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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:31 Mi 01.12.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Der Schwerpunkt [mm] S=(s_1,...,s_n) [/mm] wird definiert durch
[mm] s_i=\bruch{1}{V}\integral_K{x_i d\mu(x)}
[/mm]
wobei V das Volumen des Körpers K ist.
Aufgabe ist nun:
Berechnen Sie den Schwerpunkt des Kegels
[mm] K(B_1(0),h)=\{x\in\IR^n, x_n\in[0,h], (x_1,...,x_{n-1})\in(1-\bruch{x_n}{h})B_1(0)\}
[/mm]
wobei [mm] B_1(0) [/mm] die Einheitskugel im [mm] \IR^{n-1}
[/mm]
So, zuerst habe ich mal die Definition des Volumens eines Kegels gesucht, die hatten wir schon in der Vorlesung:
[mm] V_n(K)=\bruch{1}{n}*V_{n-1}(K)*h
[/mm]
ich bin mir allerdings nicht ganz sicher, ob das für die weitere Berechnung so reicht, schließlich habe ich [mm] V_{n-1}(K) [/mm] auch nicht gegeben, kann man das dann irgendwie rekursiv berechnen, bzw. wie macht man das oder reicht das doch so?
Dann habe ich mir überlegt, dass ich ja vom Prinzip her (ich stelle mir das immer dreidimensional vor  ) um das Volumen zu berechnen einmal über die Höhe integrieren muss und dann noch über die "Grundfläche". Über die Höhe dürfte das ja kein Problem sein, da schreibe ich [mm] \integral_{0}^{h} [/mm] ... [mm] d\mu(h), [/mm] wobei mich hier auch ein bisschen verwirrt, dass zweimal h vorkommt, aber ich meine, das ist richtig so, weil ja das [mm] x_n, [/mm] das die "Höhe" angibt, genau [mm] \in[0,h] [/mm] ist oder vielleicht sollte ich am Ende besser [mm] d\mu(x_n) [/mm] schreiben!? (Ich dachte nur irgendwie h für Höhe merkt man sich besser, aber wenn's nur verwirrt... ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") )
Aber mit dem "inneren" Integral habe ich noch Probleme. Ich würde da so etwas schreiben wie:
[mm] \integral{(1-\bruch{x_n}{h})B_1(0)d\mu_{n-1}(x_n)}
[/mm]
Allerdings fehlen mir hier noch die Integrationsgrenzen, vielleicht von 0 bis [mm] 1-\bruch{x_n}{h} [/mm] oder muss [mm] B_1(0) [/mm] nicht noch dahinter? Oder doch ganz was anderes?
Jedenfalls weiß ich nicht weiter.
Und ich hatte noch eine Frage:
Im Prinzip müsste ich doch jetzt alle [mm] s_i [/mm] einzeln berechnen. Aber da ich ja im [mm] \IR^n [/mm] bin, geht das ja eigentlich gar nicht. In einem Beispiel für [mm] \IR^3 [/mm] habe ich gelesen: Aufgrund der Symmetrie, sind zwei der [mm] s_i [/mm] =0. Das leuchtet mir im 3D ein, ich schätze, das ist auch im [mm] \IR^n [/mm] so!? Aber das muss man doch sicher irgendwie zeigen. (Wenn meine Logik stimmt, dann müsste nur für [mm] s_n [/mm] ein Wert [mm] \not= [/mm] 0 rauskommen... Wahrscheinlich sieht man dann, wenn man was anderes einsetzt, dass das dafür immer =0 wird.)
So, ich hoffe, ich liege mit meinen Überlegungen nicht total falsch.
Es wäre schön, wenn mir jemand so helfen könnte, dass ich den größten Teil selber schaffe, ich glaube nämlich, dass das eine Aufgabe ist, bei der das klappen könnte. (Ich habe noch bis Donnerstag abend Zeit...)
Viele Grüße
Bastiane
![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]")
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Hallo Bastiane,
sollst du den Schwerpunkt eines n-dimensionalen Kegels bestimmen oder befindest du dich in [mm] \IR^3?
[/mm]
Prinzipiell nimmst du Zylinderkoordinaten um deine Symmetrieachse. Der SP muss auf dieser Achse liegen. Die Höhe bekommst du durch Integration entlang der Höhe.
Du integrierst entlang der Symmetrieachse h gewichtet mit der Fläche der zugehörigen (Hyper-)kreisfläche und dividierst dieses Integral durch das Volumen des Kegels.
Ich tippe intuitiv darauf, dass als Ergebnis [mm] \frac{h_{Kegel}}{n+1} [/mm] rauskommt. Zumindest passt das bei 2D-Kegel (Dreieck) und 3D-Kegel und bei jedem n-Simplex.
Hugo
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Hallo Basti,
(das wäre doch noch kürzer) 
ich hole trotzdem erst mal kurz aus:
Zylinderkoordinaten in meiner Sprechweise treten erstmals im [mm] \IR^3 [/mm] auf. Du packst (n-1) Koordinaten in Kugelkoordinaten und die letze Richtung legst du dir senkrecht dazu fest, wie bei einem Zylinder.
Im [mm] \IR^4 [/mm] würde es heißen: du nimmst die Kugelkoordinaten vom [mm] \IR^3 [/mm] und steckst als Höhenrichtung ne neue Koordinate drauf.
Beim Übergang von [mm] \IR^2 [/mm] nach [mm] \IR^3 [/mm] passiert das auch: Polarkoordinaten sind die Kugelkoordinaten vom [mm] \IR^2, [/mm] die kannst du entweder zu Kugelkoordinaten im [mm] \IR^3 [/mm] erweitern oder eben zu normalen Zylinderkoordinaten.
Jetzt wird es konkret:
Zuerst mal hatte ich bei deiner Angabe überlesen, dass die Höhenrichtung in [mm] x_n [/mm] -Richtung zeigt.
Das Kegelvolumen sollte [mm]\frac{1}{n}G\cdot h[/mm] sein, wobei mit G der Inhalt der 'Grundfläche', d.h. [mm]\mu_{n-1}(B_1(0))[/mm] in der [mm](x_1,x_2,\dots,x_{n-1})[/mm] -Hyperebene gemeint ist und nicht das Volumen des 'vorherigen' Kegels.
In der besagten Hyperebene nimmst du Kugelkoordinaten, d.h. einen Radius [mm]=\sum_{i=1}^{n-1}x_i^2[/mm], die verschiedenen Richtungen vom Ursprung weg bekommst du durch diverse Si- und Kosi-Nüsse. [mm] x_n [/mm] bleibt so wie es ist.
Glücklicherweise brauchst du dich um die Funktionaldeterminate und die genaue Darstellung der ersten (n-1) Koordinaten nicht zu kümmern, denn wenn du zuerst in diese Richtungen integrierst, steht zauberhafterweise dieses Integral zuletzt da:
[mm]\mu_n(Kegel)=\int_0^h(1-\frac{x_n}{h})^{n-1}\mu_{n-1}(B_1(0))\ d\mu_1(x_n)[/mm]
Der Ausdruck [mm](1-\frac{x_n}{h})^{n-1}[/mm] entsteht dadurch, dass in allen (n-1) Richtungen senkrecht zur Höhe der Radius verringert wird. Deshalb der Exponent (n-1).
Für den Schwerpunkt steht im Integral einfach nochmal der Faktor [mm] x_n [/mm] im Integranden mit drin, sonst ändert sich nix.
Ich mach hier erst mal Schluß, du kannst ja nochmal schreiben, welche konkreten Fragen übriggeblieben sind. Hoffentlich hat dir das hier was gebracht.
> Demnach war meine Vermutung falsch, dass gewisse
> Koordinaten = 0 sind?
Alle SP-Koordinaten bis auf die [mm] x_n [/mm] -Komponente sind aufgrund der Symmetrie Null.
> Aber könntest du vielleicht evtl. doch noch etwas genauer
> auf meine einzelnen Fragen eingehen? Also nur speziell auf
> die Fragen, gar nicht weiter ausholen...
Au weh, schon wieder eine von denen, die nur ihre Aufgaben gerechnet bekommen wollen...
Hugo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:23 Do 02.12.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Hugo!
(oder soll ich besser Thomas sagen?)
Mmh - also einiges meinst du glaube ich genauso wie ich es mir dachte und auch dachte, dass ich es so geschrieben hätte. Aber irgendwie weiß ich trotzdem noch nicht so ganz, wie ich jetzt auf eine Lösung komme. Aber vielleicht kann ich im Moment auch nur nicht so ganz denken (bin ein bisschen in Zeitnot, muss nämlich bald weg...).
Naja, ich versuch's nochmal mit ein paar Fragen und meinem Ansatz:
> Jetzt wird es konkret:
> Zuerst mal hatte ich bei deiner Angabe überlesen, dass die
> Höhenrichtung in [mm]x_n[/mm] -Richtung zeigt.
Das ist doch aber nach der gegebenen Definition richtig so, oder?
> Das Kegelvolumen sollte [mm]\frac{1}{n}G\cdot h[/mm] sein, wobei mit
> G der Inhalt der 'Grundfläche', d.h. [mm]\mu_{n-1}(B_1(0))[/mm] in
> der [mm](x_1,x_2,\dots,x_{n-1})[/mm] -Hyperebene gemeint ist und
> nicht das Volumen des 'vorherigen' Kegels.
>
> In der besagten Hyperebene nimmst du Kugelkoordinaten, d.h.
> einen Radius [mm]=\sum_{i=1}^{n-1}x_i^2[/mm], die verschiedenen
> Richtungen vom Ursprung weg bekommst du durch diverse Si-
> und Kosi-Nüsse. [mm]x_n[/mm] bleibt so wie es ist.
Also, was ich hier mit deinen Nüssen (*gg*) anfangen soll, weiß ich nicht so ganz (und muss da beim Radius nicht eigentlich noch die Wurzel aus der Summe gezogen werden?). Aus der Vorlesung hatte ich doch die Formel für das Volumen:
[mm] V_n (K)=\bruch{1}{n}*V_{n-1}(B)*h. [/mm] Ist das nicht das Gleiche, was du unten rausbekommst?
> Glücklicherweise brauchst du dich um die
> Funktionaldeterminate und die genaue Darstellung der ersten
> (n-1) Koordinaten nicht zu kümmern, denn wenn du zuerst in
> diese Richtungen integrierst, steht zauberhafterweise
> dieses Integral zuletzt da:
>
> [mm]\mu_n(Kegel)=\int_0^h(1-\frac{x_n}{h})^{n-1}\mu_{n-1}(B_1(0))\ d\mu_1(x_n)[/mm]
>
Das ist doch jetzt deine Formel für das Volumen!? Wenn ich das mit meiner vergleiche, dann frage ich mich, wo das [mm] \bruch{1}{n} [/mm] abgeblieben ist.
Der erste Teil unter dem Integral ist doch wahrscheinlich das Volumen von [mm] V_{n-1}, [/mm] also das mit dem (n-1) als Exponent, ich glaube, das habe ich verstanden (hoffentlich! ), zusammen mit dem Volumen von [mm] B_1(0), [/mm] das steht ja dahinter (und noch ne kleine Zwischenfrage: Kann man hier [mm] \mu_n [/mm] mit [mm] V_n [/mm] gleichsetzen bzw. ist das genauso zu verstehen?)
> Der Ausdruck [mm](1-\frac{x_n}{h})^{n-1}[/mm] entsteht dadurch, dass
> in allen (n-1) Richtungen senkrecht zur Höhe der Radius
> verringert wird. Deshalb der Exponent (n-1).
>
> Für den Schwerpunkt steht im Integral einfach nochmal der
> Faktor [mm]x_n[/mm] im Integranden mit drin, sonst ändert sich
> nix.
>
So, das verwirrt mich jetzt total! Ich habe doch in der Schwerpunkt-Formel den Faktor mit dem Volumen vor dem Integral stehen. Deshalb kann ich das doch erstmal einzeln berechnen und integriere erstmal nur über [mm] x_i [/mm] !?
> Ich mach hier erst mal Schluß, du kannst ja nochmal
> schreiben, welche konkreten Fragen übriggeblieben sind.
> Hoffentlich hat dir das hier was gebracht.
>
> > Demnach war meine Vermutung falsch, dass gewisse
> > Koordinaten = 0 sind?
>
> Alle SP-Koordinaten bis auf die [mm]x_n[/mm] -Komponente sind
> aufgrund der Symmetrie Null.
Okay, also war die Vermutung doch richtig. Aber reicht es, dass einfach so hinzuschreiben?
Jedenfalls habe ich jetzt als Ansatz:
Da nur für [mm] x_n [/mm] ein Wert [mm] \not= [/mm] 0 herauskommt, berechne ich nur diesen, also:
[mm] s_n=\bruch{1}{V} \integral_{K}{x_n}d\mu(x)
[/mm]
= [mm] \integral_{0}^{h}{\integral_{0}^{(1-\bruch{x_n}{h})}{(1-\bruch{x_n}{h})*B_1(0) d\mu(x) d\mu(h)}}
[/mm]
Muss hier in der oberen Integrationsgrenze noch [mm] *B_1(0) [/mm] stehen? Und muss ich vielleicht [mm] d\mu_{n-1}(x) [/mm] schreiben? Bzw. wird das dann für alle [mm] x_i\not=x_n [/mm] = 0 oder so?
= [mm] B_1(0)*\integral_{0}^{h}{\integral_{0}^{(1-\bruch{x_n}{h})}{(1-\bruch{x_n}{h}) d\mu(x) d\mu(h)}}
[/mm]
Und jetzt habe ich mich noch gefragt, warum hier [mm] d\mu(x) [/mm] steht. Müsste da jetzt nicht [mm] d\mu(x_n) [/mm] stehen?
Jedenfalls wollte ich jetzt das zweite Integral nach x integrieren, da stände dann doch nur noch
[mm] [(1-\bruch{x_n}{h})x]_{0}^{(1-\bruch{x_n}{h})}
[/mm]
und davon noch das Integral über h.
Aber irgendwie stimmt da glaube ich irgendwas nicht.
> > Aber könntest du vielleicht evtl. doch noch etwas
> genauer
> > auf meine einzelnen Fragen eingehen? Also nur speziell
> auf
> > die Fragen, gar nicht weiter ausholen...
>
> Au weh, schon wieder eine von denen, die nur ihre Aufgaben
> gerechnet bekommen wollen...
Ja, genau deswegen wollte ich das ja diesmal nicht! Ich habe schon oft genug Aufgaben vorgerechnet bekommen, und wenn andere das verlangen, dann ärgere ich mich immer ein bisschen. Also, warum sollte ich das dann verlangen dürften?
Naja, jedenfalls fürchte ich, brauche ich jetzt doch noch etwas mehr Hilfe, mehr als das, was hier jetzt steht, habe ich nicht. Ich hoffe, meine Fragen sind klar genug und die Antworten helfen mir...
Viele Grüße
Bastiane
(von mir aus auch Basti...) ![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Hallo Basti,
> (oder soll ich besser Thomas sagen?)
Hugo ist denke ich besser.
> Also, was ich hier mit deinen Nüssen (*gg*) anfangen soll,
> weiß ich nicht so ganz
![[hammer]](/images/smileys/hammer.gif "[hammer]")
> (und muss da beim Radius nicht
> eigentlich noch die Wurzel aus der Summe gezogen werden?)
Ja, das hatte ich ganz vergessen. Das ist aber egal, weil dieses Detail keine Rolle mehr spielt, wenn du die Schnitt-Hyperflächen deines Kegels mit den in [mm] x_n [/mm] -Richtung verschobenen Hyperebenen betrachtest.
> Aus der Vorlesung hatte ich doch die Formel für das
> Volumen:
> [mm]V_n (K)=\bruch{1}{n}\cdot V_{n-1}(B)\cdot h[/mm] Ist das nicht das
> Gleiche, was du unten rausbekommst?
Es ist das gleiche. Ich hatte statt [mm]V_{n-1}(B)[/mm] ein K, d.h. [mm]V_{n-1}(K)[/mm] gelesen. Muss wohl an meinem Bildschirm liegen... ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
> [mm]\mu_n(Kegel)=\int_0^h(1-\frac{x_n}{h})^{n-1}\mu_{n-1}(B_1(0))\ d\mu_1(x_n)[/mm]
> Das ist doch jetzt deine Formel für das Volumen!? Wenn ich
> das mit meiner vergleiche, dann frage ich mich, wo das
> [mm]\bruch{1}{n}[/mm] abgeblieben ist.
Der Entsteht im nächsten Schritt, wenn du integrierst. Das Integral lautet dann:
[mm]V_n(Kegel)=\mu_n(Kegel)=\left[-\frac{1}{n}(1-\frac{x_n}{h})^n\cdot V_{n-1}(B)\right]_{0}^{h}=\frac{1}{n}h\cdot V_{n-1}(B)[/mm]
[mm]\mu_n[/mm] und [mm]V_n[/mm] sind dasselbe.
> So, das verwirrt mich jetzt total! Ich habe doch in der
> Schwerpunkt-Formel den Faktor mit dem Volumen vor dem
> Integral stehen. Deshalb kann ich das doch erstmal einzeln
> berechnen und integriere erstmal nur über [mm]x_i[/mm] !?
Es gilt doch grob ausgedrückt:
[mm]s_i\int dV=\int x_i\cdot dV[/mm]
Das habe ich damit gemeint, dass (hier auf der rechten Seite) ein [mm] x_n [/mm] mit in den Integranden kommt.
> > Alle SP-Koordinaten bis auf die [mm]x_n[/mm] -Komponente sind
> > aufgrund der Symmetrie Null.
> Okay, also war die Vermutung doch richtig. Aber reicht
> es, dass einfach so hinzuschreiben?
Das reicht auf jeden Fall.
> Da nur für [mm]x_n[/mm] ein Wert [mm]\not=[/mm] 0 herauskommt,
> berechne ich nur diesen, also:
> [mm]s_n=\bruch{1}{V} \integral_{K}{x_n}d\mu(x)=[/mm]
> [mm]=\integral_{0}^{h}{\integral_{0}^{(1-\bruch{x_n}{h})}{(1-\bruch{x_n}{h})*B_1(0) d\mu(x) d\mu(h)}}[/mm]
Das stimmt nicht ganz. Wie ich schon erwähnt habe, die Flächen senkrecht zur [mm] x_n [/mm] -Achse werden nicht quadratisch sondern mit dem Exponenten (n-1) kleiner (siehe meine Formel) Du machst hier zwei Sachen auf einmal und passt nicht zusammen.
>
Mach dir nicht so viele Gedanken wegen den Integrationsgrenzen und den Benennungen der Integrationsvariablen bzw. den dazugehörigen Maßen. Du integriert erst mal nach [mm] x_1 [/mm] bis [mm] x_{n-1} [/mm] . Das geht automatisch, denn du kennst theoretisch schon [mm] V_{n-1}(B) [/mm] . Das ist der Wert dieses Integrals (zumindest bei [mm] x_n=0 [/mm] ). Für [mm] x_n\not=0 [/mm] musst du den Wert um einen geeigneten Faktor verkleinern, das macht bei mir das [mm](1-\frac{x_n}{h})^{n-1}[/mm]. Diesen passend gemachten Querschnittsflächen-Inhalt integrierst du von 0 bis h in der Variablen [mm] x_n [/mm] und das war es schon.
Jetzt musst du nur noch berechnen, was
[mm]\int_0^h x_n\cdot(1-\frac{x_n}{h})^{n-1}V_{n-1}(B)[/mm] ist.
Partiell integriert ist das dasselbe wie
[mm]\int_0^h (1-\frac{x_n}{h})^n V_{n-1}(B)[/mm]
und das integriert ergibt
[mm]\left[-\frac{1}{n+1}(1-\frac{x_n}{h})^{n+1}\right]_0^h[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:40 Do 02.12.2004 | | Autor: | Bastiane |
> Hallo Basti,
>
> > (oder soll ich besser Thomas sagen?)
>
> Hugo ist denke ich besser.
Okay, also: hallo Hugo!
> Es ist das gleiche. Ich hatte statt [mm]V_{n-1}(B)[/mm] ein K, d.h.
> [mm]V_{n-1}(K)[/mm] gelesen. Muss wohl an meinem Bildschirm
> liegen...
Mmh, sorry, da habe ich mich leider verschrieben. Als ich es dann in dem anderen Beitrag noch einmal geschrieben habe, habe ich mich später drüber gewundert und es verbessert, aber dass ich es vorher auch schon falsch geschrieben hatte, wusste ich gar nicht.
Jedenfalls hatte es mich auch etwas verwirrt, dass du mir die ganze Formel noch einmal herleiten wolltest, wo ich sie doch schon hatte... Aber danke trotzdem.
> > Das ist doch jetzt deine Formel für das Volumen!? Wenn
> ich
> > das mit meiner vergleiche, dann frage ich mich, wo das
>
> > [mm]\bruch{1}{n}[/mm] abgeblieben ist.
> Der Entsteht im nächsten Schritt, wenn du integrierst. Das
> Integral lautet dann:
>
> [mm]V_n(Kegel)=\mu_n(Kegel)=\left[-\frac{1}{n}(1-\frac{x_n}{h})^n\cdot V_{n-1}(B)\right]_{0}^{h}=\frac{1}{n}h\cdot V_{n-1}(B)[/mm]
>
>
> [mm]\mu_n[/mm] und [mm]V_n[/mm] sind dasselbe.
Also ein bisschen klarer ist das jetzt geworden, aber irgendwie habe ich etwas den Faden verloren (in der ganzen Vorlesung). Wenn ich nur mehr Zeit hätte, das alles zu wiederholen und zu lernen... Aber spätestens kurz vor der Klausur melde ich mich mit Fragen wieder.
Also, dank deiner weiteren Berechnungen konnte ich da jetzt wenigstens ein paar Zeilen incl. eines Ergebnisses hinschreiben, aber ehrlich gesagt: Verstanden habe ich das noch nicht so ganz.
Aber das liegt nicht an dir - mir fehlt da irgendwie was und auch ein bisschen das Denken im [mm] \IR^n. [/mm] Wie gesagt, wenn ich Zeit habe, werde ich nochmal Beispiele aus dem [mm] \IR^3 [/mm] oder so rechnen und mich dann erst weiter vorwagen... Dann wirst du mir sicher wieder helfen. (Dann wird's aber wohl auch unbefristet, sodass du es nicht unbedingt machen musst.)
Viele Grüße
Bastiane
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