Semidirektes Produkt < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:42 Mo 26.11.2012 | | Autor: | Trikolon |
| Aufgabe | | Hallo, bräuchte dringend Hilfe bei folgendem Beispiel zu semidirekten Produkt: Mann soll zeigen, dass [mm] Z_4 [/mm] semidirket bzgl. [mm] \pi [/mm] (hab das entsprechende Symbol nicht gefunden) [mm] Z_2 [/mm] isomorph zur Symmetriegruppe des Quadrates ist, wobei [mm] \pi [/mm] die Abbildung [mm] Z_2 [/mm] --> [mm] Aut(Z_4), [/mm] 1 --> (x-->-x) ist. |
Könnte mir mal jemand erklären, wie man so was zeigt. Die Symgruppe des Quadrates (mit Mächtigkeit 8) ist klar.
Zunächst müsste man ja mal den Aut festlegen..
z.B.
[mm] \pi: Z_2 [/mm] --> [mm] Aut(Z_4):
[/mm]
[0]-->id
[1]--> [mm] (Z_4--> Z_4: [/mm] x --> -x)
[mm] Z_4 [/mm] ´semdir. [mm] Z_2 [/mm] = (durch [mm] \pi [/mm] induziert) Sym(Quadrat): ([a],[0]) --> [mm] (1234)^a [/mm] ([a],[1]) --> [mm] (1234)^a [/mm] (12)
Geht das so?
Dann ist die Beh.: [mm] \pi [/mm] ist Isomorphismus.
Dann muss man ja zunächst zeigen, dass das ganze ein Homomorphismus ist, da scheitere ich allerdings...
Also was muss ich hier wie zeigen?
Vermutlich muss ja z.B. [mm] \pi [/mm] ((a,0)+(b,0)) = [mm] \pi [/mm] (a,0) [mm] \circ \pi [/mm] (b,0) sein...
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Meinst du [mm]Z_4 \rtimes_\pi Z_2 \cong D_4[/mm].
Ich würde anders heran gehen und zeigen, dass für [mm] $$D_4=\langle \rho,\sigma \; |\; \rho^4=\sigma^2=1, \sigma\rho\sigma^{-1}=\rho^{-1}\rangle$$ [/mm] gilt [mm] $$D_4\cong \langle \rho \rangle \rtimes_\pi \langle \sigma \rangle$$
[/mm]
Es gibt ein Lemma:
Hat $G$ Untergruppen H,A derart, dass [mm] $H\trianglelefteq [/mm] G$ und [mm] $A\cap [/mm] H=1$ und $G=HA$ gelten. So ist [mm] $G\cong H\rtimes [/mm] A$.
Dieses ist nicht schwierig nachzurechnen und hilft bei vielen ähnlich Aufgaben.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:32 Mo 26.11.2012 | | Autor: | Trikolon |
> Meinst du [mm]Z_4 \rtimes_\pi Z_2 \cong D_4[/mm].
Ja , genau so habe ich es gemeint...
Da wir das Lemma noch nicht hatten, würde ich es gerne so machen, wie ich es angerissen hatte. Hänge dort aber leider immernoch am Homomorphismus-Nachweis.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:44 Mo 26.11.2012 | | Autor: | Trikolon |
Gibt's denn gar keine Ideen?
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> Gibt's denn gar keine Ideen?
Doch!
Die erste richtig gute Idee:
"Schau noch einmal nach, wie man mit dem semidirekten Produkt rechnet."
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 21:29 Mo 26.11.2012 | | Autor: | Trikolon |
Das ist mir ja relativ klar. Trotzdem weiß ich immernoch nicht, wie ich den Homomorphismus zeigen soll...
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> Das ist mir ja relativ klar. Trotzdem weiß ich immernoch
> nicht, wie ich den Homomorphismus zeigen soll...
Du musst direkt mit
[mm](n_1,h_1)\cdot (n_2,h_2)=(n_1 \cdot \pi(h_1)(n_2),h_1\cdot h_2)[/mm]
arbeiten.
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