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| Aufgabe | Zeichnung einer Schaltung:
Spannungsquelle [mm] U_{0} [/mm] , Schalter S , Spule (mit L+R), Amperemeter, wieder Spannungsquelle [mm] U_{0}
[/mm]
alles in dieser Reihenfolge in Reihe geschaltet.
AUFGABE:
Zum Zeitpunkt t=0 wird der Schalter geschlossen. Es liege die Spannung [mm] U_{0} [/mm] an, und die Spule habe die Selbstinduktivität L und den Innenwiderstand R. Leiten sie den zeitlichen Verlauf der Stromstärke nach dem Einschalten mit Hilfe der Kirchhoffschen Regeln und des Ohmschen Gesetzes her. |
Hallo!
Ich habe die Aufgabe gelöst, bin mir aber nicht sicher ob mein Ergebnis sinnvoll ist.
Selbstinduktion: [mm] \phi_{mag}=L*I
[/mm]
Faradaysches Gesetz: [mm] U_{ind}=-\bruch{d\phi_{mag}}{dt}
[/mm]
Ohmsches Gesetz: U=I*R
Kirchhoff: [mm] U_0=U_{ind}+U_{L}
[/mm]
Mit Selbstinduktion und Faraday:
[mm] U_{ind}=-L*\bruch{dI}{dt}
[/mm]
Mit Kirchhoff:
[mm] U_0=-L*\bruch{dI}{dt}+U_{L}
[/mm]
Mit Ohmschen Gesetz:
[mm] \bruch{dI}{dt}=\bruch{-R}{L}*I+\bruch{U_{L}}{L}
[/mm]
Wenn ich die Differenzialgleichung löse erhalte ich:
[mm] I(t)=\bruch{U_{L}}{R}
[/mm]
Ist die Lösung richtig, also dass die Stromstärke über die Zeit konstant ist?
Einerseits finde ich das logisch, andererseits wundere ich mich, dass [mm] I=\bruch{U_{L}}{R} [/mm] und [mm] I=\bruch{U_{0}}{R} [/mm] gilt. Das hieße doch [mm] U_{ind}=0 [/mm] oder nicht???
Kann ich das überhaupt so machen, dass ich das [mm] U_{L} [/mm] also Konstante in der Differentialgleichung lasse, da es ja ebenfalls von I abhängig ist? Nur wie würde ich [mm] U_{L} [/mm] umschreiben? Könnte ich statt [mm] U_{L} [/mm] einfach I*R einsetzen? Dann wäre mein Ergebnis aber auch [mm] \bruch{dI}{dt}=0. [/mm] Also ebenfalls, dass der Strom in der Zeit konstant ist.
Ich bin mir da gerade leider sehr unsicher.
Dankesehr!
Beste Grüße!
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Hallo!
Zunächst benötigst du etwas Nachhilfe beim Lösen von DGLs:
$ [mm] \bruch{dI}{dt}=\bruch{-R}{L}\cdot{}I+\bruch{U_{L}}{L} [/mm] $
hat eine inhomogene Lösung, die die Lösung für [mm] t\to\infty [/mm] und damit [mm] \dot{I}=0 [/mm] gilt:
$ [mm] 0=\bruch{-R}{L}\cdot{}I+\bruch{U_{L}}{L} [/mm] $
[mm] I_i=\frac{U_L}{R}
[/mm]
und eine homogene:
$ [mm] \bruch{dI}{dt}=\bruch{-R}{L}\cdot{}I$
[/mm]
[mm] I_h=C*e^{-\frac{R}{L}t} [/mm] (C ist Parameter)
sodaß insgesamt gilt:
[mm] I=I_i+I_h=\frac{U_L}{R}+C*e^{-\frac{R}{L}t}
[/mm]
Hier muß C so gewählt werden, daß die Anfangsbedingung, die sicher I=0 ist, erfüllt wird.
[mm] I=\frac{U_L}{R}-\frac{U_L}{R}*e^{-\frac{R}{L}t} [/mm]
OK, Zeitabhängig ist die Lösung jetzt. Aber was ist mit der Batteriespannung [mm] U_0 [/mm] ?
Die Gesamtspannung ist konstant [mm] U_0 [/mm] , und der Strom (bzw dessen Änderung) bestimmt die Spannungen der Induktivität und des Widerstandes:
[mm] U_0=U_{ind}+U_R
[/mm]
Einsetzen:
[mm] U_0=\red{+}L\dot{I}+RI [/mm] (Warum muß da ein + hin?)
und nun diese DGL lösen.
Im prinzip liegst du nicht so sehr daneben, aber es kommt schon drauf an, daß du sehr präzise überlegst, welche Größe was ist und was macht.
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Hallo!
Erstmal einen großen Dank für die Hilfe bei der Lösung der Differentialgleichung! Dgl sind nicht meine Stärke...
Aber diese war ja nun sowieso falsch, da ich [mm] U_0=IR [/mm] angenommen habe. Obwohl [mm] U_R=IR [/mm] ist.
Ich muss also eigentlich [mm] \bruch{dI}{dt}=-\bruch{R}{L}-\bruch{U_0}{L} [/mm] lösen. Und damit habe ich den zeitlichen Verlauf der Stromstärke.
Ich habe sie gelöst und [mm] I(t)=\bruch{U_0}{L}*exp(\bruch{-R}{L}*t)+\bruch{U_0}{L} [/mm] herausbekommen. Dies ist dann richtig oder?
Der Grund für [mm] U_{0}=+\dot{I}*R+I*R [/mm] ist doch der, dass die induzierte Spannung gerade gegen den mag Fluss gerichtet ist, doch die Spannung die dort abfällt hat den gleichen Betrag aber geht in die andere Richtung. Hier interessiert ja das was diese induzierte Spannung hervorruft, was genau in die andere Richtung geht.
Herzlichen Dank!
Beste Grüße!
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Hi!
Naja, der Fehler war eher ein Denkfehler, wo eben die nötige Präzision bei der Überlegung fehlte. Ansonsten ist der Rechenweg und die Lösung ja so ziemlich gleich.
Nun hast du aber noch einen Fehler drin. So eine Spule widersetzt sich ja der angelegten Spannung für ne Weile, aber irgendwann läßt ihr Widerstand ziemlich nach (Sehr bildlich gesprochen)
Jedenfalls, nach langer Zeit ändert sich der Strom nicht mehr, und dann zählt nur noch der ohmsche Widerstand. Und demnach muß dann gelten:
[mm] I(t\to\infty)=\frac{U_0}{R}
[/mm]
Genau das [mm] \frac{U_0}{R} [/mm] sollte der konstante Term sowie der Vorfaktor vor der exp-Funktion sein. Und: Die exp-Funktion sollte ein negatives Vorzeichen haben.
Mach dir mal klar, wie die Lösungsfunktion qualitativ aussehen muß. Das ist sowas wie [mm] 1-e^{-t} [/mm] !
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