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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass es zwei nichtisomorphe nichtabelsche Gruppen der Ordnung 20 gibt! |
Dies ist eine Staatsexamensaufgabe (Lehramt Gym, Bayern) und ich will sie unbedingt sauber lösen.
Hier mein Gerüst:
[mm] |G|=20=2^{2}*5. [/mm] Mit den Sylowsätzen kann ich problemlos zeigen, dass es genau eine 5-Sylow $H$ gibt, die dann natürlich Normalteiler von $G$ ist. Weiter gibt es entweder eine oder fünf 2-Sylows (mit Ordnung 4).
Bekanntlich haben eine 2-Sylow und eine 5-Sylow als Schnitt nur das neutrale Element {e}. Sei $U$ eine 2-Sylow.
Da $H$ Normalteiler, $U$ Untergruppe von $G$ ist, ist das Komplexprodukt $HU$ bekanntlich eine Untergruppe von $G$. Ihre Ordnung muss ein Vielfaches von 4 und von 5 sein (nach Lagrange, da sie mit $H$ und $U$ ja Untergruppen der Ordnung 4 bzw. 5 besitzt). Außerdem muss diese Ordnung ein Teiler von 20 sein, ebenfalls nach Lagrange.
Also folgt, dass |HU|=20 ist, d.h. es ist bereits $G=HU$.
1. Fall: Es gibt nur eine 2-Sylow.
Diese ist dann auch Normalteiler von $G$. Dann ist bekanntlich [mm] UH\cong U\times [/mm] H. Dieses direkte Produkt ist dann aber abelsch.
2. Fall: Es gibt fünf 2-Sylows.
Sei also $U$ eine 2-Sylow. Dann ist |U|=4 und somit [mm] U\cong \IZ_{4} [/mm] oder [mm] U\cong \IZ_{2}\times \IZ_{2}.
[/mm]
Ferner ist [mm] H\cong \IZ_{5} [/mm] (wegen Primzahlordnung 5 von $H$).
Somit sind die Vorauss. des semidirekten Produkts erfüllt [mm] (H\cap [/mm] $U ={e}$, $HU=G$, $H$ Normalteiler, $U$ Untergruppe von $G$). Es gibt also die beiden Möglichkeiten [mm] G\cong \IZ_{5} \otimes \IZ_{4} [/mm] oder [mm] G\cong \IZ_{5} \otimes \IZ_{2}\times \IZ_{2}.
[/mm]
(Mit dem Zeichen [mm] \otimes [/mm] meine ich das semidirekte Produkt.)
Was meint ihr, ist man an dieser Stelle fertig oder muss man die Homomorphismen, die zu den beiden Semidirekten Produkten gehören, noch angeben? Jedenfalls würde ich dies gerne zu Übungszwecken jetzt tun:
So ein Homomorphismus bildet ja von der Untergruppe in die Automorphismengruppe des Normalteilers ab. Da $H$ zyklisch ist, ist bekanntlich auch die Automorphismengruppe von $H$ zyklisch. Weiter ist bekanntlich |Aut(H)|=5-1=4, also ist [mm] Aut(H)\cong \IZ_{4}.
[/mm]
1. Möglichkeit: [mm] \varphi: \IZ_{4} \to [/mm] $Aut(H)$.
1 ist ein erzeugendes Element von [mm] \IZ_{4}, [/mm] hat also Ordnung 4. Damit tatsächlich ein Homomorphismus vorliegt, muss bekanntlich die Ordnung des Bildes der 1 ein Teiler der Ordnung der 1 sein, also entw. 1, 2 oder 4. Sollte es auf ein Element der Ordnung 1 abgebildet werden (das ist in $Aut(H)$ die Identität), dann spricht man vom trivialen Homomorphismus, der dann aber das direkte Produkt von $H$ und [mm] \IZ_{4} [/mm] liefert, oder???
Betrachte z.B. [mm] \alpha \in [/mm] $Aut(H)$ mit [mm] \alpha(1)=2. [/mm] Unser Homomorphismus würde also lauten:
[mm] \varphi: \IZ_{4} \to [/mm] $Aut(H)$, [mm] 1\mapsto \alpha, [/mm] wobei [mm] \alpha: \IZ_{5} \to \IZ_{5}, 1\mapsto [/mm] 2.
Dann berechne ich leicht [mm] \alpha^{2}(1)=4, \alpha^{3}(1)=3 [/mm] und [mm] \alpha^{4}(1)=1. [/mm] Also ist [mm] |\alpha|=4, [/mm] passt! Somit ist [mm] \varphi [/mm] ein geeigneter Homomorphismus, oder?
1. Möglichkeit: [mm] \varphi: \IZ_{2}\times \IZ_{2} \to [/mm] $Aut(H)$.
Hier habe ich Probleme: In [mm] \IZ_{2}\times \IZ_{2} [/mm] gibt es ja kein erzeugendes Element, d.h. ich muss explizit angeben, wohin die 4 Elemente $(0,0), (1,0), (0,1), (1,1)$ abgebildet werden, oder? Und zwar wieder nach $Aut(H)={id, [mm] \alpha, \alpha^{2}, \alpha^{3}}$.
[/mm]
Und da weiß ich leider nicht, wie ich das vernünftig angeben soll...
Für Hinweise wäre ich sehr dankbar, weil mir die Aufgabe sehr wichtig ist und ich viel Zeit zum Abtippen investiert habe :) :)
DANKE!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:33 So 23.11.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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