Selbstadjungierter Operator < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:11 So 02.11.2008 | | Autor: | SorcererBln |
| Aufgabe | Sei $A$ ein abgeschlossener, symmetrischer Operator in einem Hilbertraum $H$ mit
[mm] $ran(A-\lambda)=H$
[/mm]
für ein [mm] $\lambda \in \IR$. [/mm] Zeige, dass $A$ selbstadjunigiert ist. |
Lösungsvorschlag: Ich benutze folgende Resultate:
(a) Ist $A$ ein symmetrischer Operator und gilt $ran A=H$, so folgt [mm] $A=A^{\*}$, [/mm] also ist $A$ selbstadjungiert.
(b) Ist [mm] $T_3 \in [/mm] L(Y,Z)$ und [mm] $T_3T_1$ [/mm] ein dicht definierte Operator, so gilt [mm] $(T_1T_3)^{\*}=T^{\*}_3T^{\*}_1$.
[/mm]
Navh Voraussetzung gilt also [mm] $ran(A-\lambda)=H$, [/mm] d.h. nach (a) gilt
[mm] $(A-\lambda)^{\*}=(A-\lambda)$.
[/mm]
Nun ist [mm] $-\lambda [/mm] I [mm] \in [/mm] L(H)$. Ist das korrekt? Daher gilt nach (b)
[mm] $(A-\lambda)^{\*}=A^{\*}-\overline{\lambda}=A^{\*}-\lambda [/mm] = [mm] A-\lambda$
[/mm]
und somit [mm] $A=A^{\*}$. [/mm] Nur mit [mm] $-\lambda [/mm] I [mm] \in [/mm] L(H)$ bin ich mir unsicher!
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Ich habe die Lösung nun gefunden! Die Frage braucht also nicht mehr beachtet zu werden!
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