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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:08 Di 01.03.2005 | | Autor: | Julsche |
Hallo!
Die folgende Frage habe ich nicht in ein Forum einer anderen Internetseite gestellt.
Wenn sich zwei Parabeln schneiden mit:
[mm] p1:4x^{2}-3x+1
[/mm]
p2:-1/2x+2
muss ich sie dann ja gleichsetzten.Dann bekomme ich raus:
[mm] 4x^{2}-3x+1=-1/2x+2
[/mm]
Wie bekomm ich denn jetzt des Quadrat aus der Gleichung????
Julsche
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:46 Mi 02.03.2005 | | Autor: | Julsche |
Hallo!!
Danke Schön!!!
okay dann bekomm ich als Gleichung:
[mm] x^2-7/8x-1/4=0!!!
[/mm]
Die p/q Formel kenn ich nicht!!Ich hab mir sie jetzt zwar mal angesehen und versucht des auszurechenen,aber irgendwie bekomme ich dann unterschiedliche y-Werte raus.
Muss ich dafür die erste oder die zweite Formel nehmen??
Julsche
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:53 Mi 02.03.2005 | | Autor: | Max |
Hi Julschen,
das hast du soweit richtig gemacht. Wenn du die $p/q$-Formel benutzt erhälst du zwei verscheidene $x$-Werte, die die Gleichung lösen.
Es gibt drei Möglichkeiten die Gleichung zu lösen.
1. Mit der $p/q$-Formel:
Wegen [mm] $x^2-\frac{7}{8}x-\frac{1}{4}=0$ [/mm] ist [mm] $p=-\frac{7}{8}$ [/mm] und [mm] $q=-\frac{1}{4}$.
[/mm]
[mm] $x_{1/2}=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}=\frac{7}{16}\pm \sqrt{\frac{49}{256}+\frac{1}{4}}=\frac{7 \pm \sqrt{113}}{16}$
[/mm]
Also ist [mm] $x_1=\frac{7-\sqrt{113}}{16}\approx [/mm] -0,226884$ und [mm] $x_2=\frac{7+\sqrt{113}}{16}\approx [/mm] 1,10188$.
2. $abc$-Formel:
Diese Formel kann auf die Gleichung vom Typ [mm] $ax^2+bx+c=0$ [/mm] angewandt werden, also muss die Gleichung nicht zwingend normiert sein. Gilt $a=1$ ergibt die $abc$-Formel die $p/q$-Formel.
Es gilt [mm] $x_{1/2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$.
[/mm]
Zum Spass wende ich diese Formel mal auf die nicht normierte Gleichung [mm] $4x^2-3\frac{1}{2}x-1=0$ [/mm] an, also ist $a=4$, [mm] $b=3\frac{1}{2}=\frac{7}{2}$ [/mm] und $c=1$.
Damit ergibt sich
[mm] $x_{1/2}=\frac{\frac{7}{2} \pm \sqrt{\frac{49}{4}+16}}{8}=\frac{\frac{7}{2}\pm \sqrt{\frac{49}{4}+\frac{64}{4}}}{8}=\frac{7\pm \sqrt{113}}{16}$
[/mm]
Also stimmen die Lösungen mit denen der $p/q$-Formel überein (wie man ja auch erwarten würde).
3. Quadratische Ergänzung:
Das ist das Lösungsverfahren mit dem man auch die beiden anderen Lösungsformel herleitet. Du kannst dabei durch geschickte Umformungen die Gleichung lösen.
[mm] $x^2-\frac{7}{8}x-\frac{1}{4}=0$
[/mm]
[mm] $\gdw x^2 [/mm] - [mm] 2\cdot \frac{7}{16} \cdot [/mm] x [mm] =\frac{1}{4}$
[/mm]
Die rechte Seite kann einen an die zweite Binomische Formel erinnern [mm] $(x+a)^2=x^2+2ax+a^2$. [/mm] In unserem Fall wäre dann [mm] $a=\frac{7}{16}$. [/mm] Man ergänzt das Quadart [mm] $a^2=\frac{49}{256}$ [/mm] auf beiden Seiten, daher auch der Name Quadratische Ergänzung:
[mm] $\gdw x^2 [/mm] + [mm] 2\cdot \frac{7}{16}\cdot [/mm] x [mm] +\frac{49}{256}=\frac{1}{4}+\frac{49}{256}$
[/mm]
[mm] $\gdw \left(x - \frac{7}{16}\right)^2 [/mm] = [mm] \frac{113}{256}$
[/mm]
Es gibt jetzt genau zwei mögliche Werte die der Ausdruck [mm] $\left( x - \frac{7}{16}\right)$ [/mm] annehmen kann, damit die Gleichung erfüllt ist, nämlich
[mm] $\gdw [/mm] x - [mm] \frac{7}{16}=\sqrt{\frac{113}{256}} \vee x-\frac{7}{16}=-\sqrt{\frac{113}{256}}$
[/mm]
[mm] $\gdw x=\frac{7}{16}+\frac{\sqrt{113}}{16} \vee x=\frac{7}{16}-\frac{\sqrt{113}}{16}$
[/mm]
Also wiederum die beiden gleichen Lösungen.
Also, ich hoffe du erkennst eine der Varianten aus deinem Unterricht wieder.
Gruß Brackhaus
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p/q-Formel