Selbstabbildung Eigenschaft < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
heyho!
Vielleicht ne blöde Frage aber ich habe mich gefragt:
Wenn ich eine Selbstabbildung habe, also irgendwas der Art
f: X [mm] \to [/mm] X , und dabei sieht das Urbild genauso aus wie das Bild, erzeugt durch die FUnktion.
Kann man dann sagen , dass gilt, dass
(x aus X)
[mm] \summe_{i \ge 1 } x_i [/mm] = [mm] \summe_{i \ge 1 } f(x_i)
[/mm]
Dass man wenn man alle Werte des Definitionsbereiches addiert das gleich der Summe der Funktionswerte ist?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:54 Do 20.03.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Evelyn,
> heyho!
>
> Vielleicht ne blöde Frage aber ich habe mich gefragt:
>
> Wenn ich eine Selbstabbildung habe, also irgendwas der Art
>
> f: X [mm]\to[/mm] X , und dabei sieht das Urbild genauso aus wie
> das Bild, erzeugt durch die FUnktion.
was meinst Du damit? Wenn Du hier nämlich zusätzlich [mm] $f(X)=X\,$ [/mm] fordern willst,
was ich aber nicht rauslese, wird das untige Beispiel schiefgehen!
> Kann man dann sagen , dass gilt, dass
>
>
> (x aus X)
> [mm]\summe_{i \ge 1 } x_i[/mm] = [mm]\summe_{i \ge 1 } f(x_i)[/mm]
>
> Dass man wenn man alle Werte des Definitionsbereiches
> addiert das gleich der Summe der Funktionswerte ist?
Ne, nimm' einfach
[mm] $X=\{0\} \cup \{1/n^2:\;\; n \in \IN\}$
[/mm]
und betrachte
$f [mm] \colon [/mm] X [mm] \to [/mm] X$ mit [mm] $f(x):\equiv 0\,.$
[/mm]
Dann ist
[mm] $\sum_{x \in X}x=0+\sum_{n \in \IN}\frac{1}{n^2}$ ($=\pi^2/6$),
[/mm]
aber
[mm] $\sum_{x \in X}f(x)=\sum_{n \in \IN}0=0\,.$
[/mm]
Natürlich kann man sich vielleicht noch anderes basteln... aber was Dir auch
klar sein sollte:
Wenn
[mm] $X=\{x_i:\;\;\; i \in \IN\}$
[/mm]
sein soll, bedeutet dass, dass [mm] $X\,$ [/mm] abzählbar sein muss. Aber da gibt es
eh einen Satz bzgl. der absoluten Summierbarkeit über alle Elemente einer
Menge, dass man da notwendig abzählbare Mengen haben muss.
Es kann aber auch natürlich sein, dass Du Dich oben bzgl. einer festen
Menge
[mm] $\{x_i:\;\; i \in \IN\}=:A \subseteq [/mm] X$
festgelegt hast. Aber ich denke, wir können der Einfachheit wegen einfach
von einer abzählbaren Menge [mm] $X\,$ [/mm] ausgehen, dann macht die Frage
durchaus schonmal Sinn.
P.S. Wenn aber [mm] $X\,$ [/mm] abzählbar und [mm] $f\,$ [/mm] bijektiv ist und der Summenwert [mm] $\sum_{i \in \IN} x_i$ [/mm]
existiert, dann gilt jedenfalls im Falle der absoluten Summierbarkeit, dass ...?
P.P.S. Ansonsten überlege Dir mal (wieder soll [mm] $X\,$ [/mm] abzählbar sein), was,
wenn [mm] $f\,$ [/mm] nicht injektiv ist, *passieren kann*, und was passieren kann, wenn
[mm] $f\,$ [/mm] nicht surjektiv ist. Ich denke, alleine mit solchen einfachen Überlegungen
könntest Du Dir auch die Antwort auf Deine Frage *etwas allgemeiner* geben!
(Vielleicht auch hier erstmal mit der Zusatzannahme der absoluten
Summierbarkeit, welche ja beinhaltet, dass die Summationsreihenfolge
egal ist...)
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
