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(Frage) überfällig  | | Datum: | 23:30 Fr 12.11.2010 | | Autor: | Igor1 |
| Aufgabe | Zeigen Sie,daß für die Lösungen der linearen Gleichungssysteme Ax=b und
[mm] (A+\Delta A)(x+\Delta x)=b+\Delta [/mm] b mit [mm] ||\Delta [/mm] A|| [mm] ||A^{-1}||<1 [/mm] die Abschätzung [mm] \bruch{||\Delta x||}{||x||}\le\bruch{cond(A)}{1-cond(A)\bruch{||\Delta A||}{||A||}}(\bruch{||\Delta A||}{||A||} [/mm] + [mm] \bruch{||\Delta b||}{||b||}) [/mm] gilt.
Benutzen Sie dazu das folgende Resultat:
Lemma: Sei A [mm] \in \IC^{nxn} [/mm] und gelte ||A||<1, dann existiert [mm] (I+A)^{-1} [/mm] und es ist [mm] ||(I+A)^{-1}||\le\bruch{1}{1-||A||}. [/mm] |
Hallo,
ich habe bis jetzt folgendes gemacht:
Da Ax=b und
[mm] (A+\Delta A)(x+\Delta x)=b+\Delta [/mm] b gilt, gilt auch (Ax=b nach x und [mm] A+\Delta A)(x+\Delta x)=b+\Delta [/mm] b nach [mm] \Delta [/mm] x aufgelöst)
[mm] \bruch{||\Delta x||}{||x||} [/mm] = [mm] \bruch{||(b+\Delta b-(A+\Delta A)(A^{-1}*b))(A+\Delta A)^{-1}||}{||A^{-1}*b||} [/mm]
Kann man das so machen?
Wird mich diese Umformung weiterbringen?
P.S: Bedeutet "I" die Einheitsmatrix ?
Gruß
Igor
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 Mo 15.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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