Schnittpunkte im Newton < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Das Newton-Verfahren soll verwendet werden, um die Schnittpunkte der Ellipse [mm] \bruch{x_1^2}{16}+\bruch{x_2^2}{4}=1 [/mm] mit dem Kreis um den Ursprung mit Radius 3, also [mm] x_1^2+x_2^2=9 [/mm] zu berechnen.
a) Bestimmen Sie eine Funktion [mm] F:\IR^2-> \IR^2, [/mm] deren Nullstellen die zu bestimmenden Schnittpunkte sind.
b) Berechnen Sie für den Startwert [mm] x^{(0)}=(2,2)^T [/mm] einen Schritt des lokalen Newton-Verfahrens zur Berechnung der Nullstellen von F.
c) Kommentieren Sie die Qualität des in b) berechneten Iterationspunkts [mm] x^{(1)} [/mm] anhand einer Skizze.
d) Ist der Startwert [mm] x^{(0)}=(0,0)^T [/mm] ebenfalls eine geeignete Wahl für das Newton-Verfahren? |
Hallo.
Vorab weiß ich nicht, ob ich die Aufgabe in den richtigen Bereich gepostet habe. Ich war mir etwas unsicher. Diese Aufgabe soll in einer Vorlesung zu Algorithmische Mathematik und Programmieren bearbeitet werden.
Ich habe mir ein paar Gedanken gemacht zu der Aufgabe.
Zu a)
Ich wollte beide Gleichungen jeweils nach 0 umformen und dann gleichsetzen, aber es soll ja in 2 Dimensionen abbilden. Ich hab wohl eindimensional gedacht.
Also die Funktion lautet doch dann einfach
[mm] F((x_1,x_2)^T)=(\bruch{x_1^2}{16}+\bruch{x_2^2}{4}-1,x_1^2+x_2^2-9)^T
[/mm]
Zu b) benötige ich die Jacobimatrix und die Inverse davon
[mm] DF((x_1,x_2))=\pmat{ \bruch{x_1}{8} & \bruch{x_2}{2} \\ 2x_1 & 2x_2 }
[/mm]
Invertiert ergibt das dann
[mm] DF((x_1,x_2))^{-1}=\pmat{ \bruch{8x_1}{3} & -\bruch{2x_2}{3} \\ \bruch{8x_1}{3} & -\bruch{x_2}{6} } [/mm] Den Startwert eingesetzt bekomme ich
[mm] \pmat {\bruch{16}{3} & -\bruch{4}{3} \\ \bruch{16}{3} & - \bruch{1}{3} } [/mm] und [mm] F((x_1,x_2)^T)=(\bruch{1}{4},-1)^T
[/mm]
Alles in die Newtoniteration einsetzt ergibt das dann
[mm] x^{(1)}= \vektor{2 \\ 2} -\pmat {\bruch{16}{3} & -\bruch{4}{3} \\ \bruch{16}{3} & - \bruch{1}{3} }* \vektor{\bruch{1}{4} \\ -1}=\vektor{2 \\ \bruch{5}{6}}, [/mm] was ja [mm] x^{(1)} [/mm] ist.
Zu c) Hier weiß ich nicht so recht, wie ich argumentieren soll. Ich hab ne Skizze gemacht und der Schnittpunkt im ersten Quadrant liegt bei mir bei (2,5/1,25). Bei der Aufgabe darf man keinen Taschenrechner benutzen.
Also der erste Iterationsschritt ist genauer als der Startwert. Reicht das als Begründung?
Zu d) Der Punkt [mm] (0,0)^T [/mm] ist keine gute Wahl, weil die Jacobimatrix ist dem Punkt verschwindet und somit das Newtonverfahren nicht konvergiert und bei jedem Schritt bei [mm] (0,0)^T [/mm] bleibt.
Vielen Dank für jede Hilfe
Lieben Gruß
TheBozz-mismo
|
|
| |
|
Hallo,
> Das Newton-Verfahren soll verwendet werden, um die
> Schnittpunkte der Ellipse
> [mm]\bruch{x_1^2}{16}+\bruch{x_2^2}{4}=1[/mm] mit dem Kreis um den
> Ursprung mit Radius 3, also [mm]x_1^2+x_2^2=9[/mm] zu berechnen.
> a) Bestimmen Sie eine Funktion [mm]F:\IR^2-> \IR^2,[/mm] deren
> Nullstellen die zu bestimmenden Schnittpunkte sind.
> b) Berechnen Sie für den Startwert [mm]x^{(0)}=(2,2)^T[/mm] einen
> Schritt des lokalen Newton-Verfahrens zur Berechnung der
> Nullstellen von F.
> c) Kommentieren Sie die Qualität des in b) berechneten
> Iterationspunkts [mm]x^{(1)}[/mm] anhand einer Skizze.
> d) Ist der Startwert [mm]x^{(0)}=(0,0)^T[/mm] ebenfalls eine
> geeignete Wahl für das Newton-Verfahren?
> Hallo.
> Vorab weiß ich nicht, ob ich die Aufgabe in den richtigen
> Bereich gepostet habe. Ich war mir etwas unsicher. Diese
> Aufgabe soll in einer Vorlesung zu Algorithmische
> Mathematik und Programmieren bearbeitet werden.
> Ich habe mir ein paar Gedanken gemacht zu der Aufgabe.
> Zu a)
> Ich wollte beide Gleichungen jeweils nach 0 umformen und
> dann gleichsetzen, aber es soll ja in 2 Dimensionen
> abbilden. Ich hab wohl eindimensional gedacht.
> Also die Funktion lautet doch dann einfach
>
> [mm]F((x_1,x_2)^T)=(\bruch{x_1^2}{16}+\bruch{x_2^2}{4}-1,x_1^2+x_2^2-9)^T[/mm]
So ist es korrekt. Die Schnittpunkte müssen ja in beiden Mengen liegen und damit beide Gleichungen lösen.
>
> Zu b) benötige ich die Jacobimatrix und die Inverse davon
> [mm]DF((x_1,x_2))=\pmat{ \bruch{x_1}{8} & \bruch{x_2}{2} \\ 2x_1 & 2x_2 }[/mm]
Bis hier ist alles richtig.
>
> Invertiert ergibt das dann
> [mm]DF((x_1,x_2))^{-1}=\pmat{ \bruch{8x_1}{3} & -\bruch{2x_2}{3} \\ \bruch{8x_1}{3} & -\bruch{x_2}{6} }[/mm]
Die Inverse stimmt nicht.
> Den Startwert eingesetzt bekomme ich
> [mm]\pmat {\bruch{16}{3} & -\bruch{4}{3} \\ \bruch{16}{3} & - \bruch{1}{3} }[/mm]
> und [mm]F((x_1,x_2)^T)=(\bruch{1}{4},-1)^T[/mm]
> Alles in die Newtoniteration einsetzt ergibt das dann
> [mm]x^{(1)}= \vektor{2 \\ 2} -\pmat {\bruch{16}{3} & -\bruch{4}{3} \\ \bruch{16}{3} & - \bruch{1}{3} }* \vektor{\bruch{1}{4} \\ -1}=\vektor{2 \\ \bruch{5}{6}},[/mm]
> was ja [mm]x^{(1)}[/mm] ist.
Ich erhalte (korrigierte Version, nachdem ich einen Vorzeichenfehler drin hatte) [mm]x^{(1)}=\vektor{2\frac 23\\1\frac{7}{12}}[/mm].
Ich hab mal ein paar zusätzliche Iterationen durchgeführt und für den Schnittpunkt die Werte x1=2,582 und x2=1,5275 erhalten, so dass [mm]x^{(1)}[/mm] schon recht nahe daran liegt.
>
> Zu c) Hier weiß ich nicht so recht, wie ich argumentieren
> soll. Ich hab ne Skizze gemacht und der Schnittpunkt im
> ersten Quadrant liegt bei mir bei (2,5/1,25). Bei der
> Aufgabe darf man keinen Taschenrechner benutzen.
> Also der erste Iterationsschritt ist genauer als der
> Startwert. Reicht das als Begründung?
Mehr fällt mir dazu auch nicht ein, aber ich weiß nicht, was dr Dozent von euch erwartet.
>
> Zu d) Der Punkt [mm](0,0)^T[/mm] ist keine gute Wahl, weil die
> Jacobimatrix ist dem Punkt verschwindet und somit das
> Newtonverfahren nicht konvergiert und bei jedem Schritt bei
> [mm](0,0)^T[/mm] bleibt.
Dem ersten Teil deines Satzes stimme ich zu. Aber wenn die Jacobimatrix verschwindet, heißt das nicht, dass das Verfahren bei [mm](0,0)^T[/mm] bleibt, sondern dass die Iteration schlicht und einfach nicht definiert ist.
>
> Vielen Dank für jede Hilfe
>
> Lieben Gruß
> TheBozz-mismo
|
|
|
| |
|
Zu dieser Aufgabenstellung muss ich meinen Ärger loswerden:
Was zum Kuckuck denkt ein Professor (?), der eine vektorielle Newtoniteration mit Jacobimatrix und weiterem Brimborium aufbieten will, um eine Aufgabe zu lösen, für die man nicht einmal die "p-q-Formel" für quadratische Gleichungen braucht ?
Man kann ein simples lineares Gleichungssystem lösen und dann zwei Quadratwurzeln ziehen, das wäre bei gesundem Verstand der gesamte Lösungsweg !
LG , Al-Chwarizmi
|
|
|
| |
|
Ja. Viele Aufgaben im Semester waren sehr leicht zu lösen, aber ich denke, um die entsprechenden Verfahren zu lernen und anwenden zu können, ist das schon sinnvoll, wobei man natürlich bessere Beispiele aussuchen könnte.
|
|
|
| |
|
Nachdem mein schon mitgeteilter Unmut über die Aufgabe
sich etwas verzogen hat (es kann ja doch sinnvoll sein, eine
neue Methode zuerst mal an einem Beispiel zu testen, bei
dem man die Lösung mit anderen Mitteln leicht überprüfen
kann), nun doch noch was zu deiner angefangenen Lösung:
Wie donquijote schon bemerkt hat: die inverse Matrix ist falsch.
Nach meiner Rechnung wäre
[mm] \mbox{\LARGE$
DF((x,y))^{-1}\ =\ \pmat{ -\bruch{8}{3 x} & \bruch{2}{3 x} \\ \bruch{8}{3 y} & -\bruch{1}{6 y} }
$}
[/mm]
(ich schreibe x und y anstatt [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2)
[/mm]
Für die Iteration (bei der dann natürlich mehrere Schritte
erforderlich sein werden) ist es natürlich nützlich, die
Formel zunächst in allgemeiner Form zu notieren, also:
[mm] \mbox{\LARGE$
\pmat{ x_{neu} \\ y_{neu} }\ =\ \pmat{ x \\ y }\ -\ \pmat{ -\bruch{8}{3 x} & \bruch{2}{3 x} \\ \bruch{8}{3 y} & -\bruch{1}{6 y} }\ *\ \pmat{\bruch{x^2}{16}+\bruch{y^2}{4}-1 \\ x^2+y^2-9}
$}
[/mm]
LG , Al-Chwarizmi
|
|
|
| |
|
Vielen Dank für eure Hilfe.
Lieben Gruß
TheBozz-mismo
|
|
|
| |
|
Gern geschehen !
Bei mir hat übrigens die Iteration geklappt und konvergierte
gegen den (aus der einfachen Rechnung gewonnenen)
Schnittpunkt im ersten Quadranten.
LG und schönen Abend !
Al-Chw.
|
|
|
|
