Schwingung einer Boje < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Eine zylindrische Boje mit 0,5m Durchmesser schwimmt im Wasser (Dichte ) mit aufrecht stehender Achse. Taucht man leicht unter und läßt sie dann los, so mißt man als Schwingungsperiode 2 Sekunden. Bestimme Masse des Zylinders!
Ansatz: [mm] \bruch{d^{2}*x}{d*t^{2}} [/mm] + [mm] \bruch{612,5*\pi*x}{m} [/mm] = 0 |
So, also hier komme ich soweit:
x'' + [mm] \bruch{612,5 * \pi * x}{m} [/mm] = 0
[mm] \lambda^{2} [/mm] + [mm] \bruch{612,5 * \pi * }{m} [/mm] = 0
[mm] \lambda1;2 [/mm] = +- [mm] \wurzel-{\bruch{612,5 * \pi * x}{m}}
[/mm]
[mm] \lambda1;2 [/mm] = +- [mm] \wurzel{\bruch{612,5 * \pi * x}{m}}* [/mm] j
imaginär Teil: [mm] \wurzel{\bruch{612,5 * \pi * x}{m}}
[/mm]
real Teil: 0
Dann nehme ich diesen Ansatz vom Formelbuch mit den komplexen Zahlen her:
yh = [mm] e^{ax} [/mm] *(c1*cos(bx) + c2*sin(bx))
Das heisst:
[mm] e^{0*x} [/mm] * (c1 * cos [mm] (\wurzel{\bruch{612,5 * \pi * x}{m}}) [/mm] + c2 * sin [mm] (\wurzel{\bruch{612,5 * \pi * x}{m}})
[/mm]
Aber jetzt weiß ich nicht weiter!
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Hallo andi7987,
> Eine zylindrische Boje mit 0,5m Durchmesser schwimmt im
> Wasser (Dichte ) mit aufrecht stehender Achse. Taucht man
> leicht unter und läßt sie dann los, so mißt man als
> Schwingungsperiode 2 Sekunden. Bestimme Masse des
> Zylinders!
>
> Ansatz: [mm]\bruch{d^{2}*x}{d*t^{2}}[/mm] + [mm]\bruch{612,5*\pi*x}{m}[/mm] =
> 0
> So, also hier komme ich soweit:
>
> x'' + [mm]\bruch{612,5 * \pi * x}{m}[/mm] = 0
>
> [mm]\lambda^{2}[/mm] + [mm]\bruch{612,5 * \pi * }{m}[/mm] = 0
>
> [mm]\lambda1;2[/mm] = +- [mm]\wurzel-{\bruch{612,5 * \pi * x}{m}}[/mm]
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> [mm]\lambda1;2[/mm] = +- [mm]\wurzel{\bruch{612,5 * \pi * x}{m}}*[/mm] j
Die Lösungen für [mm]\lambda[/mm] lauten doch:
[mm]\lambda_{1,2} = \pm j*\wurzel{\bruch{612,5 * \pi}{m}}[/mm]
>
> imaginär Teil: [mm]\wurzel{\bruch{612,5 * \pi * x}{m}}[/mm]
> real
> Teil: 0
>
> Dann nehme ich diesen Ansatz vom Formelbuch mit den
> komplexen Zahlen her:
>
> yh = [mm]e^{ax}[/mm] *(c1*cos(bx) + c2*sin(bx))
>
> Das heisst:
>
> [mm]e^{0*x}[/mm] * (c1 * cos [mm](\wurzel{\bruch{612,5 * \pi * x}{m}})[/mm]
> + c2 * sin [mm](\wurzel{\bruch{612,5 * \pi * x}{m}})[/mm]
>
> Aber jetzt weiß ich nicht weiter!
>
Nun, es gilt
[mm]\omega*T=2\pi[/mm]
mit [mm]\omega=\wurzel{\bruch{612,5 * \pi}{m}}[/mm]
Die Schwingsperiode T ist Dir bekannt,
somit kannst Du die Masse m bestimmen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:43 Di 19.01.2010 | | Autor: | andi7987 |
Wie kommst du auf diesen Ansatz?
[mm] \omega [/mm] * t = 2 * [mm] \pi
[/mm]
Schwingungsperiode sind die 2 s!
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Hallo andi7987,
> Wie kommst du auf diesen Ansatz?
>
> [mm]\omega[/mm] * t = 2 * [mm]\pi[/mm]
>
> Schwingungsperiode sind die 2 s!
>
>
Nun, innerhalb einer gewissen Zeit T kehrt die Schwingung
wieder in ihren Ausgangszustand zurück. Dabei führt die
Schwingung einen vollen Umlauf ([mm]2\pi[/mm]) aus.
Den sich daraus ergebenden Proportionalitätsfaktor [mm]\omega[/mm]
nennt man die Kreisfrequenz.
Die obige Formel stammt aus der Physik.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:06 Mi 20.01.2010 | | Autor: | andi7987 |
Vielen Dank für deine anschauliche Erklärung!
[mm] \omega [/mm] * t = 2 * [mm] \pi
[/mm]
Ok, aber so richtig weiter weiss ich leider nicht!
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> Vielen Dank für deine anschauliche Erklärung!
>
> [mm]\omega[/mm] * t = 2 * [mm]\pi[/mm]
Die Periodendauer heißt T, nicht t .
> Ok, aber so richtig weiter weiss ich leider nicht!
Du hast doch noch die andere Gleichung für [mm] \omega [/mm]
sowie den Wert T=2 .
Damit kommst du auf eine Gleichung, aus der du
die Masse m berechnen kannst.
Und übrigens: Wie kommt eigentlich die Diffe-
rentialgleichung und insbesondere der Faktor
612.5 zustande ?
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:46 Mi 20.01.2010 | | Autor: | andi7987 |
Ok, super!
[mm] \omega [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{612,5*\pi}{m}}
[/mm]
[mm] \omega [/mm] * T = 2 * [mm] \pi
[/mm]
T = 2
[mm] \omega [/mm] = [mm] \bruch{2*\pi}{T}
[/mm]
[mm] \omega [/mm] = [mm] \pi
[/mm]
[mm] \pi [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{612,5*\pi}{m}}
[/mm]
[mm] \pi^{2} [/mm] = [mm] \bruch{612,5 * \pi}{m}
[/mm]
so Jetzt kürz ich ein wenig ab:
m = [mm] \bruch{612,5}{\pi}
[/mm]
m = 194,96
Vielen Dank an euch!
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> Ok, super!
>
> [mm]\omega[/mm] = [mm]\wurzel{\bruch{612,5*\pi}{m}}[/mm]
>
> [mm]\omega[/mm] * T = 2 * [mm]\pi[/mm]
>
> T = 2
>
> [mm]\omega[/mm] = [mm]\bruch{2*\pi}{T}[/mm]
> [mm]\omega[/mm] = [mm]\pi[/mm]
>
> [mm]\pi[/mm] = [mm]\wurzel{\bruch{612,5*\pi}{m}}[/mm]
>
> [mm]\pi^{2}[/mm] = [mm]\bruch{612,5 * \pi}{m}[/mm]
>
> so Jetzt kürz ich ein wenig ab:
>
> m = [mm]\bruch{612,5}{\pi}[/mm]
>
> m = 194,96
>
>
>
> Vielen Dank an euch!
Gern geschehen.
Aber du hast meine Frage nach der Zahl 612.5 in
der DGL noch nicht beantwortet. Wo kommt die
her ? Das würde mich interessieren.
LG Al.Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:27 Mi 20.01.2010 | | Autor: | andi7987 |
Sorry, dass habe ich mir nur gedacht, statt geschrieben!
Der Ansatz mit der Zahl war in der Angabe!
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Ich habe es mir nun selber überlegt. In der Ruhelage
(x=0) der Boje liegt diese ruhig im Wasser. Da wo der
glatte Wasserspiegel die Boje trifft, kann man eine
Marke anbringen. In dieser Ruhelage heben sich die
auf die Boje wirkenden Kräfte (Gewicht, Auftrieb)
auf. Drückt man nun die Boje um eine Strecke x
tiefer ins Wasser, so überwiegt der Wasserdruck und
treibt die Boje wieder nach oben, und zwar mit der
Kraft F = Gewicht des zusätzlich verdrängten Wassers
$\ F\ =\ [mm] r^2*\pi*x*Dichte_{Wasser}$
[/mm]
r ist dabei der Radius der zylindrischen Boje.
Dann gilt die Newtonsche Gleichung $\ F=m*a$ ,
also haben wir die Gleichung:
$\ F\ =\ m*|x''(t)|\ =\ [mm] r^2*\pi*x*\rho$
[/mm]
In der Aufgabe war noch $\ r=0.5\ m$ gegeben.
Rechnen wir in SI-Einheiten, so ist [mm] \rho=1000 [/mm] .
Damit ergibt sich, da die Kraft auf die Größe x
rücktreibend wirkt:
$\ x''(t)\ =\ [mm] -\frac{1}{m}*0.5^2*\pi*x*1000$
[/mm]
Zusammengefasst lautet die Gleichung
$\ x''(t)\ +\ [mm] \frac{250*\pi*x}{m}\ [/mm] =\ 0$
Der Form nach ist dies identisch mit dem gegebenen
"Ansatz", aber anstelle des dortigen Faktors 612.5
steht hier der Faktor 250.
Irgendetwas kann also mit dem vorgegebenen
"Ansatz" nicht stimmen. Eine Möglichkeit ist mir
dazu eingefallen: Stammt die Aufgabe vielleicht
ursprünglich aus einem der rückständigen eng-
lischsprachigen Ländern (z.B. USA), in welchen
noch antiquierte Maßsysteme verwendet werden ?
LG Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:46 Do 21.01.2010 | | Autor: | andi7987 |
Nein, ich glaube dass bei diesem Beispiel das ganze ohne Reibung angenommen worden ist!
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> Nein, ich glaube dass bei diesem Beispiel das ganze ohne
> Reibung angenommen worden ist!
In meiner Rechnung habe ich ja auch keine Reibung
angenommen !
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Do 21.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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