Schnittwinkelnachweis u.a. < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sind die vier Punkte a(1;1;1), B(5;1;1), C(5;5;1) und D(1;5;1). Diese vier Punkte sind die Eckpunkte eines Vierecks.
a) Weisen Sie nach, dass dieses Viereck ein Quadrat ist.
b) Weisen Sie nach, dass der Schnittwinkel der Diagonalen 90° beträgt.
c) Berechnen Sie den Schnittpukt der Diagonalen. |
Hallo, wieder mal stellen sich mir Fragen wie: Wo ist der Fehler?
Ich bekomme heraus dass die Winkel nicht 90° sind, jedoch scheint die Aufgabenstellung darauf zu bestehen. Wär sonst witzlos find ich.
Das habe ich gemacht:
Erstmal habe ich eine Skizze angefertigt die angehängt wurde.
Dann habe ich die Geradengleichungen aller vier durch die vier Punkte verlaufenden Geraden aufgestellt:
[mm] g_{1}:\vec{x}=\vektor{1 \\ 1 \\ 1}+k\vektor{4 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
[mm] g_{2}:\vec{x}=\vektor{5 \\ 1 \\ 1}+k\vektor{0 \\ 4 \\ 0}
[/mm]
[mm] g_{3}:\vec{x}=\vektor{5 \\ 5 \\ 1}+k\vektor{4 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
[mm] g_{4}:\vec{x}=\vektor{1 \\ 5 \\ 1}+k\vektor{0 \\ 4 \\ 0}
[/mm]
Dann hab ich die gegebene Formel für den Schnittwinkel umgestellt:
[mm] \vec{a}*\vec{b}=|\vec{a}|*|\vec{b}|*cos\alpha [/mm] in [mm] \bruch{\vec{a}*\vec{b}}{|\vec{a}|*|\vec{b}|}=cos\alpha
[/mm]
Da nur der Zähler relevant für das Ergebnis 0 des Bruchs ist, hab ich also [mm] \vec{a}*\vec{b} [/mm] ausgerechnet, und bekam 7=0 [mm] (\alpha [/mm] soll ja gleich 90°, also cos90°=0 sein) heraus:
[mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1}*\vektor{5 \\ 1 \\ 1}=7
[/mm]
Definitiv nicht gleich Null. Also kann's eigentlich kein Quadrat mehr sein. Wo ist der Fehler? Gibt's einen?
Weiter ging's mit Aufgabe b):
Aufstellung der Geradengleichung für [mm] \overrightarrow{AC} [/mm] und [mm] \overrightarrow{BD} [/mm] :
[mm] \overrightarrow{AC} [/mm] : [mm] g_{5}:\vec{x}=\vektor{1 \\ 1 \\ 1}+k\vektor{4 \\ 4 \\ 0}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{BD} [/mm] : [mm] g_{6}:\vec{x}=\vektor{5 \\ 1 \\ 1}+k\vektor{4 \\ -4 \\ 0}
[/mm]
Das ganze wieder in die Schnittwinkelformel gepfriemelt:
[mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1}*\vektor{5 \\ 5 \\ 1}=0
[/mm]
11=0
Irgendwas stimmt da aber nicht.
Vielen Dank im Vorraus!
Grüße,
Noel
P.S: Hier noch die versprochene Skizze:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:23 Mo 21.04.2008 | | Autor: | weduwe |
viel zu kompliziert
[mm] \overrightarrow{AB}=\vektor{4\\0\\0}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{AD}=\vektor{0\\4\\0}
[/mm]
jetzt bilde das skalarprodukt der beiden und bestimme ihre längen......
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:39 Mo 21.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Dunkelseele!
Du darfst in die Winkelformel nicht die Stützvektoren einsetzen, sondern die Richtungsvektoren.
Gruß
Loddar
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Boahr, so einfach ... : )
Vielen vielen Dank für diesen Anstoß.
Und plötzlich wird aus [mm] \vektor{4 \\ 0 \\ 0}*\vektor{0 \\ 4 \\ 0}=cos\alpha [/mm] 0=0. Super! Jetzt frage ich mich nur noch wie ich auf die Schnapsidee kam, die Stützvektoren einzusetzen. x.x
Grüße,
Noel
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