Schwache Konvergenz < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:43 Di 24.06.2014 | | Autor: | jusates |
| Aufgabe | Gegeben seien die Wahrscheinlichkeitsmaße [mm] \mu_n, \mu \in M^1(\IR) [/mm] und n [mm] \in \IN. [/mm] Zeige oder wiederlege folgende Aussagen:
a) [mm] x_n, [/mm] x [mm] \in \IR, [/mm] n [mm] \in \IN: x_n \to [/mm] x für n [mm] \to \infty \gdw \delta_{x_n} \to \delta_x [/mm] schwach
b) Falls [mm] \mu_n \to \mu [/mm] schwach, dann gilt [mm] \mu_n(A) \to \mu(A) [/mm] für alle Borelmengen A [mm] \subset [/mm] IR
c) Falls für alle Borelmengen A [mm] \subset \IR [/mm] die Folgen [mm] (\mu_n(A))_{n \in \IN} [/mm] gegen [mm] \mu(A) [/mm] konvergieren, gilt [mm] \mu_n \to \mu [/mm] schwac
d) Betrachte nun [mm] \mu_n, \mu \in M^1(\IR^d) [/mm] und [mm] \mu_n \to \mu [/mm] schwach. Für jede stetige Funktion f: [mm] \IR^d \to \IR^k [/mm] gilt dann, dass die Bildmaße [mm] (f(\mu_n))_{n \in \IN} [/mm] schwach gegen [mm] f(\mu) [/mm] konvergieren. |
Hallo,
zu den Aufgaben oben habe ich leider überhaupt keinen Ansatz wie man sowas löst. Wir hatten die "Schwache Konvergenz" leider nur kurz angeschnitten, und dort hieß es:
[mm] \mu_n [/mm] konvergiert schwach gegen [mm] \mu, [/mm] wenn gilt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \integral{f d\mu_n} [/mm] = [mm] \integral{f d\mu}
[/mm]
Als Beispiel hatten wir, dass das bei reellwertigen Zufallsvariablen bedeutet, dass die Verteilungfuktionen konvergieren, d.h.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} F_n(x) [/mm] = F(x)
Nur, wie zeigt man denn sowas etwas allgemeiner? Mein erster Ansatz war, einfach in das Integral einzusetzen, also z.B.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \integral{f d\delta_{x_n}} [/mm] = [mm] \integral{f d\delta_x}
[/mm]
und dieses dann nach [mm] x_n [/mm] bzw. x aufzulösen oder zu schlussfolgern. Das ist aber nach weniger Zeilen im Sand verlaufen...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:22 Mi 25.06.2014 | | Autor: | jusates |
Hallo,
auch wenn die Frage überfällig ist (da ja das Forum nicht erreichbar war), bleibt die Frage noch offen und ich würde immernoch gerne Hilfe bekommen!
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Hiho,
> [mm]\mu_n[/mm] konvergiert schwach gegen [mm]\mu,[/mm] wenn gilt:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \integral{f d\mu_n}[/mm] = [mm]\integral{f d\mu}[/mm]
So stand das bestimmt nicht da.
Für was für f? Für [mm] $f\equiv [/mm] 0$?
Ein paar mehr Angaben solltest du da schon noch rauskramen.....
> Mein erster Ansatz war, einfach in das Integral einzusetzen
Gute Idee und das solltest du auch mal konsequent weiterverfolgen, dann hättest du zumindest die a) und die b) schon mal, das wäre doch mal ein Anfang.
also:
a) Schreibe x und [mm] x_n [/mm] mal mithilfe des Integrals bezüglich [mm] \delta_x [/mm] bzw [mm] \delta_{x_n} [/mm] und einer geeigneten Funktion f
b) Schreibe [mm] \mu(A) [/mm] und [mm] \mu_n(A) [/mm] als Integral bezüglich des Maßes und einer geeigneten Funktion f
c) Vergleiche mit b) und überlege, ob noch was fehlt für die Definition, die du oben vervollständigen sollst. Ja oder Nein.
Die d) machen wir dann später
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:41 Mi 25.06.2014 | | Autor: | jusates |
Hallo,
oh, ok, man sollte da vielleicht erwähnen, dass f beschränkt bzw. stetig sein sollte und von Omega nach R abbildet. Fehlt sonst noch etwas, was man beachten muss?
Also ich muss hier geschickt eine Funktion f basteln/wählen, damit ich das zeige (es reicht hier eine bel. Funktion welche die Eigenschaft oben erfüllt?)? Dann werde ich mich mal da dran setzen und schauen, ob ich was erreiche. Ich melde mich heute abend aber nochmal, denke ich.
Danke erstmal für die Antwort!
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Hiho,
> oh, ok, man sollte da vielleicht erwähnen, dass f beschränkt bzw. stetig sein sollte und von Omega nach R abbildet. Fehlt sonst noch etwas, was man beachten muss?
manche Professoren geben mehr als eine Charakterisierung an, aber das wäre eine, ja.
> Also ich muss hier geschickt eine Funktion f basteln/wählen, damit ich das zeige (es reicht hier eine bel. Funktion welche die Eigenschaft oben erfüllt?)?
Jein. Kommt natürlich drauf an, was du zeigen möchtest.
Für schwache Konvergenz musst du es für alle stetigen und beschränkten Funktionen zeigen.
Für andere Aussagen wie bspw. dass [mm] x_n \to [/mm] x reicht natürlich eine.
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:50 Mi 25.06.2014 | | Autor: | jusates |
Hallo,
Nachdem ich noch ein wenig nachgeschaut habe, ist mir die a) zumindest in einer Richtung klar, vom Diracmaß zu der Folge [mm] x_n:
[/mm]
[mm] \integral_{\Omega}{f d\delta_{x_n}} [/mm] = [mm] \begin{cases} f(x_n), & \mbox{falls } x_n \in \Omega \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases}
[/mm]
Naja, da ich ueber ganz Omega integriere bin ich immer bei [mm] f(x_n). [/mm] Nun ist aber f stetig (und beschränkt?), d.h [mm] f(x_n) [/mm] geht gegen f(x) und somit folgend [mm] x_n [/mm] gegen x. Richtig?
Die Hinrichtung habe ich bisher so:
Sei f eine beliebig, stetige (und beschränkte?) Funktion. Es gilt durch [mm] x_n [/mm] gegen x nun [mm] f(x_n) [/mm] gegen f(x).
Betrachte nun:
[mm] f(x_n) [/mm] = [mm] f(x_n) [/mm] * [mm] \delta_{x_n} (\Omega) [/mm] = [mm] \integral_{\Omega}{f d\delta_{x_n}}
[/mm]
Passt das erstmal so?
Entschuldige fuer die Fehler, ich verfasse diese Nachricht gerade von meinem Handy.
Nachtrag: Korrektur, und Zusatz zur Hinrichtung!
Nachtrag2: Könnte man nicht etwas ähnlich bei der b) argumentieren?
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Hiho,
> Nachdem ich noch ein wenig nachgeschaut habe, ist mir die
> a) zumindest in einer Richtung klar, vom Diracmaß zu der
> Folge [mm]x_n:[/mm]
>
> [mm]\integral_{\Omega}{f d\delta_{x_n}}[/mm] = [mm]\begin{cases} f(x_n), & \mbox{falls } x_n \in \Omega \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases}[/mm]
>
> Naja, da ich ueber ganz Omega integriere bin ich immer bei
> [mm]f(x_n).[/mm] Nun ist aber f stetig (und beschränkt?), d.h
> [mm]f(x_n)[/mm] geht gegen f(x) und somit folgend [mm]x_n[/mm] gegen x.
> Richtig?
Ja, aber das ist die falsche Richtung 
Du wolltest ja zeigen, dass dann [mm] $x_n \to [/mm] x$ gilt. Aber die Rückrichtung hast du damit nun gezeigt. Schreibe sie aber nochmal sauber auf.
>
> Die Hinrichtung habe ich bisher so:
>
> Sei f eine beliebig, stetige (und beschränkte?) Funktion.
> Es gilt durch [mm]x_n[/mm] gegen x nun [mm]f(x_n)[/mm] gegen f(x).
>
> Betrachte nun:
>
> [mm]f(x_n)[/mm] = [mm]f(x_n)[/mm] * [mm]\delta_{x_n} (\Omega)[/mm] =
> [mm]\integral_{\Omega}{f d\delta_{x_n}}[/mm]
>
> Passt das erstmal so?
Ist nen guter Anfang für die Hinrichtung, ja.
> Nachtrag2: Könnte man nicht etwas ähnlich bei der b) argumentieren?
Ja.
Gruß,
Gono.
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