Schreibweise mit "Punkt" < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 09:02 Do 06.09.2012 | | Autor: | franzzink |
| Aufgabe | Gegeben ist das Funktional
$ J(y) = [mm] \integral_{a}^{b}{F(x,y,y') dx} [/mm] $ mit der Lagrange-Funktion F(x, y, y').
Eine mögliche Formulierung der Euler-Lagrange-Gleichung lautet:
$ [mm] \bruch{d}{dx} F_{y'}(*,y,y') [/mm] = [mm] F_{y}(*,y,y') [/mm] $ |
Hallo,
ich verstehe die Schreibweise mit dem Punkt nicht. Der Punkt ersetzt ja "x". Warum schreibt man nicht einfach "x" und was bedeutet diese Schreibweise?
Schöne Grüße
fz
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:22 Do 06.09.2012 | | Autor: | MontBlanc |
Hallo,
für gewöhnlich ist der Punkt ein Platzhalter für ein Argument. Mir sind die EL-Gleichungen hauptsächlich in der Mechanik über den Weg gelaufen wo logischerweise oftmals die Zeit als unabhängige Variable. Meiner Meinung nach, macht die Schreibweise in der Form keinen Sinn, da $ [mm] \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}F(\cdot,y,y')=0 [/mm] $ falls $ [mm] y\neq [/mm] y(x) $. Woher hast Du denn diese Schreibweise ?
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:51 Do 06.09.2012 | | Autor: | franzzink |
Hallo MontBlanc,
> Meiner Meinung nach,
> macht die Schreibweise in der Form keinen Sinn, da
> [mm]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}F(\cdot,y,y')=0[/mm] falls [mm]y\neq y(x) [/mm].
> Woher hast Du denn diese Schreibweise ?
danke für deine Antwort. Diese Schreibweise stammt aus einem Einführungsbuch in die Variationsrechnung. Auf der entsprechenden Seite wechseln sich die Verwendung von Punkt und "x" auch ab.
In späteren Kapiteln werden dann [mm] \phi (*, x, \dot x) [/mm] und [mm] \phi (t, x, \dot x) [/mm] scheinbar synonym verwendet.
Vermutlich ist der Punkt also wirklich nur eine "Abkürzung" (vielleicht aus einer handschriftlichen Vorlage?) bzw. ein Platzhalter.
Ich wusste nicht, ob der Punkt vielleicht noch eine andere mathematische Bedeutung hat.
Schöne Grüße
fz
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:14 Do 06.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> für gewöhnlich ist der Punkt ein Platzhalter für ein
> Argument. Mir sind die EL-Gleichungen hauptsächlich in der
> Mechanik über den Weg gelaufen wo logischerweise oftmals
> die Zeit als unabhängige Variable. Meiner Meinung nach,
> macht die Schreibweise in der Form keinen Sinn, da
> [mm]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}F(\cdot,y,y')=0[/mm] falls [mm]y\neq y(x) [/mm].
diese Behauptung verstehe ich gerade nicht:
Gemäß ![[]](/images/popup.gif) Bem 29 könnte dann
doch
[mm] $$\frac{dF}{dx}=\frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial F}{ \partial y'}$$
[/mm]
sein, was nicht notwendigerweise verschwinden muss?
Oder warum ist dann [mm] $\partial F/{\partial y'}$ [/mm] auch [mm] $x\,$-unabhängig?
[/mm]
P.S.
Generell wohl ein gutes Skript mit einer Einführung in die
Variationsrechnung, also auch für die Fragestellerin geeignet!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:38 Do 06.09.2012 | | Autor: | MontBlanc |
Hallo Marcel,
ich habe den beitrag kurz nach dem Aufwachen verfasst (war nicht der einzige Schrott den ich verzapft habe heute morgen), das war natürlich Müll, weil du [mm] \frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}x} [/mm] gar nicht zu bestimmen hast.
Die EL-Gleichungen für ein Funktional
[mm] S=\int_{a}^{b}F(x,y,\dot{y})\mathrm{d}t [/mm] sind ja nach dem Hamilton'schen Prinzip gegeben durch (im eindimensionalen Fall)
[mm] \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}\dot{y}}=\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}y} [/mm]
Generell würde ich aber nach wie vor sagen, dass die "[mm] \cdot [/mm]" und [mm] x [/mm] Schreibweisen in gemischter Form echt unsauber sind, oder aber ich habs noch nicht verstanden. Das wäre allerdings ein Armutszeugnis, da ich schon 4 Kurse belegt habe, die diese Prinzipien nutzen...
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:45 Do 06.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
>
> ich habe den beitrag kurz nach dem Aufwachen verfasst (war
> nicht der einzige Schrott den ich verzapft habe heute
> morgen), das war natürlich Müll, weil du
> [mm]\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}x}[/mm] gar nicht zu bestimmen
> hast.
das steht im Skript anders. Es gibt da auch zwei Formulierungen, die
ich mal gesehen habe, einmal mit Zeit [mm] $t\,$ [/mm] und einmal ohne. Irgendwie
soll das eine mit dem anderen zusammenhängen. Ich habe leider weder
mit Variationsrechnung noch mit der Physik viel zu tun, gelesen habe ich
das nur mal. Vom "Verstehen" bin ich leider noch weit entfernt, zumal ich
das für meine Arbeit eigentlich nicht brauche. Aber ich erinnere mich an
zwei Formulierungen, denn das hat mich verwirrt. Und wie gesagt:
In dem verlinkten Skript steht gar keine [mm] $t\,$-Abhängigkeit...
[/mm]
> Die EL-Gleichungen für ein Funktional
> [mm]S=\int_{a}^{b}F(x,y,\dot{y})\mathrm{d}t[/mm] sind ja nach dem
> Hamilton'schen Prinzip gegeben durch (im eindimensionalen
> Fall)
>
> [mm]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}\dot{y}}=\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}y}[/mm]
>
> Generell würde ich aber nach wie vor sagen, dass die "[mm] \cdot [/mm]"
> und [mm]x[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Schreibweisen in gemischter Form echt unsauber sind,
> oder aber ich habs noch nicht verstanden. Das wäre
> allerdings ein Armutszeugnis, da ich schon 4 Kurse belegt
> habe, die diese Prinzipien nutzen...
Also wenn ich sie verwenden wollte, würde ich sie bspw. so verwenden:
Sei $f=f(x)\,$ eine diff'bare Funktion. Wir schreiben auch $f=f(\cdot)\,.$
Mit $\frac{d}{dx}f(x_0)$ bezeichnen wir $\left.\frac{d}{dx}f\right|_{x_0}$ bzw. $\left.\frac{d}{dx}f(x)\right|_{x_0}$
also die Ableitung von $f\,$ an der Stelle $x_0\,.$
(Wenn man mal hinguckt, ist die letzte Notation dann eh schon so'n wirrwarr,
denn ich definiere am Anfang des Satzes dann ein 'Symbol', was ich schon 'symbolisch' anderweitig verwende. Aber ich gehe mal davon aus, dass klar ist, wie das gemeint ist,
zumal es ja auch einmal sauberer da steht!)
Wenn wir nun $f'$ (bzw. wie manche auch sagen: die Funktion $f'(x)$)
hinschreiben wollen, würden wir sie etwa als $\frac{d}{dx}f\,$ schreiben.
Manche sprechen aber auch von der Funktion $\frac{d}{dx}f(x)\,,$ wobei
die Abhängigkeit in der Variablen $x\,$ betont werden soll. Das können wir
nun aber gemäß obiger Vereinbarung gar nicht mehr machen, weil es
sein könnte, dass jemand dann meint, dass die Ableitung an der Stelle
$x\,$ ausgewertet gemeint sein könnte. (Diese ganzen Konventionen, so
gerne der ein oder andere auch eine von diesen ständig im gleichen Sinne
benutzt, sind dann leider doch zu missverständlich, als dass man sie
benutzen sollte, ohne wenigstens irgendwo zu klären, in welchem Sinne
sie meist verwendet werden und was man macht, wenn man sie mal in
einem anderen verwenden will!)
Um diesem Missverständnis (oder besser: diesen
mehreren möglichen
Missverständnissen) vorzubeugen, aber dennoch nochmal dran zu
erinnern, dass es da eine Abhängigkeit in einer Variablen gibt, kann man
$$\frac{d}{dx}f(\cdot)$$
schreiben (was dann die Funktion $df/dx\,$ meinen würde).
Also diese Schreibweise benutze ich ungern bishin zu selten oder gar nicht,
aber dann, wenn ich sie mal gelesen hatte, konnte ich nur etwa so einen
Sinn in ihr finden.
Z.B. wenn $f=f(x,y,z)$ ist und man $g(r):=f(r,y_0,z_0)$
(mit festen $y_0,z_0$) definiert, dann macht's für mich schon mehr Sinn,
wenn ich die Funktion $g\,$ "per Definitionem beschreiben aber immer
noch als Funktion stehen lassen will", zu schreiben:
$$g(\cdot)=f(\cdot,y_0,z_0)\,.$$
Irgendwie 'unsinnig', aber genauso richtig wäre eigentlich
$$g=f(\cdot,y_0,z_0)\,.$$
'Unsinng', denn dann ist mir nicht mehr die "Variablenbeziehung" bei $g\,$ (direkt) klar.
Und von der Funktion $g=g(r)\,$ mit $g(r):=f(r,y_0,z_0)$ zu sprechen,
sieht dann irgendwie wieder ein wenig nach zuviel des guten aus... Zumal
das ja auch alles noch formal noch genauer hingeschrieben werden sollte/
müßte (Definitionsbereiche, Zielbereiche...).
Also bisher ist mir die $\;\cdot\;\;\;$ - Verwendung eigentlich nur in solchen
"Situationen" vorgekommen. Man kann sie aber auch einfach komplett
vermeiden, was mir eigentlich bis dato immer gelungen ist - wenn ich
es wollte, jedenfalls! 
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:13 Mo 10.09.2012 | | Autor: | franzzink |
Hallo Marcel,
vielen Dank für deine ausführliche Antwort. Auch in dem Buch, das ich verwende, ist es Konvention, dass der "Punkt" diejenige(n) Variable(n) bezeichnet, die nicht "festgehalten" werden. Eindeutige Beispiele haben dies bestätigt und ich habe die Notation jetzt verstanden...
Schöne Grüße
franzzink
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:30 Di 11.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
>
> vielen Dank für deine ausführliche Antwort.
gerne!
> Auch in dem
> Buch, das ich verwende, ist es Konvention, dass der "Punkt"
> diejenige(n) Variable(n) bezeichnet, die nicht
> "festgehalten" werden. Eindeutige Beispiele haben dies
> bestätigt und ich habe die Notation jetzt verstanden...
Okay - ich habe den Status Deiner Frage dann angepasst.
Gruß,
Marcel
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