Set of closed points in Spec A < Algebraische Geometrie < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:44 Mo 04.10.2010 | | Autor: | Arcesius |
| Aufgabe | Let [mm]\mathcal{A}[/mm] be a ring. [mm]X := Spec(\mathcal{A})[/mm].
For each point [mm]\mathfrak{p} \in X[/mm], determine the closure of [mm]\lbrace p \rbrace[/mm]. In particular, find the set of closed points in [mm]X[/mm]. Show that [mm]X[/mm] is a [mm]T_{0}[/mm]-space. |
Hallo Zusammen.
Ich habe diese Aufgabe mal teilweise gelöst, weiss nur nicht ob ich richtig bin.. ich bitte um Hinweise :)
Zuerst mal der Abschluss von [mm]\mathfrak{p}[/mm]. Das ist die kleinste abgeschlossene Menge, die [mm]\mathfrak{p}[/mm] enthält.
Die abgeschlossenen Mengen sehen folgendermassen aus:
[mm]V(\mathfrak{p}) := \lbrace \mathfrak{a} \in X \mid \mathfrak{p} \subset \mathfrak{a} \rbrace[/mm]
Ein beliebiger Durchschnitt abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen, und gleichzeitig wird der Durchnitt aller solchen Mengen zur kleinsten Menge die ein Element enthalten.. also anders gesagt:
[mm]cl(\mathfrak{p}) = \bigcap\limits_{i \in I}{\lbrace \mathfrak{a}_{i} \in Spec(\mathcal{A}) \mid \mathfrak{p} \subset \mathfrak{a}_{i}\rbrace}[/mm]
Das ist aber gleichzeitig der Durchschnitt aller Primideale, die [mm]\mathfrak{p}[/mm] enthalten.
[mm]\Rightarrow cl(\mathfrak{p}) = r(\mathfrak{p})[/mm] (Radikal)
Stimmt das so?
Nun wäre der nächste Punkt, die Menge aller abgeschlossenen Punkte zu finden. Ich bezeichne diese Menge mit [mm]\mathcal{C}[/mm] und setze an:
[mm]\mathcal{C} = \bigcup\limits_{\mathfrak{p} \in X}{r(\mathfrak{p})} = \bigcup\limits_{\mathfrak{p} \in X}{\left(\bigcap\limits_{i \in I}{\lbrace \mathfrak{a}_{i} \in X \mid \mathfrak{p} \subset \mathfrak{a}_{i}\rbrace\right)}[/mm]
Sollte das bisher stimmen.. wie kann ich nun weiter machen? Ich habe hier keine Ahnung, auf was [mm]\mathcal{C}[/mm] hinausgeht.. kann jemand helfen?
Danke für die Mühe :)
Grüsse, Amaro
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:38 Mo 04.10.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Amaro!
> Let [mm]\mathcal{A}[/mm] be a ring. [mm]X := Spec(\mathcal{A})[/mm].
> For
> each point [mm]\mathfrak{p} \in X[/mm], determine the closure of
> [mm]\lbrace p \rbrace[/mm]. In particular, find the set of closed
> points in [mm]X[/mm]. Show that [mm]X[/mm] is a [mm]T_{0}[/mm]-space.
>
> Hallo Zusammen.
>
> Ich habe diese Aufgabe mal teilweise gelöst, weiss nur
> nicht ob ich richtig bin.. ich bitte um Hinweise :)
>
> Zuerst mal der Abschluss von [mm]\mathfrak{p}[/mm]. Das ist die
> kleinste abgeschlossene Menge, die [mm]\mathfrak{p}[/mm] enthält.
> Die abgeschlossenen Mengen sehen folgendermassen aus:
>
> [mm]V(\mathfrak{p}) := \lbrace \mathfrak{a} \in X \mid \mathfrak{p} \subset \mathfrak{a} \rbrace[/mm]
Du solltest hier nicht [mm] $\mathfrak{p}$ [/mm] doppelt verwenden!
> Ein beliebiger Durchschnitt abgeschlossener Mengen ist
> abgeschlossen, und gleichzeitig wird der Durchnitt aller
> solchen Mengen zur kleinsten Menge die ein Element
> enthalten.. also anders gesagt:
>
> [mm]cl(\mathfrak{p}) = \bigcap\limits_{i \in I}{\lbrace \mathfrak{a}_{i} \in Spec(\mathcal{A}) \mid \mathfrak{p} \subset \mathfrak{a}_{i}\rbrace}[/mm]
Das hier ist jetzt ziemlicher Quark. Du willst hier stehen haben:
[mm] $cl(\mathfrak{p}) [/mm] = [mm] \bigcap_{\stackrel{\mathfrak{a} \text{ Ideal in } \mathcal{A}}{\mathfrak{p} \in V(\mathfrak{a})}} V(\mathfrak{a}) [/mm] = [mm] \bigcap_{\stackrel{\mathfrak{a} \text{ Ideal in } \mathcal{A}}{\mathfrak{a} \subseteq \mathfrak{p}}} V(\mathfrak{a})$
[/mm]
> Das ist aber gleichzeitig der Durchschnitt aller
> Primideale, die [mm]\mathfrak{p}[/mm] enthalten.
Das ist kein Durchschnitt von (Prim-)Idealen, sondern ein Durchschnitt von Mengen, die aus Primidealen bestehen! Das sind zwei voellig verschiedene Dinge!
> [mm]\Rightarrow cl(\mathfrak{p}) = r(\mathfrak{p})[/mm] (Radikal)
>
> Stimmt das so?
Nein. (Primideale sind uebrigens Radikalideale, es gilt also [mm] $r(\mathfrak{p}) [/mm] = [mm] \mathfrak{p}$.)
[/mm]
Mit der Gleichung, die ich oben hingeschrieben habe, kannst du zeigen, dass [mm] $V(\mathfrak{p})$ [/mm] die kleinste abgeschossene Menge ist, die [mm] $\mathfrak{p}$ [/mm] enthaelt.
> Nun wäre der nächste Punkt, die Menge aller
> abgeschlossenen Punkte zu finden.
Dazu muss [mm] $V(\mathfrak{p}) [/mm] = [mm] \{ \mathfrak{p} \}$ [/mm] sein. Was bedeutet dies fuer [mm] $\mathfrak{p}$?
[/mm]
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:56 Di 05.10.2010 | | Autor: | Arcesius |
Hey Felix
> Moin Amaro!
> Du willst hier stehen
> haben:
>
> [mm]cl(\mathfrak{p}) = \bigcap_{\stackrel{\mathfrak{a} \text{ Ideal in } \mathcal{A}}{\mathfrak{p} \in V(\mathfrak{a})}} V(\mathfrak{a}) = \bigcap_{\stackrel{\mathfrak{a} \text{ Ideal in } \mathcal{A}}{\mathfrak{a} \subseteq \mathfrak{p}}} V(\mathfrak{a})[/mm]
>
> Mit der Gleichung, die ich oben hingeschrieben habe, kannst
> du zeigen, dass [mm]V(\mathfrak{p})[/mm] die kleinste abgeschossene
> Menge ist, die [mm]\mathfrak{p}[/mm] enthaelt.
Gut, danke. Es ist verwirrend, dass die Inklusion [mm] $\mathfrak{a} \subset \mathfrak{p}$ [/mm] ist. Bzw. ich sehe schon, warum das gilt, aber eben, verwirrend :)
Trotzdem, ich denke so werde ich der Lösung nahe kommen. Hab jetzt was probiert und bis jetzt scheint es gut zu gehen.
>
> > Nun wäre der nächste Punkt, die Menge aller
> > abgeschlossenen Punkte zu finden.
>
> Dazu muss [mm]V(\mathfrak{p}) = \{ \mathfrak{p} \}[/mm] sein. Was
> bedeutet dies fuer [mm]\mathfrak{p}[/mm]?
>
Das erste, das mir in den Sinn gekommen ist wäre, dass [mm] $\mathfrak{p}$ [/mm] dann maximal sein müsste..?
Das würde gleichzeitig auch bedeuten, dass die Menge aller abgeschlossenen Punkte die maximale Primideale sind.
Auf jeden Fall vielen Dank für die Hilfe.
> LG Felix
>
Grüsse, Amaro
|
|
|
|
