"Schuhproblem" < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | In einem dunklen Keller befinden sich in einem Karton n Paar Schuhe. Man nimmt zufällig r Schuhe heraus, wobei r [mm] \le [/mm] n ist. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass darunter exakt ein Paar ist. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Hey,
bin gerade dabei mich etwas selbstständig in die Wahrscheinlichkeitstheorie einzuarbeiten, und habe etwas Probleme mit der obigen Aufgabe.
Als Ereignisraum habe ich gewählt: [mm] \{ (s_1,...,s_r) : s_i \in \{1,2,...,2n\} , s_i \not= s_j f.a. i \not= j \}.
[/mm]
Dabei betrachte ich 1+2 als ein Paar, 3+4 als ein Paar usw. Mein Ergebnisraum sollte somit die Mächtigkeit [mm] \bruch{(2n)!}{(2n-r)!} [/mm] haben.
Wenn ich das richtig verstanden habe geht die Berechnung der oben gefragten Wahrscheinlichkeit nun quasi darauf zurück zu zählen, wieviele Elemente im entsprechenden Ereignis sind.
Dies bin ich wie folgt angegangen, das Ergebnis ist aber falsch, ich weiß nur nicht, wo der Fehler steckt:
Ich dachte mir ich teile das gefragte Ereignis auf in:
- Schuh 1 und Schuh 2 bilden ein Paar
- Schuh 1 und Schuh 3 bilden ein Paar
...
- Schuh 1 und Schuh r bilden ein Paar
- Schuh 2 und Schuh 3 bilden ein Paar
...
- Schuh 2 und Schuh r bilden ein Paar
...
-Schuh (r-1) und Schuh r bilden ein Paar.
Zur Berechnung der einzelnen Wahrscheinlichkeiten:
Fall Schuh 1 und Schuh 2 bilden ein Paar:
Beim ersten Schuh hat man 2n Möglichkeiten. Beim 2. Schuh nur 1 Möglichkeit, da das Paar komplettiert werden muss. Beim 3. Schuh wiederum 2n-2 Möglichkeiten, das Paar wurde komplettiert, also ist es egal, was gezogen wird, danach 2n-3 usw.
Demnach im Endeffekt 2n*1*(2n-2)*(2n-3)*...*(2n-r) bzw. [mm] \bruch{(2n)!}{(2n-r)!*(2n-1)}.
[/mm]
Bei den anderen Fällen Schuh 1 + Schuh x kommt genau dasselbe raus(z.B. 2n Möglichkeiten beim 1. Schuch, dann 2n-2 Möglichkeiten beim 2. Schuh(nicht der 1. und nicht der Schuh der ein Paar mit dem 1. bildet), dann 1(das Paar voll), dann 2n-3 usw., sodass ich ingesamt für Schuh 1 + Schuh x auf (r-1) * [mm] \bruch{(2n)!}{(2n-r)!*(2n-1)} [/mm] Möglichkeiten komme.
Bei den anderen Fällen gab es ähnliche Überlegungen(es verschiebt sich "nur immer um eins nach rechts", z.B. 2n*(2n-1)*1*(2n-3)*... usw.), sodass ich abschließend darauf komme, dass das Ereignis folgende Anzahl an Elementen beinhaltet:
[mm] \summe_{i=1}^{r-1} [/mm] (r-i) [mm] *\bruch{(2n)!}{(2n-r)!*(2n-i)}
[/mm]
Soooo, das kann aber natürlich nicht sein, dass ist viel zu groß.
Darum die Frage: Wo liegt der Fehler? Und was ist die richtige Lösung für das Problem?
Ich danke euch!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:57 Mi 20.08.2014 | | Autor: | rmix22 |
> In einem dunklen Keller befinden sich in einem Karton n
> Paar Schuhe. Man nimmt zufällig r Schuhe heraus, wobei r
> [mm]\le[/mm] n ist. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
> darunter exakt ein Paar ist.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
>
> Hey,
> bin gerade dabei mich etwas selbstständig in die
> Wahrscheinlichkeitstheorie einzuarbeiten, und habe etwas
> Probleme mit der obigen Aufgabe.
> Als Ereignisraum habe ich gewählt: [mm]\{ (s_1,...,s_r) : s_i \in \{1,2,...,2n\} , s_i \not= s_j f.a. i \not= j \}.[/mm]
>
> Dabei betrachte ich 1+2 als ein Paar, 3+4 als ein Paar usw.
> Mein Ergebnisraum sollte somit die Mächtigkeit
> [mm]\bruch{(2n)!}{(2n-r)!}[/mm] haben.
>
> Wenn ich das richtig verstanden habe geht die Berechnung
> der oben gefragten Wahrscheinlichkeit nun quasi darauf
> zurück zu zählen, wieviele Elemente im entsprechenden
> Ereignis sind.
> Dies bin ich wie folgt angegangen, das Ergebnis ist aber
> falsch, ich weiß nur nicht, wo der Fehler steckt:
>
> Ich dachte mir ich teile das gefragte Ereignis auf in:
>
> - Schuh 1 und Schuh 2 bilden ein Paar
> - Schuh 1 und Schuh 3 bilden ein Paar
> ...
> - Schuh 1 und Schuh r bilden ein Paar
> - Schuh 2 und Schuh 3 bilden ein Paar
> ...
> - Schuh 2 und Schuh r bilden ein Paar
> ...
> -Schuh (r-1) und Schuh r bilden ein Paar.
>
> Zur Berechnung der einzelnen Wahrscheinlichkeiten:
>
> Fall Schuh 1 und Schuh 2 bilden ein Paar:
>
> Beim ersten Schuh hat man 2n Möglichkeiten. Beim 2. Schuh
> nur 1 Möglichkeit, da das Paar komplettiert werden muss.
> Beim 3. Schuh wiederum 2n-2 Möglichkeiten, das Paar wurde
> komplettiert, also ist es egal, was gezogen wird, danach
> 2n-3 usw.
> Demnach im Endeffekt 2n*1*(2n-2)*(2n-3)*...*(2n-r) bzw.
> [mm]\bruch{(2n)!}{(2n-r)!*(2n-1)}.[/mm]
> Bei den anderen Fällen Schuh 1 + Schuh x kommt genau
> dasselbe raus(z.B. 2n Möglichkeiten beim 1. Schuch, dann
> 2n-2 Möglichkeiten beim 2. Schuh(nicht der 1. und nicht
> der Schuh der ein Paar mit dem 1. bildet), dann 1(das Paar
> voll), dann 2n-3 usw., sodass ich ingesamt für Schuh 1 +
> Schuh x auf (r-1) * [mm]\bruch{(2n)!}{(2n-r)!*(2n-1)}[/mm]
> Möglichkeiten komme.
>
> Bei den anderen Fällen gab es ähnliche Überlegungen(es
> verschiebt sich "nur immer um eins nach rechts", z.B.
> 2n*(2n-1)*1*(2n-3)*... usw.), sodass ich abschließend
> darauf komme, dass das Ereignis folgende Anzahl an
> Elementen beinhaltet:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{r-1}[/mm] (r-i) [mm]*\bruch{(2n)!}{(2n-r)!*(2n-i)}[/mm]
>
>
> Soooo, das kann aber natürlich nicht sein, dass ist viel
> zu groß.
> Darum die Frage: Wo liegt der Fehler? Und was ist die
> richtige Lösung für das Problem?
> Ich danke euch!
Hallo!
Deine Gedankengänge kann ich leider nicht nachvollziehen und es ist mir auch nicht immer klar, von welchem "Ereignis" du jeweils sprichst.
Die Wahrscheinlichkeit für "genau ein zusammengehöriges Paar" erhalte ich "klassisch" mit "günstige" durch "mögliche" mit
[mm]p(n,r):=\br{n*\vektor{n-1 \\ r-2}*2^{r-2}}{\vektor{2n\\r}}=\br{2^{r-2}*r*(r-1)*n!*(2n-r)!}{(2n)!*(n-r+1)!}\text{\ \ \ für }n,r\in\IZ^+\text{\ \ und\ \ }2\le{r}\le{}n+1[/mm]
Für r<2 und r>n+1 ist die Wahrscheinlichkeit, genau ein passendes Paar zu erwischen, trivialerweise Null.
Der Nenner sollte klar sein (r Schuhe aus 2*n Schuhen wählen). Im Zähler wird erst das passende Paar gewählt, dann werden r-2 aus den verbleibenden n-1 Paaren gewählt und von diesen jeweils entweder der rechte oder der linke Schuh genommen. Damit ist sichergestellt, dass kein zweites passendes Paar gewählt wird.
Nachstehend drei Grafiken für verschiedene Werte von n. Beachte, dass es sich hier nicht um Dichtefunktionen handelt!
Eine schöne Zusatzaufgabe wäre nun, allgemein in Abhängigkeit von n zu ermitteln, bei welchem r die Wahrscheinlichkeit am größten ist (keine Ahnung ob und wie diese Aufgabe zu lösen ist).
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß RMix
EDIT: Dein Denkfehler besteht unter anderem darin, dass du in keinster Weise sicher stellst, dass nur ein einziges zusammengehöriges Paar Schuhe gezogen wird. Aber auch, wenn man deine Aufgabenstellung von "ganau ein" auf "mindestens ein" ändert, birgt dein Ansatz Fehler, weil du viele Möglichkeiten mehrfach zählst. Die Aufgabe mit "mindestens ein" würde man günstigerweise mit Hilfe des Gegenereignisses lösen und kommt auf folgende plots (natürlich stellt sich für r<2 0% und für r>n 100% ein).
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
Hey,
ich danke dir für deine ausführliche Antwort!
Oh du hast Recht mit meinem Fehler, das war wohl nichts. Kombinatorik und ich sind noch keine wirklich guten Freunde.
Vor allem hast sich das Zählen bei den Beispielen bisher mehr an der konkreten Wahl des Ergebnisraums orientiert, so "intuitives" Zählen, da muss ich mich erstmal reinfuchsen!
Du hast bei deinem Zählen ja die Modellierung eines Urnenexperimentes ohne Reihenfolge ohne Zurücklegen gewählt.
Wenn ich die Modellierung in Reihenfolge wähle, sprich (1,2,3) [mm] \not= [/mm] (3,2,1), kommt das gleiche Ergebnis raus, bloß dass im Zähler der Term r*(r-1) fehlt. Wie erklärt sich das?
An sich sollte ja das gleiche herauskommen, wenn man sowohl bei den möglichen als auch bei den günstigen Ereignissen die Mengen die die gleichen Elemente enthalen gleichermaßen mehrfach mitzählt.
(Unterschied ist dann, dass ich statt [mm] \vektor{2n \\ r} [/mm] dann nur [mm] \bruch{(2n)!}{(2n-r)!} [/mm] benutze und statt [mm] \vektor{n-1 \\ r-2} [/mm] dann nur [mm] \bruch{(n-1)!}{(n-r+1)!})
[/mm]
Ich nehme an das hängt irgendwie damit zusammen, dass man sich am Anfang eines von n Paaren auswählt, und man da in Reihenfolge eben noch r*(r-1) Möglichkeiten mehr hat, dies zu tun, aber der genaue Zusammenhang will mir gerade nicht in den Kopf kommen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:47 Do 21.08.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Hey,
> ich danke dir für deine ausführliche Antwort!
> Oh du hast Recht mit meinem Fehler, das war wohl nichts.
> Kombinatorik und ich sind noch keine wirklich guten
> Freunde.
> Vor allem hast sich das Zählen bei den Beispielen bisher
> mehr an der konkreten Wahl des Ergebnisraums orientiert, so
> "intuitives" Zählen, da muss ich mich erstmal
> reinfuchsen!
>
> Du hast bei deinem Zählen ja die Modellierung eines
> Urnenexperimentes ohne Reihenfolge ohne Zurücklegen
> gewählt.
> Wenn ich die Modellierung in Reihenfolge wähle, sprich
> (1,2,3) [mm]\not=[/mm] (3,2,1), kommt das gleiche Ergebnis raus,
> bloß dass im Zähler der Term r*(r-1) fehlt. Wie erklärt
> sich das?
> An sich sollte ja das gleiche herauskommen, wenn man
> sowohl bei den möglichen als auch bei den günstigen
> Ereignissen die Mengen die die gleichen Elemente enthalen
> gleichermaßen mehrfach mitzählt.
> (Unterschied ist dann, dass ich statt [mm]\vektor{2n \\ r}[/mm]
> dann nur [mm]\bruch{(2n)!}{(2n-r)!}[/mm] benutze und statt
> [mm]\vektor{n-1 \\ r-2}[/mm] dann nur [mm]\bruch{(n-1)!}{(n-r+1)!})[/mm]
>
> Ich nehme an das hängt irgendwie damit zusammen, dass man
> sich am Anfang eines von n Paaren auswählt, und man da in
> Reihenfolge eben noch r*(r-1) Möglichkeiten mehr hat, dies
> zu tun, aber der genaue Zusammenhang will mir gerade nicht
> in den Kopf kommen.
>
Nun, nachdem du dich für das Paar Schuhe entschieden hast, gibt es r Möglichkeiten, den linken Schuh in dem r-tupel zu platzieren und danch r-1 Möglichkeiten für den rechten Schuh. Vielleicht ist es dieser Schritt der die fehlt.
Ansonsten stelle hier deine Vorgangsweise Schritt für Schritt mit Begründungen dar. Obwohl ich nicht ganz verstehe, warum du bei dieser deiner Fragestellung ein Modell verwenden möchtest, bei dem die Reihenfolge berücksichtigt wird.
Grundsätzlich kannst du ja auch meine Ausdrücke für die günstigen bzw. möglichen Fälle verwenden und diese jeweils mit r! multiplizieren. Damit hast du ebenfalls die entsprechenden Ausdrücke für dein Modell, welche die Reihenfolge beachtet.
Gruß RMix
|
|
|
|
