Separation von Variablen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:20 Do 16.09.2010 | | Autor: | julmarie |
| Aufgabe | Separation der Variablen:
Löse die folgende Differentialgleichung.
a) [mm] (x^{2} -1)*y^{`}+2xy^{2} [/mm] = 0 , y(0)=1 |
Ich hab die Lösungen der Gleichungen, aber meine Stimmen mit den gegebenen nicht überein, bzw ich komme an manchen Stellen nicht weiter, vielleicht kann ja jemand helfen:
zu a) [mm] (x^{2}-1)*y^{'}+2xy^{2} [/mm] = 0 , y(0)=1
Als erstes hab ich nach y´ aufgelöst:
y´= [mm] \bruch{-2xy^{2}}{x^{2}-1}
[/mm]
Dann :
[mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] = [mm] \bruch{-2xy^{2}}{x^{2}-1} [/mm]
[mm] \bruch{dy}{y^{2}}=\bruch{-2x*dx}{x^{2}-1} [/mm]
Jetzt das Integral nehmen:
[mm] \integral \bruch{dy}{y^{2}}=\integral \bruch{-2x*dx}{x^{2}-1}
[/mm]
[mm] -\bruch{1}{y} [/mm] = -log [mm] (x^{2}-1) [/mm] +c Dann das ganze *(-1)
[mm] \bruch{1}{y} [/mm] = log [mm] (x^{2}-1) [/mm] -c Dann mi Kehrwert mal nehmen
y = [mm] \bruch{1}{log (x^{2}-1) -c }
[/mm]
Dann hab ich y(0)=1 eingesetzt_
1= [mm] \bruch{1}{log(-1) -c}
[/mm]
was ja nicht funktioniert.. rauskommen soll:
[mm] \bruch{1}{1+ln(1-x^{2})}
[/mm]
kann mir da jemand helfen??
|
|
| |
|
Hallo julmarie!
> Als erstes hab ich nach y´ aufgelöst:
>
> y´= [mm]\bruch{-2xy^{2}}{x^{2}-1}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Aber aufgepasst. Bei dieser Division musst Du [mm]x \ = \ \pm 1[/mm] noch separat untersuchen.
> Dann :
> [mm]\bruch{dy}{dx}[/mm] = [mm]\bruch{-2xy^{2}}{x^{2}-1}[/mm]
>
> [mm]\bruch{dy}{y^{2}}=\bruch{-2x*dx}{x^{2}-1}[/mm]
> Jetzt das Integral nehmen:
>
> [mm]\integral \bruch{dy}{y^{2}}=\integral \bruch{-2x*dx}{x^{2}-1}[/mm]
>
> [mm]-\bruch{1}{y}[/mm] = -log [mm](x^{2}-1)[/mm] +c
Es muss rechts mit Betragsstrichen heißen:
[mm]-\bruch{1}{y} \ = \ -\ln\left|x^2-1\right|+c[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:55 Do 16.09.2010 | | Autor: | julmarie |
Aah ok und wegen der Betragsstriche ändert sich dann das in der Klammer und man bekommt was andres in der klammer, aber ich hab trotzdem noch ein minus vor dem c obwohl da ein plus rauskommen müsste..
zu a) [mm] (x^{2}-1)*y^{'}+2xy^{2} [/mm] = 0 , y(0)=1
Als erstes hab ich nach y´ aufgelöst:
y´= [mm] \bruch{-2xy^{2}}{x^{2}-1}
[/mm]
Dann :
[mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] = [mm] \bruch{-2xy^{2}}{x^{2}-1} [/mm]
[mm] \bruch{dy}{y^{2}}=\bruch{-2x*dx}{x^{2}-1} [/mm]
Jetzt das Integral nehmen:
[mm] \integral \bruch{dy}{y^{2}}=\integral \bruch{-2x*dx}{x^{2}-1}
[/mm]
[mm] -\bruch{1}{y} [/mm] = -log | [mm] x^{2}-1 [/mm] | +c Dann das ganze *(-1)
[mm] \bruch{1}{y} [/mm] = log | [mm] x^{2}-1 [/mm] | -c Dann mi Kehrwert mal nehmen
y = [mm] \bruch{1}{log -x^{2}+1 -c }
[/mm]
Dann hab ich y(0)=1 eingesetzt_
1= [mm] \bruch{1}{log(0) -c}
[/mm]
1=-c
und ich muss c= 1 rausbekommen.. kann mir jemand sagen wo der fehler ist??
|
|
|
| |
|
> Aah ok und wegen der Betragsstriche ändert sich dann das
> in der Klammer und man bekommt was andres in der klammer,
> aber ich hab trotzdem noch ein minus vor dem c obwohl da
> ein plus rauskommen müsste..
>
>
>
> zu a) [mm](x^{2}-1)*y^{'}+2xy^{2}[/mm] = 0 , y(0)=1
>
> Als erstes hab ich nach y´ aufgelöst:
>
> y´= [mm]\bruch{-2xy^{2}}{x^{2}-1}[/mm]
>
> Dann :
> [mm]\bruch{dy}{dx}[/mm] = [mm]\bruch{-2xy^{2}}{x^{2}-1}[/mm]
>
> [mm]\bruch{dy}{y^{2}}=\bruch{-2x*dx}{x^{2}-1}[/mm]
>
> Jetzt das Integral nehmen:
>
> [mm]\integral \bruch{dy}{y^{2}}=\integral \bruch{-2x*dx}{x^{2}-1}[/mm]
>
> [mm]-\bruch{1}{y}[/mm] = -log | [mm]x^{2}-1[/mm] | +c Dann
> das ganze *(-1)
> [mm]\bruch{1}{y}[/mm] = log | [mm]x^{2}-1[/mm] | -c Dann mi
> Kehrwert mal nehmen
> y = [mm]\bruch{1}{log -x^{2}+1 -c }[/mm]
>
> Dann hab ich y(0)=1 eingesetzt_
>
> 1= [mm]\bruch{1}{log(0) -c}[/mm]
> 1=-c
> und ich muss c= 1 rausbekommen.. kann mir jemand sagen wo
> der fehler ist??
ob die konstante nun vorher als positiv oder negativ angenommen wird, ist doch egal, du kommst doch wenn du die erhaltene zahl für c einsetzt, aufs gleiche ergebnis!
gruß tee
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:02 Do 16.09.2010 | | Autor: | julmarie |
danke, da hatte ich wohl grad ein Brett vorm Kopf:)
|
|
|
|
