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| Aufgabe | Es sei $K [mm] \subset \IR^n$ [/mm] eine kompakte Menge mit positivem Volumen V. Man nennt den Punkt $s = [mm] (s_1,...,s_n)$ [/mm] mit
[mm] $s_k [/mm] = [mm] \frac{1}{V} \int_{K} x_k [/mm] d [mm] \mathfrak{v}_2(x,y), [/mm] k = 1, ..., n$
den Schwerpunkt von K.
Berechnen Sie den Schwerpunkt des Halbkreises
$H = [mm] \left \{ (x,y) \in \IR^2; x^2+y^2 \le 1, y \ge 0 \right \}$. [/mm] |
An sich sehr easy. Mich irritiert nur Wikipedia :D
http://de.wikipedia.org/wiki/Geometrischer_Schwerpunkt
Dort steht [mm] $y_s [/mm] = r [mm] \frac{l}{b}$ [/mm] (unter 1.1.2)
Für unser Beispiel wäre r = 1, l = 2 und b = [mm] $\pi$
[/mm]
Dann würde da rauskommen der Punkt $( 0, [mm] \frac{2}{\pi} [/mm] )$.
Das doch aber quatsch. Rein logisch schon...
Also mal "streng" Mathematisch:
V vom Einheitshalbkreis = [mm] $\frac{\pi}{2}$
[/mm]
[mm] $s_1 [/mm] = 0$ ist trivial
[mm] $s_2 [/mm] = [mm] \frac{1}{V} \int_{0}^{1} \int_{- \sqrt{1-y^2} }^{ \sqrt{1-y^2} } [/mm] y d [mm] \mathfreak{v}_2(x,y) [/mm] = [mm] \frac{2}{\pi} \int_{0}^{1} [/mm] 2y [mm] \sqrt{1-y^2} [/mm] dy = [mm] \frac{4}{\pi 3}$
[/mm]
Ähhh ja. Wikipedia-Fail?
Die Zahl würde vom Gefühl her auch viel ordentlicher ausschauen. Was meint ihr? Deute ich in Wiki einfach was falsch?
Liebe Grüße,
Highchiller
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:00 Do 07.06.2012 | | Autor: | algieba |
Hi Highchiller
Nein das ist schon überall richtig. Du hast in Wikipedia die Formel für den Kreisbogen und nicht für den Kreisausschnitt genommen. Die Formel für den Kreisauschnitt findest du unter 1.2.4., und mit dieser Formel kommt auch das gleiche Ergebnis wie bei dir raus.
Viele Grüße
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