Separationsansatz 3 Variablen < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:35 Di 12.06.2012 | | Autor: | adefg |
| Aufgabe | Betrachten Sie die folgenden partiellen DGLn. und führen Sie jeweils mit Hilfe eines geeigneten Ansatzes die Separation der Variablen durch.
a) [mm] \frac{\partial^3\Psi}{\partial x\partial y\partial z} +xy\frac{\partial^2\Psi}{\partial z^2} +z\frac{\partial\Psi}{\partial x} [/mm] = 0
b) [mm] \frac{\partial^2\Psi}{\partial x\partial y}+\frac{\partial\Psi}{\partial z}+z\frac{\partial^2\Psi}{\partial y^2}=0 [/mm] |
Hallo,
ich habe bisher Separationsansätze nur wenige Male für 2 Variablen durchgeführt, aber bei 3 Variablen hänge ich da noch etwas glaube ich.
Bei 1) habe ich den Ansatz [mm] \Psi(x,y,z)=u(x)\cdot [/mm] v(y,z) gemacht. Ableiten und Einsetzen liefert dann
[mm] u'(x)\cdot\frac{\partial^2}{\partial y\partial z}v(y,z)+xy u(x)\frac{\partial^2}{\partial z^2} [/mm] v(y,z) + z u'(x) v(y,z)=0
[mm] \Leftrightarrow \frac{1}{x}\cdot\frac{u'(x)}{u(x)}=\frac{-y \frac{\partial^2}{\partial z^2}v(y,z)}{\frac{\partial^2}{\partial y\partial z} v(y,z)+zv(y,z)} [/mm] = [mm] \lambda
[/mm]
Die gewöhnliche Dgl. für x kann man jetzt problemlos lösen, für die Dgl. auf der rechten Seite habe ich dann weitergemacht mit:
-y [mm] \frac{\partial^2}{\partial z^2}v(y,z) [/mm] = [mm] \lambda\frac{\partial^2}{\partial y\partial z} v(y,z)+\lambda [/mm] zv(y,z)
Ansatz: v(y,z)=a(y)b(z) liefert
-y a(y)b''(z) = [mm] \lambda [/mm] a'(y)b'(z) + [mm] \lambda [/mm] za(y)b(z)
[mm] \Leftrightarrow -y\frac{b''(z)}{b'(z)}-\lambda\frac{b(z)}{b'(z)}=\lambda\frac{a'(y)}{a(y)}
[/mm]
Jetzt habe ich aber das Problem, dass hier auf der linken Seite immer noch ein y vorkommt und nicht die Seiten beide nur von einer Variablen abhängig sind, wie ich das gern beim Separationsansatz hätte.
Ich habe schon einige andere Umformungen probiert, aber komme um dieses Problem nie herum.
Habe ich vorher vielleicht was falsch gemacht oder muss ich anders ansetzen?
Kann mir da wer weiterhelfen?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Fr 15.06.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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