Separabele Körpererweiterung < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:17 Mi 15.09.2010 | | Autor: | IG0R |
Ich beschäftige mich gerade für eine Diplomprüfung mit dem Thema der Galoiserweiterung. Da tauchte beim durcharbeiten des Skriptes ein Problem auf und zwar:
Der Separabilitätsgrad einer Körpererweiterung L/K ist definiert als [mm] $[L:K]_s$ [/mm] die Anzahl der verschiedenen K-Homomorphismen $L [mm] \to [/mm] K$.
Eine endliche Körpererweiterung wird als separabel definiert, wenn [mm] $[L:K]_s [/mm] = [L:K]$ gilt, wobei $[L:K]$ der Grad der Körpererweiterung ist.
Soweit ist alles noch gut. Nun steht da folgender Satz:
Für L/K normal gilt [mm] $[L:K]_s [/mm] = L [mm] \cdot |Aut_K(L)|$
[/mm]
Was könnte denn in diesem Fall "$L [mm] \cdot |Aut_K(L)|$" [/mm] bedeuten. Also insbesondere das L. Könnten da die Betragsstriche vergessen worden sein? Oder wie würdet ihr das deuten?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:45 Mi 15.09.2010 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> Ich beschäftige mich gerade für eine Diplomprüfung mit
> dem Thema der Galoiserweiterung. Da tauchte beim
> durcharbeiten des Skriptes ein Problem auf und zwar:
>
> Der Separabilitätsgrad einer Körpererweiterung L/K ist
> definiert als [mm][L:K]_s[/mm] die Anzahl der verschiedenen
> K-Homomorphismen [mm]L \to K[/mm].
... K-Homomorphismen [mm]L \to L[/mm]
> Eine endliche Körpererweiterung
> wird als separabel definiert, wenn [mm][L:K]_s = [L:K][/mm] gilt,
> wobei [mm][L:K][/mm] der Grad der Körpererweiterung ist.
>
> Soweit ist alles noch gut. Nun steht da folgender Satz:
>
> Für L/K normal gilt [mm][L:K]_s = L \cdot |Aut_K(L)|[/mm]
> Was
> könnte denn in diesem Fall "[mm]L \cdot |Aut_K(L)|[/mm]" bedeuten.
> Also insbesondere das L. Könnten da die Betragsstriche
> vergessen worden sein? Oder wie würdet ihr das deuten?
Das L hat da nix zu suchen.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:57 Mi 15.09.2010 | | Autor: | IG0R |
Zum Einen stimmt es sollte dort kein K stehen, aber auch kein L, sondern waren K-Automorphismen $L [mm] \to \overline{K}$ [/mm] gemeint.
Wenn für L/K normal gilt, dass [mm] $[L:K]_s [/mm] = [mm] |Aut_K(L)|$ [/mm] ist, wo ist denn da der Unterschied zur Definition? Wenn ich das richtig sehe ist das doch genau so definiert.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:30 Mi 15.09.2010 | | Autor: | statler |
> Zum Einen stimmt es sollte dort kein K stehen, aber auch
> kein L, sondern waren K-Automorphismen [mm]L \to \overline{K}[/mm]
> gemeint.
Völlig richtig, und das leitet zum nächsten Teil über.
> Wenn für L/K normal gilt, dass [mm][L:K]_s = |Aut_K(L)|[/mm] ist,
> wo ist denn da der Unterschied zur Definition? Wenn ich das
> richtig sehe ist das doch genau so definiert.
Nimm mal [mm] \IQ(\wurzel[3]{2}) [/mm] über [mm] \IQ. [/mm] Das hat Grad 3, ist separabel, aber nicht normal. Es gibt 3 Einbettungen in den algebraischen Abschluß von [mm] \IQ. [/mm] Aber der einzige Automorphismus über [mm] \IQ [/mm] ist die Identität. Weil ich ja Nullstellen auf Nullstellen abbilden muß und mir die anderen fehlen.
Gruß
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:35 Mi 15.09.2010 | | Autor: | IG0R |
Achso, ja das macht Sinn. Dieser kleine aber doch erhebliche Unterschied war mir eben nicht aufgefallen. Vielen Dank!
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