Separables Polynom < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:04 Mi 11.04.2012 | | Autor: | tinakru |
| Aufgabe | Sei K ein Körper, f [mm] \in [/mm] K[X] ein nichtkonstantes Polynom und f' die Ableitung von f und ggT(f,f') = 1.
Zeige:
f ist separabel. |
Moin zusammen,
ich hätte wieder mal ne kleine Frage. Habe auch schon etwas vorgearbeitet. Vielleicht reichts ja sogar schon.
Da ggT(f,f') = 1 ist, haben f und f' keine gemeinsamen Faktoren. Insbesondere haben also f und f' keine gemeinsamen Nullstellen. Hätte nämlich f eine doppelte oder mehrfache Nullstelle, so wäre diese auch Nullstelle von f'.
Demzufolge folgt, dass f nur einfache Nullstellen besitzt.
Also ist f separabel.
Ich würde gerne wissen, ob das reicht als Begründung. Das war eine Klausuraufgabe von uns, und ich kann ehrlich gesagt nicht glauben, dass das wirklich so einfach gewesen ist^^ 
Danke schonmal
LG
Tina
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:00 Mi 11.04.2012 | | Autor: | felixf |
Moin Tina!
> Sei K ein Körper, f [mm]\in[/mm] K[X] ein nichtkonstantes Polynom
> und f' die Ableitung von f und ggT(f,f') = 1.
> Zeige:
> f ist separabel.
>
> ich hätte wieder mal ne kleine Frage. Habe auch schon
> etwas vorgearbeitet. Vielleicht reichts ja sogar schon.
>
> Da ggT(f,f') = 1 ist, haben f und f' keine gemeinsamen
> Faktoren. Insbesondere haben also f und f' keine
> gemeinsamen Nullstellen. Hätte nämlich f eine doppelte
> oder mehrfache Nullstelle, so wäre diese auch Nullstelle
> von f'.
>
> Demzufolge folgt, dass f nur einfache Nullstellen besitzt.
> Also ist f separabel.
>
>
> Ich würde gerne wissen, ob das reicht als Begründung.
Das haengt arg davon ab, wie die Definitionen genau aussehen bei euch und was genau du verwenden kannst. Vielleicht sollst du die Aussage "$f$ und $f'$ haben keine gemeinsamen Faktoren [mm] $\Rightarrow [/mm] f$ hat keine doppelte Nullstelle (in einem Erweiterungskoerper)" hier auch zeigen, also genauer: $f$ und $f'$ haben gemeinsamen Faktor impliziert dass $f$ diesen Faktor doppelt hat.
(Ist aber auch nicht schwer nachzurechnen...)
LG Felix
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