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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:00 So 20.02.2011 | | Autor: | Palme |
Hallo,
kann mir bitte jemand ein Zahlenbeispiel für folgende zwei Definitionen geben ?
a) f(x)=[mm] \left( \bruch{g(x)}{h(x)} \right) [/mm], wobei g und h ganzrational
Gilt g(x1)= 0 und h(x1)=0 und lässt sich der Linearfaktor (x-x1) im Nenner vollständig kürzen, daraus folgt: f hat in x1 eine behebbare Lücke
b)Gilt g(x1)= 0 und h(x1)=0 und lässt sich der Linearfaktor (x-x1) im Nenner nicht vollständig kürzen
daraus folgt 1. f hat in x1 einen Pol
2.) f hat die senkrechte Asymptote x=x1
Was ist gemeint mit Linearfaktor (x-x1) ?
Gruß Palme
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> Hallo,
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> kann mir bitte jemand ein Zahlenbeispiel für folgende zwei
> Definitionen geben ?
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> a) f(x)=[mm] \left( \bruch{g(x)}{h(x)} \right) [/mm], wobei g und h
> ganzrational
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> Gilt g(x1)= 0 und h(x1)=0 und lässt sich der Linearfaktor
> (x-x1) im Nenner vollständig kürzen, daraus folgt: f hat
> in x1 eine behebbare Lücke
Beispiel [mm] f(x)=\frac{x^2-x}{x-1}=\frac{(x-1)x}{x-1}
[/mm]
Hier ist die Stelle [mm] x_1=1. [/mm] Du siehst es gilt nach Kürzen f(x)=x für [mm] x\neq1. [/mm] Bei 1 ist eine Definitionslücke.
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> b)Gilt g(x1)= 0 und h(x1)=0 und lässt sich der
> Linearfaktor (x-x1) im Nenner nicht vollständig kürzen
> daraus folgt 1. f hat in x1 einen Pol
> 2.) f hat die senkrechte Asymptote x=x1
Bist du dir sicher, das bei den Voraussetzungen [mm] g(x_1)=0 [/mm] stand?
Die Behauptungen sind auch für [mm] f(x)=\frac{1}{x-1} [/mm] mit [mm] x_1=1 [/mm] und lediglich [mm] h(x_1)=0 [/mm] erfüllt (Beispiel).
Übrigens sind 1 und 2 äquivalent.
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> Was ist gemeint mit Linearfaktor (x-x1) ?
Da bei [mm] x_1 [/mm] eine Nullstelle ist, kann man diesen Linearfaktor vom Polynom abspalten (Verallgemeinerung Satz des Vieta).
Gruß
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