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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:40 Fr 19.09.2014 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | Gegeben sei [mm] \Omega [/mm] = {-3, -2,-1,0,1,2,3} und die Zufallsvariablen
a) [mm] X(\omega)=2 \omega
[/mm]
b) [mm] X(\omega) [/mm] = [mm] \omega^2
[/mm]
Bestimme die kleinste [mm] \sigma-Algebra \IF [/mm] über [mm] \Omega, [/mm] sodass X Zufallsvariable auf [mm] (\Omega, \IF, [/mm] P) ist. |
Hallo,
a) [mm] X(\omega) \in [/mm] {-6,-4,-2,0,2,4,6}
[mm] b)X(\omega) \in [/mm] {0,1,4,9}
Wie gehe ich nun vor, um eine solche Sigma Algebra zu bestimmen?
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Hiho,
die Diskussion gab es doch letztens schon mit dir: Was muss denn für eine Zufallsvariable gelten?
Hinschreiben, dann steht es eigentlich schon fast da.
Es hat was mit Urbildern zu tun, letztlich läuft es also darauf hinaus, alle Urbilder zu bestimmen.
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:47 Mo 22.09.2014 | | Autor: | rollroll |
Mein Problem ist, dass hier ja gar keine Sigma-Algebra gegeben ist...
Ich schätze mal dass ich [mm] \Omega [/mm] = {-3,-2,-1,0,1,2,3} und [mm] \Omega' [/mm] = {-6,-4,-2,0,2,4,6} betrachten muss für die a).
Jetzt müsste ich ja die zu [mm] \Omega' [/mm] gehörende Sigma Algebra kennen um alle A' [mm] \in \mathcal{A} [/mm] ' betrachten zu können oder?
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Hiho,
> Jetzt müsste ich ja die zu [mm]\Omega'[/mm] gehörende Sigma
> Algebra kennen um alle A' [mm]\in \mathcal{A}[/mm] ' betrachten zu können oder?
Ja, das ist auch schlecht angegeben in der Aufgabenstellung.
Natürlicherweise nimmt man bei endlichen Mengen immer die Potenzmenge, d.h. [mm] $\mathcal{A}' [/mm] = [mm] \mathcal{P}(\Omega')$
[/mm]
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:44 Di 23.09.2014 | | Autor: | rollroll |
Ich blicke da nicht durch. Die Potenzmenge hätte ja dann [mm] 2^7=128 [/mm] Elemente oder? Müsste man dann zu jedem das Urbild bestimmen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:19 Di 23.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich blicke da nicht durch. Die Potenzmenge hätte ja dann
> [mm]2^7=128[/mm] Elemente oder? Müsste man dann zu jedem das Urbild
> bestimmen?
Du redest von der ersten Aufgabe. Dort kannst Du aber (edit:die durch die
Zufallsvariable erzeugte Ich habe das mal umformuliert, das vorangegangene hätte man
so nicht sagen dürfen, denke ich!) entsprechend der Aufgabe passende Sigma-Algebra
ohne weiteres schön formal schnell hinschreiben (sie hat auch [mm] $2^7=128$ [/mm]
Elemente).
Die Zufallsvariable ist ja injektiv. (Das solltest Du verwenden, wenn Du
beweisen willst, dass Dein Ergebnis auch korrekt ist.)
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:13 Mi 24.09.2014 | | Autor: | rollroll |
[mm] X^{-1} [/mm] (A')= { [mm] \omega \in [/mm] {-3,-2,-1,0,1,2,3}: X( [mm] \omega) \in [/mm] A' } [mm] \in 2^{{-3,-2,-1,0,1,2,3}} \forall [/mm] A' [mm] \in 2^{{-6,-4,-2,0,2,4,6}}
[/mm]
Mir fällt jetzt im Moment nicht besseres ein als die Definition hinzuschreiben. Wie man das ohne weiteres formal schön hinschreiben kann, weiß ich nicht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:52 Mi 24.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo rollroll,
> [mm]X^{-1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
(A')= { [mm]\omega \in[/mm] {-3,-2,-1,0,1,2,3}: X( [mm]\omega) \in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> A' } [mm]\in 2^{{-3,-2,-1,0,1,2,3}} \forall[/mm] A' [mm]\in 2^{{-6,-4,-2,0,2,4,6}}[/mm]
>
> Mir fällt jetzt im Moment nicht besseres ein als die
> Definition hinzuschreiben. Wie man das ohne weiteres formal
> schön hinschreiben kann, weiß ich nicht.
Benutze den Begriff
Potenzmenge!
Und dann begründe (mit der Injektivität), "warum es nicht kleiner geht".
P.S.
[mm] $2^{\{-6,-4,-2,0,2,4,6\}}$
[/mm]
schreibt man so in Latex:
[mm] [nomm]$2^{\{-6,-4,-2,0,2,4,6\}}$[/nomm]
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:27 Do 25.09.2014 | | Autor: | rollroll |
Die kleinste Sigma Algebra [mm] \IF [/mm] über [mm] \Omega, [/mm] sodass X eine ZV auf ( [mm] \Omega, \IF, [/mm] P) ist ist [mm] 2^{\Omega}. [/mm] Dann wird jedes Element von [mm] 2^{\Omega'} [/mm] höchstens einmal angenommen. Die Abbildung ist also umkehrbar (Urbilder existieren).
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:32 Do 25.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo rollroll,
> Die kleinste Sigma Algebra [mm]\IF[/mm] über [mm]\Omega,[/mm] sodass X eine
> ZV auf ( [mm]\Omega, \IF,[/mm] P) ist ist [mm]2^{\Omega}.[/mm] Dann wird
> jedes Element von [mm]2^{\Omega'}[/mm] höchstens einmal
> angenommen. Die Abbildung ist also umkehrbar (Urbilder
> existieren).
was ist denn jetzt Dein Argument?
Du hast
$f [mm] \colon [/mm] D [mm] \to Z\,,$
[/mm]
und Du weißt, dass [mm] $D\,$ [/mm] eine endliche Menge ist, und dass
[mm] $Z=f(D)\,,$
[/mm]
wegen der Injektivität von [mm] $f\,$ [/mm] sind daher
[mm] $D\,$ [/mm] und [mm] $Z=f(D)\,$ [/mm] gleichmächtig.
Du weißt nun, dass für diese Potenzmenge
[mm] $2^Z$
[/mm]
auch
[mm] $\underbrace{|2^Z|}_{\text{das ist die Anzahl der Elemente der Potenzmenge von }Z}=2^{|Z|}$
[/mm]
gilt (rechts steht eine Potenz von [mm] $2\,$; $|Z|\,$ [/mm] ist dort auch die Anzahl der Elemente
einer Menge, nämlich der Menge [mm] $Z\,$).
[/mm]
Ich behaupte: Wegen der Injektivität von [mm] $f\,$ [/mm] ist dann auch
[mm] $|\{f^{-1}(T):\;\; T \in 2^Z\}| \;\ge\;2^{|Z|}\,.$
[/mm]
Denn: Sei
$g [mm] \colon 2^Z \to 2^D$
[/mm]
definiert durch
[mm] $g(T):=f^{-1}(T)$ [/mm] für $T [mm] \in 2^Z\,.$
[/mm]
Wir müssen nur zeigen, dass [mm] $g\,$ [/mm] injektiv ist:
Seien dazu
[mm] $T_1, T_2 \in 2^Z$ [/mm]
mit [mm] $g(T_1)=g(T_2)\,.$ [/mm]
Weil [mm] $f\,$ [/mm] surjektiv war, gibt es [mm] $X_1, X_2 \in 2^D$ [/mm] mit
[mm] $f(X_1)=T_1$ [/mm] und [mm] $f(X_2)=T_2\,.$
[/mm]
Beachte nun: Die Injektivität von [mm] $f\,$ [/mm] impliziert für alle $X [mm] \in 2^D$
[/mm]
[mm] ($\star$) $f^{-1}(f(X))=X\,.$
[/mm]
Verwende nun [mm] ($\star$), [/mm] um [mm] $T_1=T_2$ [/mm] zu sehen!
(Für nicht-injektive Funktionen ist [mm] ($\star$) [/mm] i.a. falsch. Betrachte etwa
$f [mm] \colon \IR \to [0,\infty)$ [/mm] mit [mm] $f(x)=x^2\,.$
[/mm]
Dann ist
[mm] $f([0,2))=[0,2^2)=[0,4)\,,$
[/mm]
aber
[mm] $f^{-1}(f([0,4)))=(-2,2)\,.$
[/mm]
Hier gilt für alle $X [mm] \in 2^{\IR}$ [/mm] halt "nur"
$X [mm] \subseteq f^{-1}(f(X))\,.$
[/mm]
Wenn Du magst: Beweise, dass diese Teilmengenbeziehung immer gilt, und
dass "durchweg" [mm] $f^{-1}(f(X)) \subseteq [/mm] X$ genau dann gilt, wenn [mm] $f\,$ [/mm] injektiv ist. Wenn
Du nicht weißt, wie das "es ist durchweg [mm] $f^{-1}(f(X)) \subseteq [/mm] X$" gemeint ist:
Es bedeutet, dass für alle $X [mm] \in 2^D$ [/mm] dann [mm] $f^{-1}(f(X)) \subseteq [/mm] X$ gilt.)
P.S. Achso, ich hatte das Fazit vergessen:
Wir sehen so
[mm] $|\{f^{-1}(T):\;\; T \in 2^Z\}| \ge 2^{|Z|}=2^{|D|}=|2^D|\,.$
[/mm]
Die Menge
[mm] $\{f^{-1}(T):\;\; T \in 2^Z\} \subseteq 2^D$
[/mm]
ist also gleichmächtig zu [mm] $2^D\,$ [/mm] (warum?). Also?
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:26 Sa 27.09.2014 | | Autor: | rollroll |
Also ist die kleinste solche Sigma Algebra [mm] \IF [/mm] = [mm] 2^D.
[/mm]
Die b) verhält sich allerdings nicht so leicht, weil die beiden Mengen ja nicht gleichmächtig sind.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:40 Sa 27.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Also ist die kleinste solche Sigma Algebra [mm]\IF[/mm] = [mm]2^D.[/mm]
> Die b) verhält sich allerdings nicht so leicht, weil die
> beiden Mengen ja nicht gleichmächtig sind.
schreib' nochmal die Funktion von b) hin und schreibe mal alles dazu, was
Du Dir bisher überlegt hast. Ich meine, das Mindeste ist doch, dass Du
hinschreiben kannst, welche Mengen in der geforderten Sigma-Algebra
mindestens enthalten sein müssen.
Ich meine
[mm] $X^{-1}(\varnothing)=\varnothing,$
[/mm]
[mm] $X^{-1}(\{0\})=\{0\},$
[/mm]
[mm] $X^{-1}(\{1\})=\{-1,1\},$
[/mm]
[mm] $X^{-1}(\{4\})=\{-2,2\},$
[/mm]
[mm] $X^{-1}(\{9\})=\{-3,3\}$
[/mm]
ist Dir doch wohl klar.
Was muss denn noch alles drin sein?
[mm] $X^{-1}(\{0,1\})=\{-1,0,1\},$
[/mm]
[mm] $X^{-1}(\{0,2\})=\{-2,0,2\},$
[/mm]
.
.
.
Was man definitiv sagen kann, ist, dass die gesuchte Sigma-Algebra
[mm] $=\sigma(\{X^{-1}(T):\;\; T \in 2^{\{0,1,4,9\}}\})$
[/mm]
ist [mm] ($\sigma:$[/mm] ![[]](/images/popup.gif) Sigma-Operator (Wikilink!)).
Wenn aber
[mm] $\mathcal{U}:=\{X^{-1}(T):\;\; T \in 2^{\{0,1,4,9\}}\}$
[/mm]
selbst schon eine Sigma-Algebra ist, dann braucht man [mm] $\sigma$ [/mm] wohl...?
Testen wir das mal:
Wegen
[mm] $\varnothing \in 2^{\{0,1,4,9\}}$
[/mm]
ist auch [mm] $X^{-1}(\varnothing)=\varnothing \in \mathcal{U}\,.$
[/mm]
Sei nun $N [mm] \in \mathcal{U}\,.$ [/mm] Dann existiert $M [mm] \in 2^{\{0,1,4,9\}}$ [/mm] mit
[mm] $N=X^{-1}(M)\,.$
[/mm]
Wie können wir jetzt [mm] $N^c \in \mathcal{U}$ [/mm] einsehen?
[mm] $N^c=(f^{-1}(M))^c=...$?
[/mm]
Und jetzt brauchen wir noch, dass abzählbare Vereinigungen von Mengen
aus [mm] $\mathcal{U}$ [/mm] auch zu [mm] $\mathcal{U}$ [/mm] gehören. Aber irgendwas sollst Du ja auch mal
selbstständig machen.
Ich sag' jetzt nur noch soviel: "Urbildoperationen" sind in dem Kontext hier
viel schöner als "Bildoperationen", so gilt etwa allgemein
[mm] $f^{-1}(M \cap N)=f^{-1}(M) \cap f^{-1}(N)$
[/mm]
(Beweis ist kurz: Wenn $x [mm] \in f^{-1}(M \cap [/mm] N)$ ist, dann ist $f(x) [mm] \in [/mm] M [mm] \cap [/mm] N$ und aus $f(x) [mm] \in [/mm] M$
folgt $x [mm] \in f^{-1}(M)$ [/mm] und analog sieht man $x [mm] \in f^{-1}(N)$ [/mm] ein, also $x [mm] \in f^{-1}(M) \cap f^{-1}(N)\,.$ [/mm] Also
gilt [mm] $\subseteq$.
[/mm]
[Noch kürzer: [mm] $\subseteq$ [/mm] folgt wegen $M [mm] \cap [/mm] N [mm] \subseteq [/mm] M$ und $M [mm] \cap [/mm] N [mm] \subseteq [/mm] N$.]
Andererseits folgt aus
$x [mm] \in f^{-1}(M) \cap f^{-1}(N)$
[/mm]
sofort $f(x) [mm] \in [/mm] M$ und $f(x) [mm] \in N\,,$ [/mm] also $f(x) [mm] \in [/mm] M [mm] \cap [/mm] N$ und damit $x [mm] \in f^{-1}(M \cap N)\,.$)
[/mm]
aber
$f(A [mm] \cap [/mm] B)=f(A) [mm] \cap [/mm] f(B)$
ist i.a. falsch. Z.B. für die nichtinjektive Funktion
$f [mm] \colon \IR \to \IR$
[/mm]
mit [mm] $f(x)=x^2$ [/mm] ist
[mm] $\{0\}=f(\{0\})=f((-1,0] \cap [/mm] [0,1)) [mm] \subsetneqq [/mm] f((-1,0]) [mm] \cap f([0,1))=[0^2,1^2)=[0,1)\,.$
[/mm]
Sowas lernt man eigentlich relativ früh im Studium (meist in einer der
ersten Vorlesungen aus Analysis I). Und selbst, wenn man es vergisst:
Solche Kleinigkeiten sollte man mit fortschreitendem Studium auch schnell
selbst beweisen können, siehe oben. Zu Studienbeginn durfte man sich
vielleicht noch den Kopf drüber zerbrechen, aber mit fortgeschrittenem
Studium sollte solch' ein Beweis wirklich in maximal 5 Minuten erledigt
sein.
Gruß,
Marcel
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