
Im Lösungsbuch steht dann: Aus g(1) = f(1); g'(1)= [mm] -\bruch{1}{f'(1)} [/mm] und
g(-1) = f(-1) folgt g(x)= [mm] \bruch{1}{8}x²+\bruch{7}{8}.
[/mm]
Wie kommt man dadrauf?
Gruß
matherein
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Hallo,
dir ist sicherlich bekannt, schneiden sich zwei Geraden [mm] g_1 [/mm] und [mm] g_2 [/mm] rechtwinklig, mit [mm] g_1=m_1*x+n_1 [/mm] und [mm] g_2 =m_2*x+n_2, [/mm] so ist [mm] m_1*m_2=-1, [/mm] berechne zunächst den Anstieg von f(x) an den Stellen 1 und -1, also f'(1) und f'(-1), dadurch erhälst du schon den Anstieg von g(x) an den gleichen Stellen, weiterhin ist f(1)=1, also gehört der Punkt (1;1) zu f(x) und g(x), ebenso der Punkt (-1; 1), versuche ein Gleichungssystem zur Berechnung von a, b und c aufzustellen,
Steffi
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Hallo Steffi!
Mein Gleichungssystem sieht folgendermaßen aus:
(1) g'(x) = [mm] -\bruch{1}{f'(1)}
[/mm]
(2) g(1) = a+b+c = 1
(3) g(-1) = a-b+c = 1
Ich das richtig?
Wenn ich f'(1) = 4 und f'(-1) = -4 ausrechne, erhalte ich g'(1) = [mm] -\bruch{1}{4} [/mm] und g'(-1) = [mm] \bruch{1}{4}
[/mm]
Zwei Werte können doch aber nicht raus kommen, weil es doch nur eine Steigung für g gibt, oder?
matherein
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Hallo matherein,
anscheinend kannst du dir unter der Ableitung noch nicht wirklich etwas vorstellen. Wahrscheinlich habt ihr in der Schule durchgenommen, dass der y-Wert der Ableitung einer Funktion zu jedem x-wert die Steigung der Tangente an der Stelle x angibt. Eine Funktion kann für alle x-werte dieselbe Ableitung haben, das bedeutet aber, dass die Tangenten überall gleich aussehen und die Funktion immer gleich schnell steigt oder fällt. Das gibt es nur bei Geraden. Bei der quadratischen Funktion (also eine Parabel) ist das nicht der Fall. Zeichne sie doch mal in ein Koordinatensystem oder in Funkyplot! Du wirst sehen, dass die Tangenten in der Nähe des Scheitelpunktes (0/4) flacher sind und nach außen immer steiler werden. Vergleiche mal die Tangenten links und rechts vom Scheitelpunkt, dann wird dir klar werden, warum die unterschiedliche Steigungen haben müssen.
Deine Gleichungen sind richtig aufgestellt bis auf die erste, da musst du zwei Gleichungen draus machen indem du die Funktion [mm] ax^2+bx+c [/mm] erst ableitest und dann die Punkte (-1/4) und (1/-4) einsetzt.
Liebe Grüße,
Julia
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Hallo Julia,
also ax²+bx+c
ableiten ergibt 2ax+b
Dann die Punkte einsetzen:
-2a+b=4 ergibt: b = 4+2a
2a+b= -4 ergibt: b= -4-2a
Bei meinen weiteren Rechnungen bin ich aber nur zu unlogischen Ergebnissen gekommen?!
Und was ist mit g'(x)= [mm] -\bruch{1}{f'(1)} [/mm] ?
matherein
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Hallo Loddar,
bei Auflösen dieses Gleichungssystems kommt raus:
-8a = -1+4b
-8a = -1-4b
Wenn ich das rausgerechnete a oder b in die Gleichungen g(1) = a+b+c=1
und g(-1) = a-b+c = 1 einsetze, bleiben aber noch zwei Varabeln übrig?!
So kann aber nicht das Gleichungssystem gelöst werden, oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:41 Di 07.04.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
natuerlich hat loddar angenommen, dass du weiterhin dene 2 Gleichungen
(2) g(1) = a+b+c = 1
(3) g(-1) = a-b+c = 1
verwendest.
die mit den Ableitungen sind nur zusaetzlich
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:01 Di 07.04.2009 | | Autor: | abakus |
> Hallo Loddar,
>
> bei Auflösen dieses Gleichungssystems kommt raus:
>
> -8a = -1+4b
> -8a = -1-4b
>
> Wenn ich das rausgerechnete a oder b in die Gleichungen
> g(1) = a+b+c=1
> und g(-1) = a-b+c = 1 einsetze, bleiben aber noch zwei
> Varabeln übrig?!
Wieso das? Aus den obigen Gleichungen folgt sofort b=0 und damit auch a=0,125.
Somit ist auch c eindeutig bestimmt.
Gruß Abakus
>
> So kann aber nicht das Gleichungssystem gelöst werden,
> oder?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:50 Do 09.04.2009 | | Autor: | matherein |
Danke für die Hilfe Abakus,
hätte ich nocheinmal nachgedacht, wäre ich wahrscheinlich auch selber drauf gekommen. Danke dir trotzdem, dass du auch solche Fragen beantwortest.
Gruß
matherein
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Wie kommst Du hier auf $... \ = \ 4$ bzw. $... \ = \ -4$ ?
