Schwierige Ableitung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:50 Di 19.12.2006 | | Autor: | patb |
Hallo,
ich habe hier eine ganze Reihe von Ableitungen von Funktionen zu machen, 2 davon finde ich sehr schwer, bzw. ich weiß dort keinen richtigen Ansatz:
[mm] f_{1}(x) [/mm] = [mm] e^{2(arcsin \bruch{x}{2}+1)}
[/mm]
und
[mm] f_{2}(x) [/mm] = [mm] \wurzel{1+ln(1+ax^{2})}
[/mm]
Meine Gedanken zu [mm] f_{1}(x):
[/mm]
Dort ist die Veränderliche ja nur oben in der Potenz zu finden. Allerdings weiß ich, dass [mm] e^{x} [/mm] differenziert [mm] e^{x} [/mm] ist - aber das kann's ja nicht sein. Weiterhin ist mir bekannt, dass arcsin(x) differenziert [mm] \bruch{1}{\wurzel{1-x^{2}}} [/mm] ist. Muss ich demnach als erstes das arcsin ableiten?
Und zu [mm] f_{2}(x):
[/mm]
Eine Wurzel würde ich immer erstmal als [mm] x^{\bruch{1}{2}} [/mm] schreiben, wäre das hier ein erster richtiger Schritt? Weiterhin weiß ich, dass ln(x) differenziert [mm] \bruch{1}{x} [/mm] ist. Aber ist das der nächste Schritt? Wahrscheinlich handelt es sich hier um etwas verschachteltes (Kettenregel?) ?
Über Hilfe, vielleicht den ersten oder die ersten beiden Schritte, um f1 und f2 zu differenzieren, wäre ich sehr dankbar!
Vielen Dank für Eure Hilfe
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:14 Di 19.12.2006 | | Autor: | Walty |
Hallo patb!
Erstmal ein großes Lob für Deine Fragestellung - hast Du den entsprechenden Artikel "Wie man richtig fragt" gelesen? Alles umgesetzt, bravo!
Du machst Dir die richtigen Gedanken, "Kettenregel" ist das Zauberwort (für beide Funktionen).
[mm]h(g(x)) => h'(x)= g'(x)*h'(g(x))[/mm]
innere Ableitung multipliziert mit äußerer Ableitung - das kann auch über mehrere Ebenen verschachtelt sein! -das Prinzip bleibt aber gleich!
Du musst also deine komplizierten Funktionen in einfache zerlegen und diese mit Hilfe der Kettenregel ableiten...
[mm] e^{g(x)} [/mm] -> [mm] g'(x)*e^{g(x)} [/mm] ([mm]g'()[/mm] evtl. auch verschachtelte Funktion? -> Kettenregel)
[mm] g(x)^{\bruch{1}{2}} [/mm] -> [mm]g'(x)* \bruch{1}{2}g(x)^{-\bruch{1}{2}}[/mm]
hth
Walty
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:20 Di 19.12.2006 | | Autor: | patb |
Hallo,
erstmal vielen Dank für Deine Antwort.
> Erstmal ein großes Lob für Deine Fragestellung - hast Du
> den entsprechenden Artikel "Wie man richtig fragt" gelesen?
> Alles umgesetzt, bravo!
ich muss zugeben, dass ich das nicht gelesen habe (obwohl man es wohl auf jeden Fall tun sollte, bevor man fragt). Allerdings finde ich, dass ein ordentlicher Beitrag sein muss (klare Frage, eigene Gedanken, Höflichkeit etc...), denn man erwartet ja schließlich auch Hilfe.
> [mm]e^{g(x)}[/mm] -> [mm]g'(x)*e^{g(x)}[/mm] ([mm]g'()[/mm] evtl. auch verschachtelte
> Funktion? -> Kettenregel)
>
> [mm]g(x)^{\bruch{1}{2}}[/mm] -> [mm]g'(x)* \bruch{1}{2}g(x)^{-\bruch{1}{2}}[/mm]
>
Ah, ich glaube ich weiß, wo genau mein Problem liegt. Ich wusste nicht, dass Potenzen, von denen die Basis oder der Exponent eine Funktion ist, auch mit der Kettenregel behandelt werden müssen - ist die Überlegung richtig?
Falls ja, was ganz genau wäre denn bei Folgendem die innere und die äußere Funktion:
[mm] g(x)^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
und bei dieser?
[mm] e^{g(x)}
[/mm]
Und noch eine kleine zusätzliche Frage zur ersten Funktion, die ich oben genannt hatte (f1):
[mm] e^{2(arcsin \bruch{x}{2}+1)}
[/mm]
ist der Exponent hier eine Funktion, also quasi [mm] e^{g(x)} [/mm] (und demnach ist das 2(...) nur ein Faktor, der bei der Ableitung bestehen bleibt), oder sind es 2 Funktionen, aufgrund des 2(...)? Das sehe ich leider noch nicht ganz :-/
Nochmals vielen Dank für Deine Hilfe!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:16 Di 19.12.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
[mm] e^{2(arcsin \bruch{x}{2}+1)} [/mm]
Hier würde ich folgende Teilfunktionen Definieren:
[mm] h(x)=\bruch{x}{2}[s]+1[/s]
[/mm]
[mm] g(y)=2arcsin(y)\red{+1}
[/mm]
und schliesslich
[mm] f(z)=e^{z}
[/mm]
Jetzt mal angefangen abzuleiten:
[mm] f(x)=e^{g(h(x))}
[/mm]
Und das per Kettenregel abgeleitet:
[mm] \underbrace{e^{g(h(x))}}_{Aeussere Abl.}*\underbrace{g(h(x))'}_{immere Abl.}
[/mm]
Die Innere Ableitung musst du jetzt aber wieder per Kettenregel behandeln.
Also [mm] g(h(x))'=\underbrace{\bruch{2}{\wurzel{1-(h(x))²}}}_{Aeussere}*h'(x)
[/mm]
[mm] =\bruch{2}{\wurzel{1-(\bruch{x}{2}+1)²}}*\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{\wurzel{1-(\bruch{x}{2}+1)²}}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{\wurzel{\bruch{x²}{4}-x}}
[/mm]
Zusammnegesetzt ergibt sich dann:
[mm] f'(x)=\underbrace{e^{2(arcsin(\bruch{x}{2}+1))}}_{f'(g(h(x))}*\underbrace{\bruch{1}{\wurzel{1-(\bruch{x}{2}+1)²}}}_{g(h(x))'}
[/mm]
[mm] =\bruch{e^{2(arcsin(\bruch{x}{2}+1))}}{\wurzel{\bruch{x²}{4}-x}}
[/mm]
Nun zu
[mm] \wurzel{1+ln(1+ax^{2})}
[/mm]
hier definiere mal folgendermassen:
h(x)=1+ax²
g(y)=1+ln(y)
und [mm] f(z)=\wurzel{z}
[/mm]
Dann gilt:
f(g(h(x))'=f'(g(h(x))*g(h(x))'
Also [mm] \bruch{1}{2\wurzel{1+ln(1+ax^{2})}}*g(h(x))'
[/mm]
Und [mm] g(h(x))'=\bruch{1}{h(x)}*h'(x)
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{1+ax²}*2ax
[/mm]
[mm] =\bruch{2ax}{1+ax²}
[/mm]
Zusammensetzen ergibt:
[mm] f'(x)=\bruch{1}{2\wurzel{1+ln(1+ax^{2})}}*\bruch{2ax}{1+ax²}
[/mm]
[mm] =\bruch{ax}{\wurzel{1+ln(1+ax^{2})}*(1+ax²)}
[/mm]
Marius
EDIT: Ich hoffe, ich habe den Fehler eliminiert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:40 Di 19.12.2006 | | Autor: | patb |
Vielen Dank für die ausführliche Hilfe!
Also ist es korrekt, dass man eine Potenz, z.b. [mm] e^{f(x)} [/mm] oder [mm] f(x)^{2}, [/mm] immer mit der Kettenregel behandeln muss?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:54 Di 19.12.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ja! [mm] e^{irgendwas} [/mm] ist ja doch sicher ne Funktion von irgendwas! und [mm] (irgendwas)^2 [/mm] ist natürlich ne funktion von irgendwas.
Wenn du dir unsicher bist schreib erst mal irgendwas=y dann siehst du [mm] e^y=f(y) [/mm] und wenn jetzt y von x abhängt hast du eben die kettenregel, genau wie bei ln(was) oder sin(was) usw.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:01 Di 19.12.2006 | | Autor: | Walty |
*leduart zustimm*
Immer, wenn Du Funktionen von Funktionen hast, wenn Du also einen Term durch Zusammenfassen auf einfache Funktionen, deren Ableitung du kennst zurückführen kannst kommst du mit der Kettenregel weiter.
...nun gut [mm]f(x)^2[/mm] könntest Du zur Not nach der Produktregel behandeln *g*
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 16:58 Di 19.12.2006 | | Autor: | Walty |
> Hallo
>
> [mm]e^{2(arcsin \bruch{x}{2}+1)}[/mm]
>
> Hier würde ich folgende Teilfunktionen Definieren:
>
> [mm]h(x)=\bruch{x}{2}+1[/mm]
> [mm]g(y)=2\arcsin{(y)}[/mm]
> und schliesslich
> [mm]f(z)=e^{z}[/mm]
Die Klammersetzung und der allgemeine Gebrauch der Schreibweise der Argumente von trigonometrischen Funktionen legen eine andere Deutung nahe!!
Für Deine Interpretation müsste die Klammerung um den Ausdruck -> [mm](\bruch{x}{2}+1) [/mm] sein.
Dass der Faktor 2 vor der Klammer steht lässt nur eine Interpretation zu:
[mm]2*(1 + \arcsin{\bruch{x}{2}})[/mm]
> Jetzt mal angefangen abzuleiten:
> [mm]f(x)=e^{g(h(x))}[/mm]
> Und das per Kettenregel abgeleitet:
> [mm]\underbrace{e^{g(h(x))}}_{Aeussere Abl.}*\underbrace{g(h(x))'}_{immere Abl.}[/mm]
>
> Die Innere Ableitung musst du jetzt aber wieder per
> Kettenregel behandeln.
>
per Augenschein dann aber ab hier richtig.
Veine Version der Antwort war:
> Falls ja, was ganz genau wäre denn bei Folgendem die innere
> und die äußere Funktion:
>
> [mm]g(x)^{\bruch{1}{2}}[/mm]
äußere Funktion: [mm] h(y)=y^{\bruch{1}{2}} [/mm]
innere Funktion: [mm] g=g(x)[/mm]
> und bei dieser?
>
> [mm]e^{g(x)}[/mm]
entsprechend:
äußere Funktion [mm] h(y)=e^y [/mm]
innere Funktion [mm] g(x) [/mm]
> Und noch eine kleine zusätzliche Frage zur ersten Funktion,
> die ich oben genannt hatte (f1):
>
> [mm] e^{2(\arcsin{\bruch{x}{2}}+1)} [/mm]
>
> ist der Exponent hier eine Funktion, also quasi [mm]e^{g(x)}[/mm]
> (und demnach ist das 2(...) nur ein Faktor, der bei der
> Ableitung bestehen bleibt), oder sind es 2 Funktionen,
> aufgrund des 2(...)? Das sehe ich leider noch nicht ganz
> :-/
das ist eine eigene Funktion [z.B.[mm](e^{2x})'=2*e^{2x}.)[/mm]]
Ich machs mal (sehr) ausführlich:
[mm]e^{2(\arcsin{(\bruch{x}{2})}+1)}[/mm] kannst du aufdröseln nach
[mm]h(z)=e^z [/mm] , [mm] h'(z)= e^z; [/mm]
[mm]z = g(x) [/mm] , [mm] g(x)= 2(\arcsin{(\bruch{x}{2})}+1) [/mm]
-> Kettenregel fortsetzen:
[mm]g(y)=2y, [/mm] [mm] g'(y)= 2, [/mm]
[mm]y=f(x), [/mm] [mm] f(x)=\arcsin{(\bruch{x}{2})}+1 [/mm]
[mm]f(k)=k+1 [/mm] , [mm] f'(k)= 1[/mm]
[mm]k=k(x)= \arcsin{(\bruch{x}{2})}[/mm]
(Achtung: hier die Summenregel, nicht die Kettenregel!)
-> und weiter:
*hmmwohabeichmeineFormelsammlunghingelegt?*
[mm]k(w)=\arcsin{(w)} [/mm] , [mm] k'(w)= \bruch{1}{\wurzel{1-w^2}}, \abs{x} < 1[/mm]
[mm]w=w(x), [/mm] [mm]w(x)=\bruch{1}{2}*x,[/mm]
[mm]w'(x)=\bruch{1}{2}[/mm]
also
[mm]e^{2(arcsin(\bruch{x}{2})+1)}= h(g(f(k(w(x)))))[/mm]
[mm]h'(x)= [[[w'(x)*k'(w)]*f'(k)]*g'(f)]*h'(g)[/mm]
nun erstmal wieder alles Schrittweise zusammenbauen/einsetzen:
[mm]w'(x)=\bruch{1}{2}[/mm]
[mm]k(x)= k(w(x)) = \arcsin{(w(x))}=\arcsin{\bruch{x}{2}}[/mm]
[mm]k'(x)= w'(x)*k'(w)=\bruch{1}{2}*\bruch{1}{\wurzel{1-w^2}}[/mm]
=> [mm]k'(x)==\bruch{1}{2}*\bruch{1}{\wurzel{1-(\bruch{x}{2})^2}}[/mm]
[mm]f(x)= f(k(x))= k(x)+1, [/mm]
[mm]f'(x)=k'(x)[/mm]
=> f'(x)= s.o.
[mm]g(x)= g(f(x))= 2*(f(x))[/mm]
[mm]g'(x)= f'(x)*g'(f)= f'(x)*2[/mm]
=> [mm]g'(x)= 2* \bruch{1}{2}*\bruch{1}{\wurzel{1-(\bruch{x}{2})^2}}[/mm]
[mm]h(x)= h(g(x))= e^{g(x)}[/mm]
[mm]h'(x)= g'(x)*h'(g)= g'(x)* e^{g(x)}[/mm]
=> [mm]h'(x) = 2* \bruch{1}{2}*\bruch{1}{\wurzel{1-(\bruch{x}{2})^2}}*e^{2(\arcsin{(\bruch{x}{2})}+1)}[/mm]
[mm]=\bruch{e^{2(\arcsin{(\bruch{x}{2})}+1)}}{\wurzel{1-(\bruch{x}{2})^2}}=\bruch{2*e^{2(\arcsin{(\bruch{x}{2})}+1)}}{\wurzel{1-x^2}}[/mm]
>
>
> Nochmals vielen Dank für Deine Hilfe!
gern geschehen..
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 17:48 Di 19.12.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Wie schon angemerkt habe ich einen kleine Fehler in der Antwort eingebaut, sorry.
Aber das Prinzip sollte klargeworden sein.
Marius
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:51 Di 19.12.2006 | | Autor: | patb |
Oh, den Fehler habe ich bei meiner Umsetzung nicht gemacht (wohl nur aus Glück ;), aber trotzdem vielen Dank für die Korrektur, hat sich ja glücklicherweise nicht soo viel verändert.
Jedenfalls vielen Dank für die ganzen hilfreichen Beiträge. Ich habe mir nun noch eine weitere (für mich schwere) Funktion vorgenommen, ich schreibe hier einmal meinen Rechenweg auf, es würde mich freuen, falls ihr einen kleinen Blick darauf werfen könntet:
[mm] g_{3}(x) [/mm] = [mm] \bruch{1+tan(2x)}{a^{x}\wurzel{x}}
[/mm]
Nun meine einzelnen Funktionen:
h(x) = 2x h'(x) = 2
g(y) = 1 + tan(y) g'(y) = [mm] \bruch{1}{(cos y)^{2}}
[/mm]
f(x) = [mm] a^{x} [/mm] f'(x) = [mm] xa^{x-1}
[/mm]
i(x) = [mm] \wurzel{x} [/mm] = [mm] x^{\bruch{1}{2}} [/mm] i'(x) = [mm] \bruch{1}{2}x^{- \bruch{1}{2}}
[/mm]
Und nun beginnt die eigentliche Ableitung:
u(x) = g(h(x)) u'(x) = g'(h(x)) * h'(x) = [mm] \bruch{2}{(cos(2x))^{2}}
[/mm]
v(x) = f(x) * i(x) v'(x) = f'(x)i(x) + i'(x)f(x) = [mm] xa^{x-1}x^{\bruch{1}{2}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}x^{-\bruch{1}{2}} a^{x}
[/mm]
[mm] g_{3}'(x) [/mm] = [mm] \bruch{u'(x)v(x) - v'(x)u(x)}{v(x)^{2}}
[/mm]
= [mm] \bruch{\bruch{2}{(cos(2x))^{2}} a^{x} x^{\bruch{1}{2}} - (( xa^{x-1}x^{\bruch{1}{2}} + \bruch{1}{2}x^{-\bruch{1}{2}} a^{x} ) * ( 1 + tan(2x) )) }{ (a^{x} x^{\bruch{1}{2}})^{2} }
[/mm]
Ich hoffe sehr, dass das so stimmt, obwohl ich vermute, dass ich sicher irgendwo einen Fehler gemacht habe :-/
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:14 Mi 20.12.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo, nur kurz
die Ableitung von [mm] a^x [/mm] ist NICHT [mm] x*a^{x-1}
[/mm]
[mm] a^x=e^{x*lna} [/mm] kannst dus jetzt?
Gruss leduart
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