Sesquilinearform - Grundsätzliches < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:26 Sa 10.12.2011 | | Autor: | hase-hh |
Moin moin!
kann mir jemand ein einfaches Beispiel für "bilinear" und für "sesquilinear" geben?
Wann ist ein Vektor linear?
Danke & Gruß!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:29 Mo 12.12.2011 | | Autor: | Herby |
Moin Hase,
> Moin moin!
>
> kann mir jemand ein einfaches Beispiel für "bilinear" und
> für "sesquilinear" geben?
kannst du mit dem hier was anfangen: ![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Bilineare_Abbildung
>
> Wann ist ein Vektor linear?
>
Was meinst du? Lineare Abhängigkeit/Unabhängigkeit von zwei Vektoren?
Grüße
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:43 Do 15.12.2011 | | Autor: | hase-hh |
Ok, wie gesagt es geht mir um ein konkretes Beispiel.
Fangen wir mal mit einer linearen Abbildung an.
Ich würde mir denken, dass eine Menge von Punkten, die eine Geradengleichung bilden, eine lineare Abbildung darstellt ?
Also bspw. die Menge aller Vektoren , für die gilt [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ -2} [/mm] + [mm] r*\vektor{0 \\ 7 \\ 3}
[/mm]
Und ich suche so ein Beispiel für bilinear und sesquilinear.
> > Wann ist ein Vektor linear?
> >
> Was meinst du? Lineare Abhängigkeit/Unabhängigkeit von
> zwei Vektoren?
>
Ich gehe davon aus, dass dieser Begriff im Zusammenhang mit Abbildungen gefallen ist; denke also nicht, dass er etwas mit lineare Unabhängigkeit zu tun hat, oder???
Danke & Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:46 Do 15.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ok, wie gesagt es geht mir um ein konkretes Beispiel.
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> Fangen wir mal mit einer linearen Abbildung an.
>
> Ich würde mir denken, dass eine Menge von Punkten, die
> eine Geradengleichung bilden, eine lineare Abbildung
> darstellt ?
Nein. Eine Abbildung ist keine Menge.
FRED
>
> Also bspw. die Menge aller Vektoren , für die gilt
> [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ -2}[/mm] + [mm]r*\vektor{0 \\ 7 \\ 3}[/mm]
>
>
> Und ich suche so ein Beispiel für bilinear und
> sesquilinear.
>
>
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> > > Wann ist ein Vektor linear?
> > >
> > Was meinst du? Lineare Abhängigkeit/Unabhängigkeit von
> > zwei Vektoren?
> >
>
> Ich gehe davon aus, dass dieser Begriff im Zusammenhang mit
> Abbildungen gefallen ist; denke also nicht, dass er etwas
> mit lineare Unabhängigkeit zu tun hat, oder???
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> Danke & Gruß
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 09:31 Do 15.12.2011 | | Autor: | hase-hh |
Ich suche immer noch nach einem konkreten Beispiel.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:55 Do 15.12.2011 | | Autor: | wieschoo |
Die Nullabbildung [mm] $f(x,y)=0\;$ [/mm] ist sowohl bilinear als auch sesquilinear. weitere einfache Bilinearform ist
[mm] $f(x,y)=x+y\;$ [/mm] oder allgemein das Skalarprodukt.
Sesquilinearform ist nur die Verallgemeinerung im Komplexen.
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> Ok, wie gesagt es geht mir um ein konkretes Beispiel.
>
> Fangen wir mal mit einer linearen Abbildung an.
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> Ich würde mir denken, dass eine Menge von Punkten, die
> eine Geradengleichung bilden, eine lineare Abbildung
> darstellt ?
>
> Also bspw. die Menge aller Vektoren , für die gilt
> [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\
2 \\
-2}[/mm] + [mm]r*\vektor{0 \\
7 \\
3}[/mm]
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> Und ich suche so ein Beispiel für bilinear und
> sesquilinear.
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> > > Wann ist ein Vektor linear?
> > >
Hallo,
ich hatte Dir ja vor ein paar Tagen ja bereits angedeutet, daß Linearität bzw. Semilinearität keine Eigenschaften von Vektoren sind.
Es sind Eigenschaften von Abbildungen.
Lineare Abbildungen sind Abbildungen von einem Vektorraum in einen anderen, für die gewisse Eigenschaften gelten.
Ich erspare mir die Wiedergabe der Definition, Du kannst das in der wikipedia gut nachlesen.
Konkrete Beispiele:
[mm] f:\IR^2\to \IR^3 [/mm] mit [mm] f(x):=\pmat{1&2\\3&4\\5&6}*x [/mm] ist linear,
ebenso die Abbildung aus dem VR der Polynome vom Höchstgrad 5 in den VR der Polynome vom Höchstgrad 8, welche jedem Polynom seine Ableitung zuordnet,
und auch [mm] g:\IR\to \IR [/mm] mit g(x)=7x.
Die Zutaten für eine bilineare Abbildung f sind drei VRe U,V,W über demselben Körper K (etwa über [mm] \IR [/mm] oder [mm] \IC).
[/mm]
Die Abbildung f bildet (aufgepaßt!) Zweitupel aus [mm] U\times [/mm] V auf elemente aus W ab, und gehorcht dabei gewissen Bedingungen:
[mm] f:U\times V\to [/mm] W heißt bilinear, genau dann wenn gilt:
für beliebige x, x' [mm] \in [/mm] U, y, y' [mm] \in [/mm] V und [mm] \alpha \in [/mm] K ist
f(x + x', y) = f(x, y) + f(x', y)
[mm] f(\alpha \cdot [/mm] x, y) = [mm] \alpha \cdot [/mm] f(x, y)
f(x, y + y') = f(x, y) + f(x, y')
f(x, [mm] \alpha \cdot [/mm] y) = [mm] \alpha \cdot [/mm] f(x, y)
Wenn Du mit der Def. der Linearität vergleichst, siehst Du, daß bilineare Abbildungen im ersten und zweiten Argument linear sind, was die Benennung erklärt.
Ein typisches, wenn auch nicht das allgemeinste, Beispiel für eine bilineare Abbildung ist das Standardskalarprodukt des [mm] \IR^3, [/mm] wovon Du Dich selbst überzeugen kannst.
Bleibt die Frage zu klären, was es mit der Sesquilinearität auf sich hat.
Diese ist eine Eigenschaft, welche Funktionen [mm] f:U\times V\to [/mm] W haben können, sofern die 3 beteiligten Vektorräume VRe über [mm] \IC [/mm] sind.
Solche Funktionen sind im ersten oder zweiten Argument linear, im anderen jedoch semilinear. Für eine sesquilineare Funktion, die im zweiten Argument semilinear ist, gilt
für beliebige x, x' [mm] \in [/mm] U, y, y' [mm] \in [/mm] V und [mm] \alpha \in \IC [/mm] ist
f(x + x', y) = f(x, y) + f(x', y)
[mm] f(\alpha \cdot [/mm] x, y) = [mm] \alpha \cdot [/mm] f(x, y)
f(x, y + y') = f(x, y) + f(x, y')
f(x, [mm] \alpha \cdot [/mm] y) = [mm] \red{\overline{\alpha}} \cdot [/mm] f(x, y).
[mm] \overline{\alpha} [/mm] ist das Konjugiert-Komplexe von [mm] \alpha.
[/mm]
Ein Beispiel für eine sesquilineare Abbildung ist das Standardskalarprodukt des [mm] \IC^3.
[/mm]
> Ich gehe davon aus, dass dieser Begriff im Zusammenhang mit
> Abbildungen gefallen ist;
Oh weh! Das klingt für mich irgendwie so, als solltest Du etwas unterrichten, von dem Du nicht so viel Plan hast.
Falls ich richtig liege: Beileid!
Gruß v. Angela
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