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| Aufgabe | | Bestimmen Sie die Lösung der nachfolgenden partiellen Differentialgleichung (Anfangs - und Randbedingungen können dabei vernachlässigt werden): [mm] u_{rr} [/mm] + [mm] \frac{1}{r^2} \cdot u_{\varphi\varphi} [/mm] + [mm] \frac{1}{r} \cdot U_r [/mm] = 0 |
Hallo Leute,
irgendwie steh ich mit der Seperationsmethode zum Lösen der partiellen Differentialgleichungen noch etwas auf Kriegsfuß. Ich hoffe ihr könnt mir da ein wenig helfen.
Mein Gedankengang sieht so aus:
[mm] u_{rr} [/mm] + [mm] \frac{1}{r^2} \cdot u_{\varphi\varphi} [/mm] + [mm] \frac{1}{r} \cdot U_r [/mm] = 0
Seperationsansatz mit:
$u(r, [mm] \varphi) [/mm] = R(r) [mm] \cdot \phi(\varphi)$
[/mm]
Dann ergeben sich folgende partiellen Ableitungen:
[mm] $u_{r} [/mm] = R(r)' [mm] \cdot \phi(\varphi)$
[/mm]
[mm] $u_{rr} [/mm] = R(r)'' [mm] \cdot \phi(\varphi)$
[/mm]
[mm] $u_{\varphi\varphi} [/mm] = R(r) [mm] \cdot \phi(\varphi)''$
[/mm]
Wenn ich das alles in die obige Gleichung einsetze, dann bekomme ich:
[mm] \frac{r^2 \cdot R(r)'' + r \cdot R(r)'}{R(r)} [/mm] = [mm] \frac{-\phi(\varphi)''}{\phi(\varphi)} [/mm] = [mm] \lambda
[/mm]
Für die Differentialgleichung [mm] \frac{-\phi(\varphi)''}{\phi(\varphi)} [/mm] = [mm] \lambda [/mm] bekomme ich nun für [mm] \lambda [/mm] > 0:
[mm] \phi(\varphi) [/mm] = [mm] c_1 \cdot cos(\wurzel(\lambda) \cdot \varphi) [/mm] + [mm] c_2 \cdot sin(\wurzel(\lambda) \cdot \varphi)
[/mm]
Da die Lösung periodisch (mit Periode [mm] 2*\pi) [/mm] in [mm] \varphi [/mm] sein soll, erhält man die Bedingung [mm] \wurzel(\lambda) [/mm] = n
Es ergibt sich daher weiter:
[mm] \phi_n(\varphi) [/mm] = [mm] c_1 \cdot [/mm] cos(n [mm] \cdot \varphi) [/mm] + [mm] c_2 \cdot [/mm] sin(n [mm] \cdot \varphi)
[/mm]
Nun möchte ich die Lösung für die Differentialgleichung [mm] \frac{r^2 \cdot R(r)'' + r \cdot R(r)'}{R(r)} [/mm] = [mm] \lambda
[/mm]
mit [mm] \lambda_n [/mm] = [mm] n^2 [/mm] bestimmen.
Wenn ich das richtig gesehen habe, dann handelt es sich dabei um eine Euler'sche Differentialgleichung. In der Musterlösung steht, dass diese mit dem Ansatz $R(r) = [mm] r^\alpha$ [/mm] gelöst werden kann. Das ist jedoch der Punkt wo ich nicht mehr weiter weiß. Setze ich $R(r) = [mm] r^\alpha$, [/mm] dann bekomme ich für $R(r)' = [mm] \alpha [/mm] * [mm] r^{\alpha}$ [/mm] und $R(r)'' = [mm] \alpha^2 [/mm] * [mm] r^\alpha$. [/mm] Doch wie mache ich da weiter?
Ich würd mich freuen, wenn mir da jemand weiterhelfen kann.
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Hallo Schluchti,
> Bestimmen Sie die Lösung der nachfolgenden partiellen
> Differentialgleichung (Anfangs - und Randbedingungen
> können dabei vernachlässigt werden): [mm]u_{rr}[/mm] +
> [mm]\frac{1}{r^2} \cdot u_{\varphi\varphi}[/mm] + [mm]\frac{1}{r} \cdot U_r[/mm]
> = 0
> Hallo Leute,
>
> irgendwie steh ich mit der Seperationsmethode zum Lösen
> der partiellen Differentialgleichungen noch etwas auf
> Kriegsfuß. Ich hoffe ihr könnt mir da ein wenig helfen.
> Mein Gedankengang sieht so aus:
>
> [mm]u_{rr}[/mm] + [mm]\frac{1}{r^2} \cdot u_{\varphi\varphi}[/mm] +
> [mm]\frac{1}{r} \cdot U_r[/mm] = 0
>
> Seperationsansatz mit:
> [mm]u(r, \varphi) = R(r) \cdot \phi(\varphi)[/mm]
>
> Dann ergeben sich folgende partiellen Ableitungen:
> [mm]u_{r} = R(r)' \cdot \phi(\varphi)[/mm]
> [mm]u_{rr} = R(r)'' \cdot \phi(\varphi)[/mm]
>
> [mm]u_{\varphi\varphi} = R(r) \cdot \phi(\varphi)''[/mm]
>
> Wenn ich das alles in die obige Gleichung einsetze, dann
> bekomme ich:
>
> [mm]\frac{r^2 \cdot R(r)'' + r \cdot R(r)'}{R(r)}[/mm] =
> [mm]\frac{-\phi(\varphi)''}{\phi(\varphi)}[/mm] = [mm]\lambda[/mm]
>
> Für die Differentialgleichung
> [mm]\frac{-\phi(\varphi)''}{\phi(\varphi)}[/mm] = [mm]\lambda[/mm] bekomme
> ich nun für [mm]\lambda[/mm] > 0:
>
> [mm]\phi(\varphi)[/mm] = [mm]c_1 \cdot cos(\wurzel(\lambda) \cdot \varphi)[/mm]
> + [mm]c_2 \cdot sin(\wurzel(\lambda) \cdot \varphi)[/mm]
>
> Da die Lösung periodisch (mit Periode [mm]2*\pi)[/mm] in [mm]\varphi[/mm]
> sein soll, erhält man die Bedingung [mm]\wurzel(\lambda)[/mm] = n
> Es ergibt sich daher weiter:
> [mm]\phi_n(\varphi)[/mm] = [mm]c_1 \cdot[/mm] cos(n [mm]\cdot \varphi)[/mm] + [mm]c_2 \cdot[/mm]
> sin(n [mm]\cdot \varphi)[/mm]
>
> Nun möchte ich die Lösung für die Differentialgleichung
> [mm]\frac{r^2 \cdot R(r)'' + r \cdot R(r)'}{R(r)}[/mm] = [mm]\lambda[/mm]
>
> mit [mm]\lambda_n[/mm] = [mm]n^2[/mm] bestimmen.
> Wenn ich das richtig gesehen habe, dann handelt es sich
> dabei um eine Euler'sche Differentialgleichung. In der
> Musterlösung steht, dass diese mit dem Ansatz [mm]R(r) = r^\alpha[/mm]
> gelöst werden kann. Das ist jedoch der Punkt wo ich nicht
> mehr weiter weiß. Setze ich [mm]R(r) = r^\alpha[/mm], dann bekomme
> ich für [mm]R(r)' = \alpha * r^{\alpha}[/mm] und [mm]R(r)'' = \alpha^2 * r^\alpha[/mm].
> Doch wie mache ich da weiter?
>
Bei der Ableitung hast Du die Potenzregel nicht richtig angewendet:
[mm]R(r)' = \alpha * r^{\alpha\red{-1}}[/mm]
[mm]R(r)'' = \alpha *\red{\left(\alpha-1\right)}* r^{\alpha\red{-2}}[/mm]
> Ich würd mich freuen, wenn mir da jemand weiterhelfen
> kann.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:25 So 10.06.2012 | | Autor: | Schluchti |
Ich glaub, ich mach heute schon zu lange Mathe. Vielen Dank für den Hinweis, MathePower! Jetzt stimmt es :)
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