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| Aufgabe | | Sei [mm] $G=Z_3\rtimes (Z_2\times Z_2)$. [/mm] Zeigen Sie: [mm] $$G\cong D_6\vee G\cong Z_2\times Z_6$$ [/mm] |
Ich habe keine Ahnung wie ich das zeigen soll. Könnt ihr mir dabei helfen?
Gruß
Differential
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Hallo,
bestimme die Automorphismengruppe von [mm] $Z_3$ [/mm] und schau dir die semi-driekten Produkte bzgl. der Autom. an.
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Hallo MaslanyFanclub,
die Automorphismengruppe ist gegeben durch [mm] $$\text{Aut }Z_3=\left\{\text{id},g\mapsto g^2\right\}$$ [/mm] Sei [mm] $\phi [/mm] : [mm] (Z_2\times Z_2)\to \text{Aut }Z_3$. [/mm] Wir betrachten nun [mm] $$G=Z_3\rtimes _\phi (Z_2\times Z_2)$$ [/mm] Im Fall [mm] $\text{im }\phi =\left\{\text{id}\right\}$ [/mm] ist [mm] $$G=Z_3\times (Z_2\times Z_2)$$ [/mm] wobei wir auf der rechten Seite wohl noch weiter über den Isomorphietyp nachdenken müssen, etwa [mm] $$Z_3\rtimes _\phi (Z_2\times Z_2)\cong Z_3\times Z_4\cong [/mm] Z_12$$ Aber da bin ich mir unsicher, ob dass so korrekt ist.
Für Fall [mm] $\text{im }\phi =\left\{g\mapsto g^2\right\}$ [/mm] müssen wir wohl eine Präsentation für $G$ finden, in der sich die [mm] $g\amspto g^2=g^{-1}$ [/mm] wiederspiegelt. Da kommt jetzt ins Spiel, dass ich noch nicht richtig verstanden habe, wie genau das Bild von [mm] $\phi$ [/mm] von seinem Argument, welches ja ein Element aus [mm] $Z_2\times Z_2$ [/mm] ist, abhängt.
Ich hoffe ihr könnt mir noch ein bisschen weiterhelfen.
Gruß
Differential
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Hi,
> Hallo MaslanyFanclub,
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> die Automorphismengruppe ist gegeben durch [mm]\text{Aut }Z_3=\left\{\text{id},g\mapsto g^2\right\}[/mm]
> Sei [mm]$\phi[/mm] : [mm](Z_2\times Z_2)\to \text{Aut }Z_3$.[/mm] Wir
> betrachten nun [mm]G=Z_3\rtimes _\phi (Z_2\times Z_2)[/mm] Im Fall
> [mm]$\text{im }\phi =\left\{\text{id}\right\}$[/mm] ist [mm]G=Z_3\times (Z_2\times Z_2)[/mm]
> wobei wir auf der rechten Seite wohl noch weiter über den
> Isomorphietyp nachdenken müssen, etwa [mm]Z_3\rtimes _\phi (Z_2\times Z_2)\cong Z_3\times Z_4\cong Z_12[/mm]
> Aber da bin ich mir unsicher, ob dass so korrekt ist.
Nein, es gilt $ [mm] C_n\times C_m\cong C_{mn} [/mm] $ dann und nur dann, wenn $ m, n $ teilerfremd sind.
> Für Fall [mm]\text{im }\phi =\left\{g\mapsto g^2\right\}[/mm]
> müssen wir wohl eine Präsentation für [mm]G[/mm] finden, in der
> sich die [mm]g\amspto g^2=g^{-1}[/mm] wiederspiegelt. Da kommt jetzt
> ins Spiel, dass ich noch nicht richtig verstanden habe, wie
> genau das Bild von [mm]\phi[/mm] von seinem Argument, welches ja ein
> Element aus [mm]Z_2\times Z_2[/mm] ist, abhängt.
Ich denke nicht, dass hier Gruppenpräsentationen nötig sind (zumal sich bei der Frage zur Gruppe der Ordnung 12 ja herausgestellt hat, dass diese noch nicht behandelt wurden). Gib einfach einen Isomorphismus nach $ [mm] D_6$ [/mm] an.
> Ich hoffe ihr könnt mir noch ein bisschen weiterhelfen.
>
> Gruß
> Differential
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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Hallo UniversellesObjekt,
doch, wir haben inzwischen Gruppenpräsentationen behandelt. Es ist doch [mm] $$D_6=\langle [/mm] x,y : [mm] x^3=y^2=1, x^y=x^{-1}\rangle\;\;\;\;\;(\*)$$
[/mm]
$G$ enthält ein Element [mm] $\sigma$ [/mm] der Ordnung $3$ und ein Element [mm] $\tau$ [/mm] der Ordnung $2$. [mm] $\text{Aut }Z_3$ [/mm] enthält die identische Abbildung und die Inversion. Im Falle der Inversion wird [mm] $\sigma$ [/mm] von [mm] $\tau$ [/mm] invertiert. Wir erhalten also die Darstellung wie in [mm] $(\*)$. [/mm] Damit folgt die Isomorphie zu [mm] $D_6$.
[/mm]
Im Falle der identischen Abbildung brauche ich noch etwas Unterstützung.
Gruß
Differential
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Hi,
Wenn $ [mm] D_6$ [/mm] das wäre, was du schreibst, würde schon die Ordnung nicht passen zu der von $ G $. Es ist in der Literatur unterschiedlich, was mit $ [mm] D_n [/mm] $ gemeint ist. Manchmal meint man damit die Dieder-Gruppe der Ordnung $ n $ und manchmal die der Ordnung $2n $. Hier ist es wohl Letzteres.
Der Fall mit der Identität ist viel einfacher. Du musst halt nur $ [mm] C_n\times C_m\cong C_{mn} [/mm] $ für teilerfremde $ m, n$ verwenden. Dann wird aus $ [mm] Z_3\times Z_2\times Z_2$ [/mm] (bis hierhin warst du selbst gekommen, oder?) sofort $ [mm] Z_6\times Z_2$.
[/mm]
Liebe Grüße
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Also, wir haben doch $$G= [mm] Z_3\rtimes_\phi (Z_2\times Z_2)\cong [/mm] $$
Ist [mm] $\text{im }\phi =\left\{\text{id}\right\}$, [/mm] so haben wir [mm] $$G\cong Z_3\times Z_2\times Z_2 \cong Z_6\times Z_2$$
[/mm]
Im Fall [mm] $\text{im }\phi =\left\{g\mapsto g^2\right\}$ [/mm] ist [mm] $\text{ker }\phi \cong [/mm] 2$ (aufgrund von [mm] $\text{ker }\phi\lhd [/mm] G$, [mm] $|(Z_2\times Z_2)/\text{ker }\phi \cong \text{im }\phi$ [/mm] und [mm] $|(Z_2\times Z_2)|=|(Z_2\times Z_2)/\text{ker }\phi||\text{ker }\phi|$). [/mm] Damit gilt [mm] $Z_3\times \text{ker }\phi\cong Z_3\times Z_2\cong Z_6$. [/mm] Somit $G$ enthält $G$ ein Element der Ordnung $6$. Trivialerweise enthält $G$ auch ein Element der Ordnung $2$. Ersetze in [mm] $(\*)$ [/mm] die $3$ durch die $6$ und wir sollten die Isomorphie zu [mm] $D_6$ [/mm] nun haben, oder?
Gruß
Differential
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Sa 01.02.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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