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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:30 Mo 06.10.2014 | | Autor: | James90 |
Hi!
Ich habe eine Frage zu einer Definition/Bemerkung in meinem Skript.
Ein Mengensystem F auf [mm] \Omega\not=\emptyset [/mm] heißt Sigma-Algebra, falls gelten:
1) [mm] $\Omega\in [/mm] F$
2) [mm] $A\in [/mm] F$, so gilt auch [mm] $A^c\in [/mm] F$
3) [mm] $(A_n)\in [/mm] F$, so gilt auch [mm] $\bigcup_{n\in\IN}A_n\in [/mm] F$
Habe ich das richtig verstanden, dass wir [mm] $F\subseteq P(\Omega)$ [/mm] betrachten?
Ich will ein Beispiel machen. [mm] \Omega:=\{1,2\}, [/mm] dann ist [mm] P(\Omega)=\{\emptyset,\{1\},\{2\},\{1,2\}\}.
[/mm]
Wegen 1) muss das letzte Element der Potenzmenge [mm] \{1,2\}, [/mm] was auch [mm] \Omega [/mm] ist in F enthalten sein. Schreibt man dann [mm] $\{1,2\}\in [/mm] F$?
Zu 2) Soll das für alle Elemente (A) aus F gelten? Also: [mm] $\emptyset^c\in [/mm] F$, [mm] $\{1\}^c\in [/mm] F$, [mm] $\{2\}^c\in [/mm] F$ und [mm] $\{1,2\}^c\in [/mm] F$?
Wenn dem so ist, dann verstehe ich die erste Voraussetzung nicht. Denn aus 1) und 2) folgt [mm] $\Omega\in [/mm] F$ und damit [mm] $\Omega^c=\Omega\setminus\Omega=\emptyset\in [/mm] F$. Reicht nicht [mm] $\emptyset\in [/mm] F$ als Voraussetzung?
3) ist mir dann klar.
ist nun mein [mm] F:=P(\Omega) [/mm] eine Sigma-Algebra?
Als Bemerkung steht, dass [mm] \{\emptyset,\Omega\} [/mm] und [mm] P(\Omega) [/mm] die trivialen Sigma-Algebren sind.
Ich probiere das mal zu zeigen. [mm] F:=\{\emptyset,\Omega\}.
[/mm]
ad 1) [mm] \Omega [/mm] ist das zweite Element in F und damit in F enthalten [mm] ($\Omega\in [/mm] F$)
ad 2) [mm] $\emptyset\in [/mm] F$ -> [mm] \emptyset^c=\Omega\setminus\emptyset=\Omega [/mm] und [mm] $\Omega\in [/mm] F$ -> [mm] \Omega^c=$\Omega\setminus\Omega\in [/mm] F$. Passt.
ad 3) [mm] $\emptyset\cup\Omega=\Omega\in [/mm] F$
Zur Potenzmenge habe ich keine Idee. Wie kann man zeigen, dass [mm] F:=P(\Omega) [/mm] eine Sigma-Algebra ist? Falls das stimmt, dann müsste das doch die größte Sigma-Algebra überhaupt sein und [mm] \{\emptyset,\Omega\} [/mm] die kleinste?
Vielen Dank für jede Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:57 Mo 06.10.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo James90!
> Ein Mengensystem F auf [mm]\Omega\not=\emptyset[/mm] heißt
> Sigma-Algebra, falls gelten:
>
> 1) [mm]\Omega\in F[/mm]
> 2) [mm]A\in F[/mm], so gilt auch [mm]A^c\in F[/mm]
> 3)
> [mm](A_n)\in F[/mm], so gilt auch [mm]\bigcup_{n\in\IN}A_n\in F[/mm]
> Habe ich das richtig verstanden, dass wir [mm]F\subseteq P(\Omega)[/mm]
> betrachten?
Ja, genau.
> Ich will ein Beispiel machen. [mm]\Omega:=\{1,2\},[/mm] dann ist
> [mm]P(\Omega)=\{\emptyset,\{1\},\{2\},\{1,2\}\}.[/mm]
Ja.
> Wegen 1) muss das letzte Element der Potenzmenge [mm]\{1,2\},[/mm]
> was auch [mm]\Omega[/mm] ist in F enthalten sein. Schreibt man dann
> [mm]\{1,2\}\in F[/mm]?
Ja, das kann man tun.
> Zu 2) Soll das für alle Elemente (A) aus F gelten?
Ja, so ist das gemeint.
> Also:
> [mm]\emptyset^c\in F[/mm], [mm]\{1\}^c\in F[/mm], [mm]\{2\}^c\in F[/mm] und
> [mm]\{1,2\}^c\in F[/mm]?
Ja.
> Wenn dem so ist, dann verstehe ich die erste Voraussetzung
> nicht. Denn aus 1) und 2) folgt [mm]\Omega\in F[/mm] und damit
> [mm]\Omega^c=\Omega\setminus\Omega=\emptyset\in F[/mm]. Reicht nicht
> [mm]\emptyset\in F[/mm] als Voraussetzung?
Bedingung (1) und (2) implizieren in der Tat [mm] $\emptyset\in [/mm] F$, aber umgekehrt impliziert [mm] $\emptyset\in [/mm] F$ noch lange nicht Bedingung (2), die [mm] $A^c\in [/mm] F$ für ALLE [mm] $A\in [/mm] F$ (nicht nur für [mm] $A=\Omega$) [/mm] fordert.
> ist nun mein [mm]F:=P(\Omega)[/mm] eine Sigma-Algebra?
Ja.
> Als Bemerkung steht, dass [mm]\{\emptyset,\Omega\}[/mm] und
> [mm]P(\Omega)[/mm] die trivialen Sigma-Algebren sind.
>
> Ich probiere das mal zu zeigen. [mm]F:=\{\emptyset,\Omega\}.[/mm]
>
> ad 1) [mm]\Omega[/mm] ist das zweite Element in F und damit in F
> enthalten ([mm]\Omega\in F[/mm])
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> ad 2) [mm]\emptyset\in F[/mm] ->
> [mm]\emptyset^c=\Omega\setminus\emptyset=\Omega[/mm] und [mm]\Omega\in F[/mm]
> -> [mm]\Omega^c=[/mm] [mm]\Omega\setminus\Omega\in F[/mm]. Passt.
Ja.
> ad 3) [mm]\emptyset\cup\Omega=\Omega\in F[/mm]
Das erscheint mir nicht als Beweis hinreichend.
Sei [mm] $(A_n)_{n\in\IN}$ [/mm] eine Folge von Elementen [mm] $A_n\in [/mm] F$.
Zu begründen ist nun [mm] $\bigcup_{n\in\IN}A_n\in [/mm] F$.
Unterscheide dazu folgende Fälle:
a) [mm] $A_n=\emptyset$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IN$
[/mm]
b) [mm] $A_m\not=\emptyset$ [/mm] für mindestens ein [mm] $m\in\IN$.
[/mm]
> Zur Potenzmenge habe ich keine Idee. Wie kann man zeigen,
> dass [mm]F:=P(\Omega)[/mm] eine Sigma-Algebra ist?
1) Wegen [mm] $\Omega\subseteq\Omega$ [/mm] gilt [mm] $\Omega\in P(\Omega)$.
[/mm]
2) Sei [mm] $A\in P(\Omega)$, [/mm] also [mm] $A\subseteq\Omega$. [/mm] Dann gilt auch [mm] $A^c\subseteq\Omega$ [/mm] und damit [mm] $A^c\in P(\Omega)$.
[/mm]
3) Sei [mm] $(A_n)_{n\in\IN}$ [/mm] eine Folge von Mengen [mm] $A_n\in P(\Omega)$, [/mm] also [mm] $A_n\subseteq\Omega$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IN$. [/mm] Dann folgt auch [mm] $\bigcup_{n\in\IN}A_n\subseteq\Omega$ [/mm] und somit [mm] $\bigcup_{n\in\IN}A_n\in P(\Omega)$.
[/mm]
> Falls das stimmt,
> dann müsste das doch die größte Sigma-Algebra überhaupt
> sein und [mm]\{\emptyset,\Omega\}[/mm] die kleinste?
Ja, so ist es.
(Genauer: Für jede Sigma-Algebra $F$ auf [mm] $\Omega$ [/mm] gilt [mm] $\{\emptyset,\Omega\}\subseteq F\subseteq P(\Omega)$.)
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:08 Mo 06.10.2014 | | Autor: | James90 |
Vielen Dank Tobias!
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:51 Fr 14.11.2014 | | Autor: | James90 |
Hi Tobias! Ich muss das wieder hier aufgreifen, sorry....
> > Ein Mengensystem F auf [mm]\Omega\not=\emptyset[/mm] heißt Sigma-Algebra, falls gelten:
> > 1) [mm]\Omega\in F[/mm]
> > 2) [mm]A\in F[/mm], so gilt auch [mm]A^c\in F[/mm]
> > 3) [mm](A_n)\in F[/mm], so gilt auch [mm]\bigcup_{n\in\IN}A_n\in F[/mm]
Ist eigentlich die Schreibweise [mm] $A_n\in [/mm] F$ in Ordnung? Ich meine damit nicht die Vernachlässigung der Klammern. Müsste man nicht schreiben "Sei [mm] A_n [/mm] eine Folge in F mit [mm] $A_n\in [/mm] F$ für alle [mm] n\in\IN".
[/mm]
> > Wenn dem so ist, dann verstehe ich die erste Voraussetzung
> > nicht. Denn aus 1) und 2) folgt [mm]\Omega\in F[/mm] und damit
> > [mm]\Omega^c=\Omega\setminus\Omega=\emptyset\in F[/mm]. Reicht nicht
> > [mm]\emptyset\in F[/mm] als Voraussetzung?
> Bedingung (1) und (2) implizieren in der Tat [mm]\emptyset\in F[/mm],
> aber umgekehrt impliziert [mm]\emptyset\in F[/mm] noch lange nicht
> Bedingung (2), die [mm]A^c\in F[/mm] für ALLE [mm]A\in F[/mm] (nicht nur
> für [mm]A=\Omega[/mm]) fordert.
Ja, aber ich meinte eigentlich, dass wir dann doch die erste Voraussetzung, also [mm] $\Omega\in [/mm] F$, ersetzen könnten durch [mm] $\emptyset\in [/mm] F$. Also vielleicht so
Ein Mengensystem F auf [mm]\Omega\not=\emptyset[/mm] heißt Sigma-Algebra, falls gelten:
1) [mm]\emptyset\in F[/mm]
2) [mm]A\in F[/mm], so gilt auch [mm]A^c\in F[/mm]
3) [mm](A_n)\in F[/mm], so gilt auch [mm]\bigcup_{n\in\IN}A_n\in F[/mm]
Ich wollte noch zeigen, dass [mm]F:=\{\emptyset,\Omega\}.[/mm] eine Sigma-Algebra ist und habe bei der dritten Voraussetzung einen Fehler gemacht. Du hast mir dann geschrieben:
> Sei [mm](A_n)_{n\in\IN}[/mm] eine Folge von Elementen [mm]A_n\in F[/mm].
> Zu
> begründen ist nun [mm]\bigcup_{n\in\IN}A_n\in F[/mm].
> Unterscheide
> dazu folgende Fälle:
> a) [mm]A_n=\emptyset[/mm] für alle [mm]n\in\IN[/mm]
> b) [mm]A_m\not=\emptyset[/mm] für mindestens ein [mm]m\in\IN[/mm].
Danke für die Korrektur!
Zu a) Sei [mm] A_n=\emptyset [/mm] für alle [mm] n\in\IN. [/mm] Da [mm] \IN [/mm] abzählbar, vereinigen wir über abzählbar viele Mengen und damit ist die Vereinigung dieser Mengen auch abzählbar. Außerdem ist [mm] $\emptyset\cup [/mm] A=A$ für alle A und insbesondere für alle [mm] $A\in [/mm] F$ und damit auch für [mm] A=\emptyset [/mm] und somit [mm] $\bigcup_{n\in\IN}A_n=\emptyset\in [/mm] F$.
zu b) Sei [mm]A_m\not=\emptyset[/mm] für mindestens ein [mm]m\in\IN[/mm]. Dann existiert ein [mm] \tilde{m}\in\IN [/mm] mit [mm] A_{\tilde{m}}\not=\emptyset. [/mm] Offensichtlich hier [mm] A_{\tilde{m}}=\Omega, [/mm] denn [mm] F=\{\emptyset,\Omega\}. [/mm] Dann verwenden wir analog zu a) Abzählbarkeit und wegen [mm] A\cup\Omega=\Omega [/mm] für alle A und insbesondere für alle [mm] $A\in [/mm] F$ und damit auch für [mm] A=\Omega [/mm] oder [mm] A=\emptyset [/mm] folgt [mm] $\bigcup_{m\in\IN}A_m=\Omega\in [/mm] F$.
Kann ich die Argumentation mit der Abzählbarkeit weglassen? Würdest du anders argumentieren?
> > Zur Potenzmenge habe ich keine Idee. Wie kann man zeigen,
> > dass [mm]F:=P(\Omega)[/mm] eine Sigma-Algebra ist?
> 1) Wegen [mm]\Omega\subseteq\Omega[/mm] gilt [mm]\Omega\in P(\Omega)[/mm].
>
> 2) Sei [mm]A\in P(\Omega)[/mm], also [mm]A\subseteq\Omega[/mm]. Dann gilt
> auch [mm]A^c\subseteq\Omega[/mm] und damit [mm]A^c\in P(\Omega)[/mm].
>
> 3) Sei [mm](A_n)_{n\in\IN}[/mm] eine Folge von Mengen [mm]A_n\in P(\Omega)[/mm],
> also [mm]A_n\subseteq\Omega[/mm] für alle [mm]n\in\IN[/mm]. Dann folgt auch
> [mm]\bigcup_{n\in\IN}A_n\subseteq\Omega[/mm] und somit
> [mm]\bigcup_{n\in\IN}A_n\in P(\Omega)[/mm].
Sehr verständlich, danke!
> > Falls das stimmt,
> > dann müsste das doch die größte Sigma-Algebra überhaupt
> > sein und [mm]\{\emptyset,\Omega\}[/mm] die kleinste?
> Ja, so ist es.
> (Genauer: Für jede Sigma-Algebra [mm]F[/mm] auf [mm]\Omega[/mm] gilt
> [mm]\{\emptyset,\Omega\}\subseteq F\subseteq P(\Omega)[/mm].)
Okay, aber hier habe ich noch eine Frage. Wieso müssen wir [mm] \Omega\not=0 [/mm] voraussetzen? Sei [mm] \Omega=\emptyset. [/mm] Ich behaupte, dass [mm] $F=\emptyset\subseteq P(\Omega)=\{\emptyset\}$ [/mm] eine Sigma-Algebra ist.
1) [mm] $\emptyset\in [/mm] F$
2) [mm] $\emptyset^c=\emptyset\setminus\emptyset=\emptyset\in [/mm] F$
3) [mm] $\bigcup_{n\in\IN}A_n=\bigcup_{n\in\IN}\emptyset=\emptyset\in [/mm] F$ (siehe oben).
Wo ist mein Fehler?
Thanks!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:09 Fr 14.11.2014 | | Autor: | tobit09 |
> Hi Tobias! Ich muss das wieder hier aufgreifen, sorry....
Da brauchst du dich nicht für zu entschuldigen, dafür ist das Forum ja da! 
> > > Ein Mengensystem F auf [mm]\Omega\not=\emptyset[/mm] heißt
> Sigma-Algebra, falls gelten:
>
> > > 1) [mm]\Omega\in F[/mm]
> > > 2) [mm]A\in F[/mm], so gilt auch [mm]A^c\in F[/mm]
> >
> > 3) [mm](A_n)\in F[/mm], so gilt auch [mm]\bigcup_{n\in\IN}A_n\in F[/mm]
>
> Ist eigentlich die Schreibweise [mm]A_n\in F[/mm] in Ordnung? Ich
> meine damit nicht die Vernachlässigung der Klammern.
Die Klammern würde ich keinesfalls vernachlässigen.
[mm] $(A_n)$ [/mm] ist eine Kurzschreibweise für [mm] $(A_n)_{n\in\IN}$.
[/mm]
[mm] $(A_n)_{n\in\IN}\in [/mm] F$ wiederum ist eine (wörtlich genommen falsche) Kurzschreibweise für [mm] $A_n\in [/mm] F$ für alle [mm] $n\in\IN$.
[/mm]
> Müsste man nicht schreiben "Sei [mm]A_n[/mm] eine Folge in F mit
> [mm]A_n\in F[/mm] für alle [mm]n\in\IN".[/mm]
Nicht [mm] $A_n$ [/mm] soll eine Folge sein, sondern [mm] $(A_n)_{n\in\IN}$.
[/mm]
Das "in F" würde ich streichen, wenn du ohnehin [mm] "$A_n\in [/mm] F$ für alle [mm] $n\in\IN$" [/mm] ausführst.
Ich würde schreiben:
"Sei [mm] $(A_n)_{n\in\IN}$ [/mm] eine Folge mit Werten in F."
oder
"Sei [mm] $(A_n)_{n\in\IN}$ [/mm] eine Folge von Mengen [mm] $A_n\in [/mm] F$."
> Ja, aber ich meinte eigentlich, dass wir dann doch die
> erste Voraussetzung, also [mm]\Omega\in F[/mm], ersetzen könnten
> durch [mm]\emptyset\in F[/mm]. Also vielleicht so
>
> Ein Mengensystem F auf [mm]\Omega\not=\emptyset[/mm] heißt
> Sigma-Algebra, falls gelten:
>
> 1) [mm]\emptyset\in F[/mm]
> 2) [mm]A\in F[/mm], so gilt auch [mm]A^c\in F[/mm]
> 3)
> [mm](A_n)\in F[/mm], so gilt auch [mm]\bigcup_{n\in\IN}A_n\in F[/mm]
Ja, so könnte man die Definition genauso gut formulieren.
> Ich wollte noch zeigen, dass [mm]F:=\{\emptyset,\Omega\}.[/mm] eine
> Sigma-Algebra ist und habe bei der dritten Voraussetzung
> einen Fehler gemacht. Du hast mir dann geschrieben:
>
> > Sei [mm](A_n)_{n\in\IN}[/mm] eine Folge von Elementen [mm]A_n\in F[/mm].
> >
> Zu
> > begründen ist nun [mm]\bigcup_{n\in\IN}A_n\in F[/mm].
> >
> Unterscheide
> > dazu folgende Fälle:
> > a) [mm]A_n=\emptyset[/mm] für alle [mm]n\in\IN[/mm]
> > b) [mm]A_m\not=\emptyset[/mm] für mindestens ein [mm]m\in\IN[/mm].
>
> Danke für die Korrektur!
>
> Zu a) Sei [mm]A_n=\emptyset[/mm] für alle [mm]n\in\IN.[/mm] Da [mm]\IN[/mm]
> abzählbar, vereinigen wir über abzählbar viele Mengen
> und damit ist die Vereinigung dieser Mengen auch
> abzählbar.
Das stimmt. Aber wir können die Vereinigung doch ganz konkret angeben:
[mm] $\bigcup_{n\in\IN}A_n=\bigcup_{n\in\IN}\emptyset=\emptyset$.
[/mm]
Also [mm] $\bigcup_{n\in\IN}A_n\in [/mm] F$ wie gewünscht.
> Außerdem ist [mm]\emptyset\cup A=A[/mm] für alle A und
> insbesondere für alle [mm]A\in F[/mm] und damit auch für
> [mm]A=\emptyset[/mm]
> und somit [mm]\bigcup_{n\in\IN}A_n=\emptyset\in F[/mm].
Streiche die Teile mit der Abzählbarkeit der Vereinigung und mit [mm] $\emptyset\cup [/mm] A=A$ ersatzlos. Du verwendest sie ohnehin nicht.
> zu b) Sei [mm]A_m\not=\emptyset[/mm] für mindestens ein [mm]m\in\IN[/mm].
> Dann existiert ein [mm]\tilde{m}\in\IN[/mm] mit
> [mm]A_{\tilde{m}}\not=\emptyset.[/mm] Offensichtlich hier
> [mm]A_{\tilde{m}}=\Omega,[/mm] denn [mm]F=\{\emptyset,\Omega\}.[/mm]
Sehr schön!
> Dann
> verwenden wir analog zu a) Abzählbarkeit
[mm] $A_{\tilde{m}}=\Omega$ [/mm] muss doch gar nicht abzählbar sein.
Das benötigst du aber ohnehin nicht.
> und wegen
> [mm]A\cup\Omega=\Omega[/mm] für alle A und insbesondere für alle
> [mm]A\in F[/mm] und damit auch für [mm]A=\Omega[/mm] oder [mm]A=\emptyset[/mm] folgt
> [mm]\bigcup_{m\in\IN}A_m=\Omega\in F[/mm].
[mm] $\bigcup_{m\in\IN}A_m=\Omega$ [/mm] ist der entscheidende Punkt.
Wie dir dazu [mm] $\Omega\cup A=\Omega$ [/mm] für alle [mm] $A\in [/mm] F$ weiterhilft, sehe ich aber nicht.
Falls man [mm] $\bigcup_{m\in\IN}A_m=\Omega$ [/mm] wirklich näher begründen möchte, würde ich [mm] $\bigcup_{m\in\IN}A_m\subseteq\Omega$ [/mm] und [mm] $\bigcup_{m\in\IN}A_m\supseteq\Omega$ [/mm] separat begründen.
> Kann ich die Argumentation mit der Abzählbarkeit
> weglassen?
Ja.
> Würdest du anders argumentieren?
Nicht wirklich anders, sondern pointierter.
> Okay, aber hier habe ich noch eine Frage. Wieso müssen wir
> [mm]\Omega\not=0[/mm] voraussetzen?
Müssen wir gar nicht.
Wenn nichts von [mm] $\Omega\not=\emptyset$ [/mm] in der Definition stände, gäbe es eben auch eine Sigma-Algebra auf der leeren Menge.
Der Autor deiner Definition hat sich aber dafür entschieden, nur gewisse Mengensysteme über NICHTLEEREN Mengen als Sigma-Algebren zu bezeichnen.
Solange wir uns nach seiner Definition richten, gibt es eben PER DEFINITION keine Sigma-Algebra über der leeren Menge.
> Sei [mm]\Omega=\emptyset.[/mm] Ich
> behaupte, dass [mm]F=\emptyset\subseteq P(\Omega)=\{\emptyset\}[/mm]
> eine Sigma-Algebra ist.
Du meinst sicherlich [mm] $F=\{\emptyset\}$, [/mm] nicht [mm] $F=\emptyset$.
[/mm]
> 1) [mm]\emptyset\in F[/mm]
> 2)
> [mm]\emptyset^c=\emptyset\setminus\emptyset=\emptyset\in F[/mm]
> 3)
> [mm]\bigcup_{n\in\IN}A_n=\bigcup_{n\in\IN}\emptyset=\emptyset\in F[/mm]
> (siehe oben).
>
> Wo ist mein Fehler?
Gar keiner. Du hast korrekt bewiesen, dass [mm] $F=\{\emptyset\}$ [/mm] für [mm] $\Omega=\emptyset$ [/mm] den Bedingungen 1), 2) und 3) genügt.
Lediglich PER DEFINITIONEM ist F nach eurer Definition trotzdem keine Sigma-Algebra.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:26 Fr 14.11.2014 | | Autor: | James90 |
> > Ist eigentlich die Schreibweise [mm]A_n\in F[/mm] in Ordnung?
> Die Klammern würde ich keinesfalls vernachlässigen.
> [mm](A_n)[/mm] ist eine Kurzschreibweise für [mm](A_n)_{n\in\IN}[/mm].
In Analysis kürzen wir auch immer [mm] (a_n)_{n\in\IN} [/mm] mit [mm] a_n [/mm] ab. Finde ich ehrlich gesagt auch nicht in Ordnung, aber man gewöhnt sich leider auch sehr schnell die Kurzschreibweise an. Dann wird ganz schnell aus [mm] (a_n)_{n\in\IN} [/mm] einfach [mm] (a_n)_n, [/mm] dann [mm] (a_n) [/mm] und dann [mm] a_n.
[/mm]
> [mm](A_n)_{n\in\IN}\in F[/mm] wiederum ist eine (wörtlich genommen
> falsche) Kurzschreibweise für [mm]A_n\in F[/mm] für alle [mm]n\in\IN[/mm].
Okay, also ist das eigentlich nicht korrekt, aber diese Schreibweise wird trotzdem benutzt. Habe ich das richtig verstanden?
> > Müsste man nicht schreiben "Sei [mm]A_n[/mm] eine Folge in F mit
> > [mm]A_n\in F[/mm] für alle [mm]n\in\IN".[/mm]
> Nicht [mm]A_n[/mm] soll eine Folge sein, sondern [mm](A_n)_{n\in\IN}[/mm].
>
> Das "in F" würde ich streichen, wenn du ohnehin "[mm]A_n\in F[/mm]
> für alle [mm]n\in\IN[/mm]" ausführst.
>
> Ich würde schreiben:
>
> "Sei [mm](A_n)_{n\in\IN}[/mm] eine Folge mit Werten in F."
>
> oder
>
> "Sei [mm](A_n)_{n\in\IN}[/mm] eine Folge von Mengen [mm]A_n\in F[/mm]."
Würde man hier noch "genauer" schreiben "Sei [mm](A_n)_{n\in\IN}[/mm] eine Folge von Mengen [mm]A_n\in F[/mm] für alle [mm] n\in\IN."?
[/mm]
Oder vielleicht sowas wie "Sei [mm](A_n)_{n\in\IN}[/mm] eine Folge von Mengen [mm]A_n\in F[/mm] mit/(,wobei) [mm] n\in\IN."?
[/mm]
> [mm]\bigcup_{m\in\IN}A_m=\Omega[/mm] ist der entscheidende Punkt.
Okay, ich probiere mein Glück noch einmal. :)
Vorüberlegung: Sei [mm] \Omega\not=\emptyset [/mm] und [mm] $F\subseteq P(\Omega)$ [/mm] ein Mengensystem auf [mm] \Omega. [/mm] Dann gilt: [mm] $A\in F\Rightarrow A\in P(\Omega)\Rightarrow A\subseteq\Omega\Rightarrow A\cup\Omega=\Omega\quad\forall A\in [/mm] F$.
Zurück zur Aufgabe
Sei [mm]A_m\not=\emptyset[/mm] für mindestens ein [mm]m\in\IN[/mm]. Dann existiert ein [mm] \tilde{m}\in\IN [/mm] mit [mm] A_{\tilde{m}}\not=\emptyset. [/mm] Offensichtlich hier [mm] A_{\tilde{m}}=\Omega, [/mm] denn [mm] F=\{\emptyset,\Omega\}.
[/mm]
z.z. [mm] $\bigcup_{m\in\IN}A_m=\Omega\in [/mm] F$. Beweis: [mm] $\bigcup_{m\in\IN}A_m=A_{\tilde{m}}\cup\bigcup_{m\in\IN\setminus\{\tilde{m}\}}A_m=\Omega\cup\bigcup_{m\in\IN\setminus\{\tilde{m}\}}A_m=\Omega\in [/mm] F$.
Nach meinem Beweis oben folgt die Behauptung.
> Falls man [mm]\bigcup_{m\in\IN}A_m=\Omega[/mm] wirklich näher
> begründen möchte, würde ich
> [mm]\bigcup_{m\in\IN}A_m\subseteq\Omega[/mm] und
> [mm]\bigcup_{m\in\IN}A_m\supseteq\Omega[/mm] separat begründen.
Ich würde das zwei Mal mit einem Widerspruchsbeweis machen. Die Argumentation basiert dann aber wieder nach obigem Schema. Geht das vielleicht anders?
Vielen Dank für die Korrekturen!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:19 Fr 14.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > > Ist eigentlich die Schreibweise [mm]A_n\in F[/mm] in Ordnung?
>
> > Die Klammern würde ich keinesfalls vernachlässigen.
> > [mm](A_n)[/mm] ist eine Kurzschreibweise für [mm](A_n)_{n\in\IN}[/mm].
>
> In Analysis kürzen wir auch immer [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm] mit [mm]a_n[/mm]
> ab. Finde ich ehrlich gesagt auch nicht in Ordnung, aber
> man gewöhnt sich leider auch sehr schnell die
> Kurzschreibweise an. Dann wird ganz schnell aus
> [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm] einfach [mm](a_n)_n,[/mm] dann [mm](a_n)[/mm] und dann [mm]a_n.[/mm]
>
> > [mm](A_n)_{n\in\IN}\in F[/mm] wiederum ist eine (wörtlich genommen
> > falsche) Kurzschreibweise für [mm]A_n\in F[/mm] für alle [mm]n\in\IN[/mm].
>
> Okay, also ist das eigentlich nicht korrekt, aber diese
> Schreibweise wird trotzdem benutzt. Habe ich das richtig
> verstanden?
ich habe sie so - ehrlich gesagt - zum Glück noch nicht gesehen und würde
sie auch nicht benutzen.
> > > Müsste man nicht schreiben "Sei [mm]A_n[/mm] eine Folge in F mit
> > > [mm]A_n\in F[/mm] für alle [mm]n\in\IN".[/mm]
Besser: Sei [mm] $(A_n)_n$ [/mm] eine Folge in [mm] $F\,$ [/mm] (das impliziert schon, dass alle [mm] $A_n \in [/mm] F$
sind).
Oder Du sagst: Sei [mm] $(A_n)$ [/mm] eine Folge mit [mm] $A_n \in [/mm] F$ für alle $n [mm] \in \IN\,.$
[/mm]
Bei Deiner Sprechweise oben ist das doppelt gemoppelt!
> > Nicht [mm]A_n[/mm] soll eine Folge sein, sondern
> [mm](A_n)_{n\in\IN}[/mm].
> >
> > Das "in F" würde ich streichen, wenn du ohnehin "[mm]A_n\in F[/mm]
> > für alle [mm]n\in\IN[/mm]" ausführst.
> >
> > Ich würde schreiben:
> >
> > "Sei [mm](A_n)_{n\in\IN}[/mm] eine Folge mit Werten in F."
> >
> > oder
> >
> > "Sei [mm](A_n)_{n\in\IN}[/mm] eine Folge von Mengen [mm]A_n\in F[/mm]."
>
> Würde man hier noch "genauer" schreiben "Sei
> [mm](A_n)_{n\in\IN}[/mm] eine Folge von Mengen [mm]A_n\in F[/mm] für alle
> [mm]n\in\IN."?[/mm]
Kann man - muss man aber nicht. Wenn es Dir aber hilft, besser durchzublicken,
ist das okay.
> Oder vielleicht sowas wie "Sei [mm](A_n)_{n\in\IN}[/mm] eine Folge
> von Mengen [mm]A_n\in F[/mm] mit/(,wobei) [mm]n\in\IN."?[/mm]
Für Mengen [mm] $X,Y\,$ [/mm] schreibe
[mm] $X^Y:=\{f \colon Y \to X \mid f \text{ ist eine Abbildung}\}\,.$
[/mm]
Dann kannst Du jede Folge [mm] $(x_n)_{n \in \IN}$ [/mm] mit Werten in [mm] $X\,$ [/mm] mit einem
$x [mm] \in X^{\IN}$
[/mm]
identifizieren.
Nebenbei: Hast Du eine Idee, wie man damit etwa den [mm] $\IR^3$ [/mm] auch auffassen
könnte?
Aber damit zurück: Wenn wir also eine Folge [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] in [mm] $\IC$ [/mm] haben, so
identifizieren wir diese mit
$a [mm] \in \IC^{\IN}\,,$
[/mm]
wobei $a [mm] \colon \IN \to \IC$ [/mm] mit [mm] $a(n)=a_n$ [/mm] gegeben ist.
Genaugenommen wird oft auch definiert: Eine Abbildung $a [mm] \colon \IN \to \IC$ [/mm] nennen
wir eine Folge in [mm] $\IC\,,$ [/mm] und mit
[mm] $a_n:=a(n)$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN$
[/mm]
schreiben wir [mm] $a\,$ [/mm] auch als [mm] $(a_n)_{n \in \IN}\,.$
[/mm]
In diesem Sinne ist dann sogar [mm] $a=(a_n)_{n \in \IN} \in \IC^{\IN}\,.$
[/mm]
P.S. Generelles Stichwort:
![[]](/images/popup.gif) kartesisches Produkt
(Du kannst in dem ink auch erstmal bei den *spezielleren Fällen* bleiben.)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:32 Sa 15.11.2014 | | Autor: | James90 |
Hi Marcel, vielen Dank für deinen Input!
> > > [mm](A_n)_{n\in\IN}\in F[/mm] wiederum ist eine (wörtlich genommen
> > > falsche) Kurzschreibweise für [mm]A_n\in F[/mm] für alle [mm]n\in\IN[/mm].
> >
> > Okay, also ist das eigentlich nicht korrekt, aber diese
> > Schreibweise wird trotzdem benutzt. Habe ich das richtig
> > verstanden?
>
> ich habe sie so - ehrlich gesagt - zum Glück noch nicht
> gesehen und würde
> sie auch nicht benutzen.
Dann werde ich sie auch nicht mehr benutzen.
> Für Mengen [mm]X,Y\,[/mm] schreibe
>
> [mm]X^Y:=\{f \colon Y \to X \mid f \text{ ist eine Abbildung}\}\,.[/mm]
>
> Dann kannst Du jede Folge [mm](x_n)_{n \in \IN}[/mm] mit Werten in
> [mm]X\,[/mm] mit einem
>
> [mm]x \in X^{\IN}[/mm]
Nicht [mm] x_n\in X^{\IN}?
[/mm]
> identifizieren.
Diese Definition habe ich bislang noch nicht gesehen. Ich finde sie cool. Das zeigt auch das Beispiel.
Wenn also [mm] a_n=\frac{1}{n}, [/mm] dann kann ich sagen [mm] a_n\in(0,1]^{\IN}. [/mm] Der Wertebereich ist eigentlich egal, also könnte ich sogar allgemein für eine reellwertige Folge [mm] a_n [/mm] sagen [mm] a_n\in\IR^{\IN}. [/mm] Ist das richtig?
> Nebenbei: Hast Du eine Idee, wie man damit etwa den [mm]\IR^3[/mm]
> auch auffassen
> könnte?
[mm] \IR^3=\IR\times\IR\times\IR=\{(a,b,c)\in\IR^3\mid a,b,c\in\IR\} [/mm] oder [mm] \IR^3=\IR\times\IR\times\IR=\{(a,b,c)\mid a,b,c\in\IR\} [/mm] ??
Sagen wir ich nehme [mm] x:=(1,2,3)^T\in\IR^3. [/mm] Hmmmmmm, dann vielleicht [mm] x\in{\IR^3}^{\IR^3} [/mm] ??
> Aber damit zurück: Wenn wir also eine Folge [mm](a_n)_{n \in \IN}[/mm]
> in [mm]\IC[/mm] haben, so
> identifizieren wir diese mit
>
> [mm]a \in \IC^{\IN}\,,[/mm]
>
> wobei [mm]a \colon \IN \to \IC[/mm] mit [mm]a(n)=a_n[/mm] gegeben ist.
>
> Genaugenommen wird oft auch definiert: Eine Abbildung [mm]a \colon \IN \to \IC[/mm]
> nennen
> wir eine Folge in [mm]\IC\,,[/mm] und mit
>
> [mm]a_n:=a(n)[/mm] für alle [mm]n \in \IN[/mm]
>
> schreiben wir [mm]a\,[/mm] auch als [mm](a_n)_{n \in \IN}\,.[/mm]
>
> In diesem Sinne ist dann sogar [mm]a=(a_n)_{n \in \IN} \in \IC^{\IN}\,.[/mm]
Stimmt, Folgen sind Abbildungen. Damit kann ich sogar [mm] a_n\in\IC^{\IN} [/mm] zu [mm] a\in\IC^{\IN} [/mm] abkürzen.
Dann erübrigt sich meine erste und zweite Frage von davor auch. :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:29 Sa 15.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hi Marcel, vielen Dank für deinen Input!
>
> > > > [mm](A_n)_{n\in\IN}\in F[/mm] wiederum ist eine (wörtlich genommen
> > > > falsche) Kurzschreibweise für [mm]A_n\in F[/mm] für alle [mm]n\in\IN[/mm].
> > >
> > > Okay, also ist das eigentlich nicht korrekt, aber diese
> > > Schreibweise wird trotzdem benutzt. Habe ich das richtig
> > > verstanden?
> >
> > ich habe sie so - ehrlich gesagt - zum Glück noch nicht
> > gesehen und würde
> > sie auch nicht benutzen.
>
> Dann werde ich sie auch nicht mehr benutzen.
>
> > Für Mengen [mm]X,Y\,[/mm] schreibe
> >
> > [mm]X^Y:=\{f \colon Y \to X \mid f \text{ ist eine Abbildung}\}\,.[/mm]
>
> >
> > Dann kannst Du jede Folge [mm](x_n)_{n \in \IN}[/mm] mit Werten in
> > [mm]X\,[/mm] mit einem
> >
> > [mm]x \in X^{\IN}[/mm]
>
> Nicht [mm]x_n\in X^{\IN}?[/mm]
>
> > identifizieren.
nein, dann wäre doch strenggenommen
[mm] $x_n \colon \IN \to X\,,$
[/mm]
also [mm] $x_n=(x_n)_k$ [/mm] mit [mm] $((x_n)_k)_k \in X\,.$
[/mm]
> Diese Definition habe ich bislang noch nicht gesehen. Ich
> finde sie cool. Das zeigt auch das Beispiel.
>
> Wenn also [mm]a_n=\frac{1}{n},[/mm] dann kann ich sagen
> [mm]a_n\in(0,1]^{\IN}.[/mm]
Du solltest [mm] $(a_n) \in (0,1]^{\IN}$ [/mm] sagen. Auch, wenn manche [mm] $a_n$ [/mm] mit [mm] $(a_n)$
[/mm]
identifizieren, in diesem Zusammenhang wird das sonst absolut undurchschaubar.
> Der Wertebereich ist eigentlich egal,
> also könnte ich sogar allgemein für eine reellwertige
> Folge [mm]a_n[/mm] sagen [mm]a_n\in\IR^{\IN}.[/mm] Ist das richtig?
Ja, aber egal ist das nicht. [mm] $(a_n) \in X^{\IN}$ [/mm] bedeutet, dass [mm] $(a_n)$ [/mm] eine Folge
mit Werten in [mm] $X\,$ [/mm] ist!
> > Nebenbei: Hast Du eine Idee, wie man damit etwa den [mm]\IR^3[/mm]
> > auch auffassen
> > könnte?
>
> [mm]\IR^3=\IR\times\IR\times\IR=\{(a,b,c)\in\IR^3\mid a,b,c\in\IR\}[/mm]
> oder [mm]\IR^3=\IR\times\IR\times\IR=\{(a,b,c)\mid a,b,c\in\IR\}[/mm]
> ??
??? Du kannst generell [mm] $\IR^3$ [/mm] also [mm] $\IR^M$ [/mm] mit $|M|=3$ identifizieren - etwa
[mm] $\IR^3=\IR^{1,2,3}\,.$ [/mm] Warum?
> Sagen wir ich nehme [mm]x:=(1,2,3)^T\in\IR^3.[/mm] Hmmmmmm, dann
> vielleicht [mm]x\in{\IR^3}^{\IR^3}[/mm] ??
>
> > Aber damit zurück: Wenn wir also eine Folge [mm](a_n)_{n \in \IN}[/mm]
> > in [mm]\IC[/mm] haben, so
> > identifizieren wir diese mit
> >
> > [mm]a \in \IC^{\IN}\,,[/mm]
> >
> > wobei [mm]a \colon \IN \to \IC[/mm] mit [mm]a(n)=a_n[/mm] gegeben ist.
> >
> > Genaugenommen wird oft auch definiert: Eine Abbildung [mm]a \colon \IN \to \IC[/mm]
> > nennen
> > wir eine Folge in [mm]\IC\,,[/mm] und mit
> >
> > [mm]a_n:=a(n)[/mm] für alle [mm]n \in \IN[/mm]
> >
> > schreiben wir [mm]a\,[/mm] auch als [mm](a_n)_{n \in \IN}\,.[/mm]
> >
> > In diesem Sinne ist dann sogar [mm]a=(a_n)_{n \in \IN} \in \IC^{\IN}\,.[/mm]
>
> Stimmt, Folgen sind Abbildungen. Damit kann ich sogar
> [mm]a_n\in\IC^{\IN}[/mm] zu [mm]a\in\IC^{\IN}[/mm] abkürzen.
Nochmal: [mm] $a_n$ [/mm] bedeutet EIGENTLICH das n-te Folgenglied. Da es Folgen von
Folgen gibt, sollte man [mm] $a_n \in \IC^{\IN}$ [/mm] nicht schreiben, wenn man [mm] $(a_n) \in \IC^{\IN}$
[/mm]
meint (genaugenommen [mm] $(a_n)_{n \in \IN} \in \IC^{\IN}$).
[/mm]
> Dann erübrigt sich meine erste und zweite Frage von davor auch. :)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:21 So 16.11.2014 | | Autor: | James90 |
Danke für deine Erklärung! Ich habe die vorgeschlagene Notation soweit verstanden und ich finde sie auch ziemlich gut, aber ob ich sie verwenden werde wird sich zeigen.
> > > Nebenbei: Hast Du eine Idee, wie man damit etwa den [mm]\IR^3[/mm]
> > > auch auffassen
> > > könnte?
> >
> > [mm]\IR^3=\IR\times\IR\times\IR=\{(a,b,c)\in\IR^3\mid a,b,c\in\IR\}[/mm]
> > oder [mm]\IR^3=\IR\times\IR\times\IR=\{(a,b,c)\mid a,b,c\in\IR\}[/mm]
> > ??
Ich wusste nicht ob [mm] \IR^3=\{(a,b,c)\in\IR^3\mid a,b,c\in\IR\} [/mm] oder [mm] \IR^3=\IR\times\IR\times\IR=\{(a,b,c)\mid a,b,c\in\IR\} [/mm] richtig ist. Ich denke letzteres.
> ??? Du kannst generell [mm]\IR^3[/mm] also [mm]\IR^M[/mm] mit [mm]|M|=3[/mm]
> identifizieren - etwa
> [mm]\IR^3=\IR^{1,2,3}\,.[/mm] Warum?
|M|=3 heißt, dass M aus 3 Elementen besteht. Beispiel: [mm] M=\{1,2,3\}.
[/mm]
Ich sehe aber hier wirklich nicht was du mir damit vermitteln willst.
> > Sagen wir ich nehme [mm]x:=(1,2,3)^T\in\IR^3.[/mm] Hmmmmmm, dann
> > vielleicht [mm]x\in{\IR^3}^{\IR^3}[/mm] ??
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:32 So 16.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
direkt vorweg: ganz am Ende schreibe ich noch etwas blaumarkiertes, was
vielleicht für's bessere Verständnis her auch direkt gelesen werden könnte!
> Danke für deine Erklärung! Ich habe die vorgeschlagene
> Notation soweit verstanden und ich finde sie auch ziemlich
> gut, aber ob ich sie verwenden werde wird sich zeigen.
>
> > > > Nebenbei: Hast Du eine Idee, wie man damit etwa den [mm]\IR^3[/mm]
> > > > auch auffassen
> > > > könnte?
> > >
> > > [mm]\IR^3=\IR\times\IR\times\IR=\{(a,b,c)\in\IR^3\mid a,b,c\in\IR\}[/mm]
> > > oder [mm]\IR^3=\IR\times\IR\times\IR=\{(a,b,c)\mid a,b,c\in\IR\}[/mm]
> > > ??
>
> Ich wusste nicht ob [mm]\IR^3=\{(a,b,c)\in\IR^3\mid a,b,c\in\IR\}[/mm]
> oder [mm]\IR^3=\IR\times\IR\times\IR=\{(a,b,c)\mid a,b,c\in\IR\}[/mm]
> richtig ist. Ich denke letzteres.
Das verstehe ich nicht. Beides ist korrekt, die zweite Notation finde ich hier
sogar besser, weil die erste ein wenig *wie ein Kreisschluss* wirkt. (Wenn
[mm] $\IR^3$ [/mm] noch nicht bekannt ist, wie soll man dann [mm] $\{(a,b,c) \in \IR^3 \mid ...\}$ [/mm] verstehen können?)
Generell sollte man aber sowas wie in der ersten schreiben, wenn man
Teilmengen des [mm] $\IR^3$ [/mm] hat:
[mm] $\{(a,b,c) \in \IR^3 \mid a^2+b^2+c^2=1\}$
[/mm]
zeigt deutlich, dass es hier um eine Teilmenge des [mm] $\IR^3$ [/mm] geht, das sieht man
sofort am Anfang.
Bei
[mm] $\{(a,b,c)\mid a^2+b^2+c^2=1; a,b,c, \in \IR\}$
[/mm]
sieht man das erst am Ende... Aber das ist rein didaktisch.
> > ??? Du kannst generell [mm]\IR^3[/mm] also [mm]\IR^M[/mm] mit [mm]|M|=3[/mm]
> > identifizieren - etwa
> > [mm]\IR^3=\IR^{1,2,3}\,.[/mm] Warum?
>
> |M|=3 heißt, dass M aus 3 Elementen besteht. Beispiel:
> [mm]M=\{1,2,3\}.[/mm]
>
> Ich sehe aber hier wirklich nicht was du mir damit
> vermitteln willst.
>
> > > Sagen wir ich nehme [mm]x:=(1,2,3)^T\in\IR^3.[/mm] Hmmmmmm, dann
> > > vielleicht [mm]x\in{\IR^3}^{\IR^3}[/mm] ??
Nein. In der Notation
[mm] $\IR^{\{1,2,3\}}$
[/mm]
hat die "potenzierte Menge" doch nichts mit den Tupeln zu tun, außer, dass
sie deren Länge bestimmt.
Machen wir's mal so: Du würdest "normalerweise" etwa
[mm] $\IR^3=\{(a,b,c) \mid a,b,c \in \IR\}$
[/mm]
schreiben.
Nun ist für [mm] $M=\{m_1,m_2,m_3\}$ [/mm] mit paarweise verschiedenen [mm] $m_1,m_2,m_3$
[/mm]
[mm] $\IR^M=\{f \colon M=\{m_1,m_2,m_3\} \to \IR\}\,.$
[/mm]
Ich sage Dir jetzt: Jeden Vektor [mm] $\textbf{v}=(x,y,z) \in \IR^3$ [/mm] kannst Du mit genau
einem $v [mm] \in \IR^M$ [/mm] identifizieren:
Wir betrachten $T [mm] \colon \IR^3 \to \IR^M$ [/mm] definiert wie folgt:
Ist [mm] $\textbf{v} \in \IR^3\,,$ [/mm] so gibt es eindeutig bestimmte $x,y,z [mm] \in \IR$ [/mm] mit
[mm] $\textbf{v}=(x,y,z)\,.$
[/mm]
Wir setzen
$v [mm] \colon [/mm] M [mm] \to \IR$ [/mm] fest durch
[mm] $v(m_1):=x\,,$ $v(m_2):=y$ [/mm] und [mm] $v(m_3):=z\,.$
[/mm]
Dann ist mit [mm] ($\textbf{v}$ [/mm] und [mm] $v\,$ [/mm] wie oben - beachte, dass [mm] $v\,$ [/mm] von [mm] $\textbf{v}$ [/mm] abhängt!)
$T [mm] \colon \IR^3 \longrightarrow \IR^M\,,$ $\IR^3 \ni \textbf{v} \longmapsto T(\textbf{v}):=v$
[/mm]
eine wohldefinierte, bijektive Abbildung definiert. (Beweis?)
Bevor man sich das Ganze "theoretisch" klarmacht (zumal das manchmal
auch so, wie es oben steht, gar nicht nötig ist, da manche auch direkt
[mm] $\IR^n:=\IR^{\{1,...,n\}}$ [/mm] setzen, und damit wird das alles nochmal etwas einfacher):
Wie funktioniert das denn nun?
Nunja: Wenn ich mir etwa
[mm] $\textbf{v}=(1,4,9) \in \IR^3$
[/mm]
anschaue:
Ich definiere mir dann
[mm] $v(m_1)=1\,,$ $v(m_2)=4$ [/mm] und [mm] $v(m_3)=9\,,$
[/mm]
wobei $v [mm] \colon M=\{m_1,m_2,m_3\} \to \IR$ [/mm] sein soll (nachgucken: okay, wegen [mm] $\{1,4,9\} \subseteq \IR$
[/mm]
kann ich das stehenlassen!)
Dann identifiziere ich
[mm] $\textbf{v} \in \IR^3$ [/mm] also mit diesem $v [mm] \in \IR^M\,,$ [/mm] wobei [mm] $M=\{m_1,m_2,m_3\}$ [/mm] und [mm] $|M|=3\,.$
[/mm]
Also: Ich finde schonmal für $(1,4,9)$ eine passende Abbildung in [mm] $\IR^M\,.$
[/mm]
Das Umgekehrte ist aber auch interessant: Wenn ich mir ein $w [mm] \in \IR^M$ [/mm] vorgebe,
finde ich dann dazu auch "ein passendes [mm] $\textbf{w} \in \IR^3$"?
[/mm]
Nunja, auch hier wieder erstmal der Test mit einem konlreten Beispiel: Geben
wir uns mal ein konkretes
$w [mm] \in \IR^M$
[/mm]
vor, sei etwa $w [mm] \colon [/mm] M [mm] \to \IR$ [/mm] definiert durch [mm] $w(m_1)=2\,,$ $w(m_2)=\pi$ [/mm] und [mm] $w(m_3)=1.124234\,.$
[/mm]
Dann schreiben wir
[mm] $\textbf{w}:=(w(m_1),w(m_2),w(m_3))=(2,\pi,1.124234)$
[/mm]
und haben damit *ein zu [mm] $w\in \IR^M$ [/mm] passendes Gegenstück in [mm] $\IR^3$*
[/mm]
gefunden.
Übrigens ist obiges [mm] $T\,$ [/mm] (das grob gesagt folgendes macht: Ist in der Aufzählung
von [mm] $M\,$ [/mm] das Element [mm] $m=m_j$ [/mm] das [mm] $j\,$-te [/mm] Element von [mm] $M\,,$ [/mm] so definieren wir
den Funktionswert [mm] $v(m)=v(m_j)$ [/mm] als die [mm] $j\,$-te [/mm] Komponente von [mm] $\textbf{v} \in \IR^3$ [/mm] - Du
siehst auch schon hier: Die Abzählung von [mm] $M\,$ [/mm] kann auch anders aussehen!)
nicht eindeutig.
Ich hätte auch etwa die bijektive Abbildung
$S [mm] \colon \IR^3 \to \IR^M$
[/mm]
mit [mm] $\IR^3 \ni \textbf{v}=(x,y,z) \longmapsto S(\textbf{v}):=\tilde{v}$ [/mm] mit
[mm] $\tilde{v} \colon M=\{m_1,m_2,m_3\} \longrightarrow \IR$
[/mm]
definiert durch
[mm] $\tilde{v}(m_1):=y\,,$ $\tilde{v}(m_2):=x$ [/mm] und [mm] $\tilde{v}(m_3):=z$
[/mm]
angeben können, um [mm] $\IR^3 \cong \IR^M=\IR^{\{m_1,m_2,m_3\}}$ [/mm] zu beweisen.
Die Abbildung [mm] $T\,$ [/mm] ist aber sicher *am Naheliegendsten*.
Wie oben angekündigt nun eine einfache Minimaldemonstration, in dem
wir [mm] $M=\{1,2,3\}$ [/mm] betrachten und *die damit Naheliegendste* Identifikation zwischen
[mm] $\IR^3$ [/mm] und [mm] $\IR^{\{1,2,3\}}$ [/mm] illustrieren, und zwar, indem wir von [mm] $\IR^{\{1,2,3\}}$ [/mm] ausgehen:
Ein Element $v [mm] \in \IR^{\{1,2,3\}}$ [/mm] ist eine Abbildung
$v [mm] \colon \{1,2,3\} \to \IR\,,$
[/mm]
die durch ihre (reellwertigen) Funktionswerte [mm] $v(1)\,,$ $v(2)\,$ [/mm] und [mm] $v(3)\,$
[/mm]
eindeutig bestimmt ist.
Schreiben wir [mm] $x:=v(1)\,,$ $y:=v(2)\,$ [/mm] und [mm] $z:=v(3)\,,$ [/mm] so wird durch
[mm] $\textbf{v}:=(x,y,z) \in \IR^3$
[/mm]
ein eindeutig bestimmtes passendes Gegenstück zu [mm] $v\,$ [/mm] im [mm] $\IR^3$ [/mm] definiert:
1. Die Definition zeigt, dass es ein Gegenstück gibt.
2. Da Funktionen $v,w [mm] \colon \{1,2,3\} \to \IR$ [/mm] genau dann nicht gleich sind, wenn
an einer Stelle aus [mm] $\{1,2,3\}$ [/mm] der zugehörige Funktionswert von [mm] $v\,$ [/mm] mit dem
von [mm] $w\,$ [/mm] verschieden ist, kann es auch höchstens ein Gegenstück geben.
3. Vermöge
[mm] $v(1):=x\,,$ [/mm] $v(2):=y$ und $v(3):=z$ mit $v [mm] \colon \{1,2,3\} \to \IR$
[/mm]
für [mm] $\textbf{v}=(x,y,z) \in \IR^3$ [/mm] sehen wir, dass auch jedes [mm] $\textbf{v}=(x,y,z) \in \IR^3$
[/mm]
Gegenstück einer Abbildung $v [mm] \in \IR^{\{1,2,3\}}$ [/mm] ist.
Und jetzt "das Tolle" an dieser Sache: Du weißt sicherlich, dass man gerne
[mm] $\textbf{v}=(v_1,v_2,v_3)$ [/mm] für [mm] $\textbf{v} \in \IR^3$
[/mm]
schreibt. Genausogut könntest Du auch
[mm] $\textbf{v}=(v(1),v(2),v(3))$
[/mm]
schreiben - dann würdest Du quasi direkt [mm] $\textbf{v}$ [/mm] und [mm] $v\,$ [/mm] *verwurschteln*,
aber mit dem letztgenannten, *naheliegendsten* Zusammenhang. Die letzte
Notation ist aber alleine schon wegen der Klammernanzahl unschön, aber
wenn Du nun
[mm] $v_k:=v(k)$ [/mm] für $k=1,2,3$
definierst, dann hat man dennoch diese *Verwurschtelung*, d.h., man weiß
dann, wie der [mm] $\IR^3$-Vektor [/mm] mit der [mm] $\IR^{\{1,2,3\}}$-Abbildung [/mm] zusammenhängen soll!
P.S. Tupel bzw. Vektoren habe ich hier extra fett geschrieben, weil ich die
Abbildungen quasi mit dem gleichen Symbol bezeichne, diese aber nicht
fettgedruckt sind. Da es ja quasi darum geht, sich klarzumachen, dass
diese Identifikation zwischen einem Tupel und *der* zugehörigen Abbildung
möglich ist, muss ich irgendeine Art der Unterscheidung treffen. Jetzt,
nachdem dies hoffentlich klar(er) ist, kann man auf sie verzichten und
dann kann man auch [mm] $x=(x_1,x_2,x_3) \in \IR^3$ [/mm] anstatt [mm] $\textbf{x}=(x_1,x_2,x_3) \in \IR^3$
[/mm]
schreiben, was so ja auch gemacht wird...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:49 So 16.11.2014 | | Autor: | James90 |
Vielen Dank für deine Erklärung. Das muss ich mir in aller Ruhe genauer angucken. Die eine oder andere Frage kommt dann aber bestimmt wieder. ;)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:23 Sa 15.11.2014 | | Autor: | tobit09 |
> > [mm]\bigcup_{m\in\IN}A_m=\Omega[/mm] ist der entscheidende Punkt.
>
> Okay, ich probiere mein Glück noch einmal. :)
>
> Vorüberlegung: Sei [mm]\Omega\not=\emptyset[/mm] und [mm]F\subseteq P(\Omega)[/mm]
> ein Mengensystem auf [mm]\Omega.[/mm] Dann gilt: [mm]A\in F\Rightarrow A\in P(\Omega)\Rightarrow A\subseteq\Omega\Rightarrow A\cup\Omega=\Omega\quad\forall A\in F[/mm].
>
>
> Zurück zur Aufgabe
>
> Sei [mm]A_m\not=\emptyset[/mm] für mindestens ein [mm]m\in\IN[/mm]. Dann
> existiert ein [mm]\tilde{m}\in\IN[/mm] mit
> [mm]A_{\tilde{m}}\not=\emptyset.[/mm] Offensichtlich hier
> [mm]A_{\tilde{m}}=\Omega,[/mm] denn [mm]F=\{\emptyset,\Omega\}.[/mm]
>
> z.z. [mm]\bigcup_{m\in\IN}A_m=\Omega\in F[/mm]. Beweis:
> [mm]\bigcup_{m\in\IN}A_m=A_{\tilde{m}}\cup\bigcup_{m\in\IN\setminus\{\tilde{m}\}}A_m=\Omega\cup\bigcup_{m\in\IN\setminus\{\tilde{m}\}}A_m=\Omega\in F[/mm].
Sieht gut aus!
Nur eine Kleinigkeit: Auf welches Mengensystem $F$ möchtest du die Vorüberlegung anwenden? Um sie auf [mm] $F=\{\emptyset,\Omega\}$ [/mm] anzuwenden, müsstest du schon wissen, dass [mm] $\bigcup_{m\in\IN\setminus\{\tilde{m}\}}A_m\in [/mm] F$.
Abhilfe: Formuliere einfach die Vorüberlegung so um, dass [mm] "$A\subseteq\Omega$" [/mm] anstelle von [mm] "$A\in [/mm] F$ für ein Mengensystem $F$ über [mm] $\Omega$" [/mm] vorausgesetzt wird.
> > Falls man [mm]\bigcup_{m\in\IN}A_m=\Omega[/mm] wirklich näher
> > begründen möchte, würde ich
> > [mm]\bigcup_{m\in\IN}A_m\subseteq\Omega[/mm] und
> > [mm]\bigcup_{m\in\IN}A_m\supseteq\Omega[/mm] separat begründen.
>
> Ich würde das zwei Mal mit einem Widerspruchsbeweis
> machen. Die Argumentation basiert dann aber wieder nach
> obigem Schema. Geht das vielleicht anders?
Ja, Widerspruchsbeweise sind hier nicht nötig.
Es gilt [mm] $A_m\subseteq\Omega$ [/mm] für alle [mm] $m\in\IN$ [/mm] und damit [mm] $\bigcup_{m\in\IN}A_m\subseteq\Omega$.
[/mm]
Weiter gilt [mm] $\bigcup_{m\in\IN}A_m\supseteq A_{\tilde{m}}=\Omega$.
[/mm]
Ganz ausführliche Fassung:
Zum Nachweis von [mm] $\bigcup_{m\in\IN}A_m\subseteq\Omega$ [/mm] sei [mm] $\omega\in \bigcup_{m\in\IN}A_m$. [/mm] Zu zeigen ist [mm] $\omega\in\Omega$.
[/mm]
Wegen [mm] $\omega\in\bigcup_{m\in\IN}A_m$ [/mm] existiert ein [mm] $m\in\IN$ [/mm] mit [mm] $\omega\in A_m$.
[/mm]
Wegen [mm] $A_m\in F\subseteq\mathcal{P}(\Omega)$ [/mm] gilt [mm] $A_m\in\mathcal{P}(\Omega)$, [/mm] also [mm] $A_m\subseteq\Omega$.
[/mm]
Also impliziert [mm] $\omega\in A_m$ [/mm] wie gewünscht [mm] $\omega\in\Omega$.
[/mm]
Zum Nachweis von [mm] $\bigcup_{m\in\IN}A_m\supseteq\Omega$ [/mm] sei [mm] $\omega\in\Omega$. [/mm] Zu zeigen ist [mm] $\omega\in\bigcup_{m\in\IN}A_m$.
[/mm]
Wegen [mm] $\omega\in\Omega=A_{\tilde{m}}$ [/mm] existiert ein [mm] $m\in\IN$ [/mm] mit [mm] $\omega\in A_m$ [/mm] (nämlich [mm] $m=\tilde{m}$).
[/mm]
Also tatsächlich [mm] $\omega\in\bigcup_{m\in\IN}A_m$.
[/mm]
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:53 Sa 15.11.2014 | | Autor: | James90 |
> > > [mm]\bigcup_{m\in\IN}A_m=\Omega[/mm] ist der entscheidende Punkt.
> >
> > Okay, ich probiere mein Glück noch einmal. :)
> >
> > Vorüberlegung: Sei [mm]\Omega\not=\emptyset[/mm] und [mm]F\subseteq P(\Omega)[/mm]
> > ein Mengensystem auf [mm]\Omega.[/mm] Dann gilt: [mm]A\in F\Rightarrow A\in P(\Omega)\Rightarrow A\subseteq\Omega\Rightarrow A\cup\Omega=\Omega\quad\forall A\in F[/mm].
Ich merke gerade, dass dieses [mm] "$\forall A\in [/mm] F$" am Ende total überflüssig ist.
> > Zurück zur Aufgabe
> >
> > Sei [mm]A_m\not=\emptyset[/mm] für mindestens ein [mm]m\in\IN[/mm]. Dann
> > existiert ein [mm]\tilde{m}\in\IN[/mm] mit
> > [mm]A_{\tilde{m}}\not=\emptyset.[/mm] Offensichtlich hier
> > [mm]A_{\tilde{m}}=\Omega,[/mm] denn [mm]F=\{\emptyset,\Omega\}.[/mm]
> >
> > z.z. [mm]\bigcup_{m\in\IN}A_m=\Omega\in F[/mm]. Beweis:
> >
> [mm]\bigcup_{m\in\IN}A_m=A_{\tilde{m}}\cup\bigcup_{m\in\IN\setminus\{\tilde{m}\}}A_m=\Omega\cup\bigcup_{m\in\IN\setminus\{\tilde{m}\}}A_m=\Omega\in F[/mm].
>
> Sieht gut aus!
>
> Nur eine Kleinigkeit: Auf welches Mengensystem [mm]F[/mm] möchtest
> du die Vorüberlegung anwenden? Um sie auf
> [mm]F=\{\emptyset,\Omega\}[/mm] anzuwenden, müsstest du schon
> wissen, dass [mm]\bigcup_{m\in\IN\setminus\{\tilde{m}\}}A_m\in F[/mm].
Bei meiner Vorüberlegung habe ich ein beliebiges Mengensystem F über [mm] \Omega\not=0 [/mm] mit [mm] $\Omega\in [/mm] F$ vorausgesetzt. Ich habe eher an die Existenz eines [mm] $A\in [/mm] F$ gedacht und meine Idee unsauber und falsch durchgeführt. Danke für den Hinweis.
> Abhilfe: Formuliere einfach die Vorüberlegung so um, dass
> "[mm]A\subseteq\Omega[/mm]" anstelle von "[mm]A\in F[/mm] für ein
> Mengensystem [mm]F[/mm] über [mm]\Omega[/mm]" vorausgesetzt wird.
Vorüberlegung: Sei [mm] $A\subseteq\Omega$. [/mm] Wegen [mm] A\subseteq\Omega [/mm] ist [mm] A\cup\Omega=\Omega [/mm] für alle [mm] A\subseteq\Omega. [/mm] Insbesondere ist wegen [mm] A\subseteq\Omega [/mm] auch [mm] $A\in P(\Omega)$ [/mm] und damit ist [mm] A\cup\Omega=\Omega [/mm] für alle [mm] $A\in P(\Omega)$.
[/mm]
Meine Absicht: Ich schaffe es nicht direkt zu zeigen, dass [mm] $\bigcup_{m\in\IN\setminus\{\tilde{m}\}}A_m\in [/mm] F$. Also umgehe ich es, siehe unten.
Zu zeigen: Das Mengensystem [mm] F:=\{\emptyset,\Omega\} [/mm] ist eine Sigma-Algebra über [mm] \Omega\not=0.
[/mm]
1) und 2) hatten wir schon. Zu zeigen bleibt: Sei [mm] (A_n) [/mm] eine Folge in F, dann gilt: [mm] $\bigcup_{n\in\IN}A_n\in [/mm] F$.
3.1) Sei [mm] A_n [/mm] eine Folge in F mit [mm] A_n=\emptyset [/mm] für alle [mm] n\in\IN, [/mm] dann ist [mm] $\bigcup_{n\in\IN}A_n=\bigcup_{n\in\IN}\emptyset=\emptyset\in [/mm] F$.
3.2) Sei [mm] (A_m) [/mm] eine Folge in F mit [mm] A_m\not=\emptyset [/mm] für mindestens ein [mm] m\in\IN. [/mm] Dann existiert ein [mm] \tilde{m}\in\IN [/mm] mit [mm] A_{\tilde{m}}\not=\emptyset. [/mm] Wegen [mm] F=\{\emptyset,\Omega\} [/mm] und [mm] \Omega\not=\emptyset [/mm] ist [mm] \Omega=A_{\tilde{m}}\not=\emptyset. [/mm] Dann gilt:
[mm] $\bigcup_{m\in\IN}A_m=A_{\tilde{m}}\cup\bigcup_{m\in\IN\setminus\{\tilde{m}\}}A_m=\Omega\cup\bigcup_{m\in\IN\setminus\{\tilde{m}\}}A_m. [/mm]
Es ist [mm] (A_m) [/mm] eine Folge in F, also [mm] $(A_m)\in [/mm] F$ für alle [mm] m\in\IN. [/mm] Wegen [mm] $F\subseteq P(\Omega)$ [/mm] ist [mm] $(A_m)\in P(\Omega)$ [/mm] für alle [mm] $m\in\IN$. [/mm] Damit insbesondere [mm] $\bigcup_{m\in\IN\setminus\{\tilde{m}\}}A_m\in P(\Omega)$ [/mm] und damit [mm] $\bigcup_{m\in\IN\setminus\{\tilde{m}\}}A_m\subseteq\Omega$. [/mm] Mit der Vorüberlegung oben ist also [mm] $\Omega\cup\bigcup_{m\in\IN\setminus\{\tilde{m}\}}A_m=\Omega\in [/mm] F$.
Ist das in Ordnung?
> > > Falls man [mm]\bigcup_{m\in\IN}A_m=\Omega[/mm] wirklich näher
> > > begründen möchte, würde ich
> > > [mm]\bigcup_{m\in\IN}A_m\subseteq\Omega[/mm] und
> > > [mm]\bigcup_{m\in\IN}A_m\supseteq\Omega[/mm] separat begründen.
> >
> > Ich würde das zwei Mal mit einem Widerspruchsbeweis
> > machen. Die Argumentation basiert dann aber wieder nach
> > obigem Schema. Geht das vielleicht anders?
> Ja, Widerspruchsbeweise sind hier nicht nötig.
>
>
> Es gilt [mm]A_m\subseteq\Omega[/mm] für alle [mm]m\in\IN[/mm] und damit
> [mm]\bigcup_{m\in\IN}A_m\subseteq\Omega[/mm].
Ich muss zugeben, dass ich sehr lange gebraucht habe um das zu verstehen. Das liegt daran, dass ich [mm] $A\in P(\Omega)\Rightarrow A\subseteq\Omega$ [/mm] wusste, aber mir nie klar war über die andere Richtung [mm] $A\subseteq\Omega\Rightarrow A\in P(\Omega)$.
[/mm]
Zu zeigen: [mm] $A\subseteq\Omega\gdw A\in P(\Omega)$.
[/mm]
Beweis:
[mm] "\Rightarrow": [/mm] Sei [mm] $A\subseteq\Omega. [/mm] Es ist [mm] P(\Omega):=\{X\mid X\subseteq\Omega\} [/mm] und wegen [mm] A\subseteq\Omega [/mm] ist [mm] $A\in P(\Omega)$.
[/mm]
[mm] "\Leftarrow": [/mm] Sei [mm] $A\in P(\Omega)$, [/mm] also [mm] A\in\{X\mid X\subseteq\Omega\}, [/mm] also [mm] A\subseteq\Omega.
[/mm]
Hier ist [mm] (A_m) [/mm] eine Folge in F, also [mm] $A_m\in [/mm] F$ für alle [mm] m\in\IN. [/mm] Wegen [mm] $F\subseteq P(\Omega)$ [/mm] ist [mm] A_m\in P(\Omega) [/mm] für alle [mm] m\in\IN [/mm] und das ist (nach dem Beweis) äquivalent zu [mm] A_m\subseteq\Omega [/mm] für alle [mm] m\in\IN.
[/mm]
Hoffentlich ist das richtig.
> Weiter gilt [mm]\bigcup_{m\in\IN}A_m\supseteq A_{\tilde{m}}=\Omega[/mm].
So einfach und ich habe es nicht gesehen...... Ohhh jeeee.....
> Ganz ausführliche Fassung:
>
> Zum Nachweis von [mm]\bigcup_{m\in\IN}A_m\subseteq\Omega[/mm] sei
> [mm]\omega\in \bigcup_{m\in\IN}A_m[/mm].
Hier fehlt mir persönlich noch der Hinweis, dass so ein [mm] \omega [/mm] existiert. Es ist nach Voraussetzung [mm] A_m\not=\emptyset [/mm] für mindestens ein [mm] m\in\IN. [/mm] Diese wählen wir hier, oder?
> Zu zeigen ist
> [mm]\omega\in\Omega[/mm].
> Wegen [mm]\omega\in\bigcup_{m\in\IN}A_m[/mm] existiert ein [mm]m\in\IN[/mm]
> mit [mm]\omega\in A_m[/mm].
> Wegen [mm]A_m\in F\subseteq\mathcal{P}(\Omega)[/mm]
> gilt [mm]A_m\in\mathcal{P}(\Omega)[/mm], also [mm]A_m\subseteq\Omega[/mm].
Hier benutzt du sogar die bewiesen Eigenschaft oben, ich bin beruhigt. :)
> Also impliziert [mm]\omega\in A_m[/mm] wie gewünscht
> [mm]\omega\in\Omega[/mm].
>
> Zum Nachweis von [mm]\bigcup_{m\in\IN}A_m\supseteq\Omega[/mm] sei
> [mm]\omega\in\Omega[/mm]. Zu zeigen ist
> [mm]\omega\in\bigcup_{m\in\IN}A_m[/mm].
> Wegen [mm]\omega\in\Omega=A_{\tilde{m}}[/mm] existiert ein [mm]m\in\IN[/mm]
> mit [mm]\omega\in A_m[/mm] (nämlich [mm]m=\tilde{m}[/mm]).
> Also tatsächlich [mm]\omega\in\bigcup_{m\in\IN}A_m[/mm].
Eine Kleinigkeit noch:
Z.z.: [mm] A\subseteq\Omega\Rightarrow A\cup\Omega=\Omega.
[/mm]
[mm] "\subseteq": [/mm] Sei [mm] \omega\in(A\cup\Omega), [/mm] also [mm] $\omega\in [/mm] A$ oder [mm] \omega\in\Omega. [/mm] Wegen [mm] A\subseteq\Omega [/mm] gilt: [mm] $\omega\in [/mm] A [mm] \Rightarrow \omega\in\Omega$. [/mm] Damit erhalten wir [mm] \omega\in\Omega [/mm] oder [mm] \omega\in\Omega, [/mm] also [mm] \omega\in\Omega.
[/mm]
[mm] "\supseteq": [/mm] Sei [mm] \omega\in\Omega. [/mm] Wegen [mm] A\subseteq\Omega [/mm] gilt: [mm] \omega\in\Omega [/mm] oder [mm] $\omega\in [/mm] A$, also [mm] \omega\in(\Omega\cup [/mm] A).
Hier frage ich mich nach der Existenz vom [mm] \omega. [/mm] Wenn [mm] \Omega=\emptyset, [/mm] dann haben wir verloren, richtig? Also gilt die Aussage nur unter der Voraussetzung [mm] \Omega\not=\emptyset.
[/mm]
Vielen lieben Dank Tobias!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:29 So 16.11.2014 | | Autor: | tobit09 |
> Vorüberlegung: Sei [mm]A\subseteq\Omega[/mm]. Wegen
> [mm]A\subseteq\Omega[/mm] ist [mm]A\cup\Omega=\Omega[/mm] für alle
> [mm]A\subseteq\Omega.[/mm]
Das ist etwas "doppelt gemoppelt".
Streiche entweder das "Sei [mm] $A\subseteq\Omega$." [/mm] oder das "für alle [mm] $A\subseteq\Omega$".
[/mm]
> Insbesondere ist wegen [mm]A\subseteq\Omega[/mm]
> auch [mm]A\in P(\Omega)[/mm] und damit ist [mm]A\cup\Omega=\Omega[/mm] für
> alle [mm]A\in P(\Omega)[/mm].
Ohne Zweifel gilt
(*) [mm] $A\cup\Omega=\Omega$
[/mm]
für alle [mm] $A\in\mathcal{P}(\Omega)$.
[/mm]
In deiner Argumentation steckt jedoch ein kleiner logischer Fehler:
Du hast festgestellt, dass (*) für alle [mm] $A\subseteq\Omega$ [/mm] gilt, und möchtest (*) für alle [mm] $A\in\mathcal{P}(\Omega)$ [/mm] folgern.
Dazu benötigst du, dass für alle [mm] $A\in\mathcal{P}(\Omega)$ [/mm] auch [mm] $A\subseteq\Omega$ [/mm] gilt, und nicht etwa, dass für alle [mm] $A\subseteq\Omega$ [/mm] auch [mm] $A\in\mathcal{P}(\Omega)$ [/mm] gilt.
(Tatsächlich sind natürlich die Eigenschaften [mm] $A\subseteq\Omega$ [/mm] und [mm] $A\in\mathcal{P}(\Omega)$ [/mm] sowieso äquivalent und du kannst sie beliebig gegeneinander austauschen.)
> Zu zeigen: Das Mengensystem [mm]F:=\{\emptyset,\Omega\}[/mm] ist
> eine Sigma-Algebra über [mm]\Omega\not=0.[/mm]
>
> 1) und 2) hatten wir schon. Zu zeigen bleibt: Sei [mm](A_n)[/mm]
> eine Folge in F, dann gilt: [mm]\bigcup_{n\in\IN}A_n\in F[/mm].
>
> 3.1) Sei [mm]A_n[/mm] eine Folge in F mit [mm]A_n=\emptyset[/mm] für alle
> [mm]n\in\IN,[/mm] dann ist
> [mm]\bigcup_{n\in\IN}A_n=\bigcup_{n\in\IN}\emptyset=\emptyset\in F[/mm].
Ja.
> 3.2) Sei [mm](A_m)[/mm] eine Folge in F mit [mm]A_m\not=\emptyset[/mm] für
> mindestens ein [mm]m\in\IN.[/mm] Dann existiert ein [mm]\tilde{m}\in\IN[/mm]
> mit [mm]A_{\tilde{m}}\not=\emptyset.[/mm] Wegen
> [mm]F=\{\emptyset,\Omega\}[/mm] und [mm]\Omega\not=\emptyset[/mm] ist
> [mm]\Omega=A_{\tilde{m}}\not=\emptyset.[/mm]
(Der Verweis auf [mm] $\Omega\not=\emptyset$ [/mm] ist hier überflüssig.
Aus [mm] $F=\{\emptyset,\Omega\}$ [/mm] und [mm] $A_{\tilde{m}}\in [/mm] F$ mit [mm] $A_{\tilde{m}}\not=\emptyset$ [/mm] folgt direkt [mm] $A_{\tilde{m}}=\Omega$.)
[/mm]
> Dann gilt:
>
> [mm]$\bigcup_{m\in\IN}A_m=A_{\tilde{m}}\cup\bigcup_{m\in\IN\setminus\{\tilde{m}\}}A_m=\Omega\cup\bigcup_{m\in\IN\setminus\{\tilde{m}\}}A_m.[/mm]
> Es ist [mm](A_m)[/mm] eine Folge in F, also [mm](A_m)\in F[/mm] für alle
> [mm]m\in\IN.[/mm]
Nicht die Folge [mm] $(A_m)_{m\in\IN}$ [/mm] ist Element von F, sondern ihre Glieder [mm] $A_m$ [/mm] (für jedes [mm] $m\in\IN$) [/mm] sind Elemente von F.
> Wegen [mm]F\subseteq P(\Omega)[/mm] ist [mm](A_m)\in P(\Omega)[/mm]
> für alle [mm]m\in\IN[/mm].
Wieder muss es [mm] $A_m$ [/mm] statt [mm] $(A_m)$ [/mm] heißen.
> Damit insbesondere
> [mm]\bigcup_{m\in\IN\setminus\{\tilde{m}\}}A_m\in P(\Omega)[/mm] und
> damit
> [mm]\bigcup_{m\in\IN\setminus\{\tilde{m}\}}A_m\subseteq\Omega[/mm].
> Mit der Vorüberlegung oben ist also
> [mm]\Omega\cup\bigcup_{m\in\IN\setminus\{\tilde{m}\}}A_m=\Omega\in F[/mm].
>
>
>
> Ist das in Ordnung?
Ja.
> > Es gilt [mm]A_m\subseteq\Omega[/mm] für alle [mm]m\in\IN[/mm] und damit
> > [mm]\bigcup_{m\in\IN}A_m\subseteq\Omega[/mm].
>
> Ich muss zugeben, dass ich sehr lange gebraucht habe um das
> zu verstehen. Das liegt daran, dass ich [mm]A\in P(\Omega)\Rightarrow A\subseteq\Omega[/mm]
> wusste, aber mir nie klar war über die andere Richtung
> [mm]A\subseteq\Omega\Rightarrow A\in P(\Omega)[/mm].
Ja, direkt nach Definition der Potenzmenge: Die Potenzmenge von [mm] $\Omega$ [/mm] enthält als Elemente GENAU die Teilmengen von [mm] $\Omega$.
[/mm]
> Zu zeigen: [mm]A\subseteq\Omega\gdw A\in P(\Omega)[/mm].
>
> Beweis:
>
> [mm]"\Rightarrow":[/mm] Sei [mm]$A\subseteq\Omega.[/mm] Es ist
> [mm]P(\Omega):=\{X\mid X\subseteq\Omega\}[/mm] und wegen
> [mm]A\subseteq\Omega[/mm] ist [mm]$A\in P(\Omega)$.[/mm]
>
> [mm]"\Leftarrow":[/mm] Sei [mm]A\in P(\Omega)[/mm], also [mm]A\in\{X\mid X\subseteq\Omega\},[/mm]
> also [mm]A\subseteq\Omega.[/mm]
Ja.
> Hier ist [mm](A_m)[/mm] eine Folge in F, also [mm]A_m\in F[/mm] für alle
> [mm]m\in\IN.[/mm] Wegen [mm]F\subseteq P(\Omega)[/mm] ist [mm]A_m\in P(\Omega)[/mm]
> für alle [mm]m\in\IN[/mm] und das ist (nach dem Beweis) äquivalent
> zu [mm]A_m\subseteq\Omega[/mm] für alle [mm]m\in\IN.[/mm]
>
> Hoffentlich ist das richtig.
Ja.
> > Ganz ausführliche Fassung:
> >
> > Zum Nachweis von [mm]\bigcup_{m\in\IN}A_m\subseteq\Omega[/mm] sei
> > [mm]\omega\in \bigcup_{m\in\IN}A_m[/mm].
>
> Hier fehlt mir persönlich noch der Hinweis, dass so ein
> [mm]\omega[/mm] existiert.
Das ist hier irrelevant.
Zu zeigen ist, dass FÜR ALLE [mm] $\omega\bigcup_{m\in\IN}A_m$ [/mm] etwas gilt (nämlich [mm] $\omega\in\Omega$).
[/mm]
Für diesen Nachweis können wir ein beliebiges vorgegebenes [mm] $\omega\in\bigcup_{m\in\IN}A_m$ [/mm] betrachten und zeigen, dass die gewünschte Eigenschaft für DIESES [mm] $\omega$ [/mm] gilt.
Da [mm] $\omega\in\bigcup_{m\in\IN}A_m$ [/mm] beliebig vorgegeben war, gilt dann die gewünschte Eigenschaft für ALLE [mm] $\omega\in\bigcup_{m\in\IN}A_m$.
[/mm]
Ob es überhaupt ein [mm] $\omega\in\bigcup_{m\in\IN}A_m$ [/mm] gibt, ist für dieses Beweis-Verfahren irrelevant.
Zu zeigen ist nur: WENN wir so ein [mm] $\omega$ [/mm] vorgegeben haben, genügt es der gewünschten Eigenschaft.
> Eine Kleinigkeit noch:
>
> Z.z.: [mm]A\subseteq\Omega\Rightarrow A\cup\Omega=\Omega.[/mm]
>
> [mm]"\subseteq":[/mm] Sei [mm]\omega\in(A\cup\Omega),[/mm] also [mm]\omega\in A[/mm]
> oder [mm]\omega\in\Omega.[/mm] Wegen [mm]A\subseteq\Omega[/mm] gilt:
> [mm]\omega\in A \Rightarrow \omega\in\Omega[/mm]. Damit erhalten wir
> [mm]\omega\in\Omega[/mm] oder [mm]\omega\in\Omega,[/mm] also
> [mm]\omega\in\Omega.[/mm]
Ja.
> [mm]"\supseteq":[/mm] Sei [mm]\omega\in\Omega.[/mm] Wegen [mm]A\subseteq\Omega[/mm]
> gilt: [mm]\omega\in\Omega[/mm] oder [mm]\omega\in A[/mm], also
> [mm]\omega\in(\Omega\cup[/mm] A).
Der Verweis auf [mm] $A\subseteq\Omega$ [/mm] ist bei [mm] "$\supseteq$" [/mm] überflüssig.
Wenn [mm] $\omega\in\Omega$ [/mm] gilt, so gilt erst recht [mm] $\omega\in\Omega$ [/mm] oder [mm] $\omega\in [/mm] A$.
Das hat nichts mit [mm] $A\subseteq\Omega$ [/mm] zu tun.
> Hier frage ich mich nach der Existenz vom [mm]\omega.[/mm]
Aus analogen Gründen ist die Existenz von [mm] $\omega$ [/mm] auch hier irrelevant.
> Wenn
> [mm]\Omega=\emptyset,[/mm] dann haben wir verloren, richtig? Also
> gilt die Aussage nur unter der Voraussetzung
> [mm]\Omega\not=\emptyset.[/mm]
Die Aussage, dass [mm] $A\cup\Omega=\Omega$ [/mm] für alle [mm] $A\subseteq\Omega$ [/mm] gilt, gilt auch im Falle [mm] $\Omega=\emptyset$.
[/mm]
Diesen Fall hast du nirgendwo in deinem Beweis ausschließen müssen.
Man kann sich auch direkt überlegen, dass im Falle [mm] $\Omega=\emptyset$ [/mm] die Aussage gilt (dann ist nämlich wegen [mm] $A\subseteq\Omega=\emptyset$ [/mm] auch [mm] $A=\emptyset$ [/mm] und damit [mm] $A\cup\Omega=\emptyset\cup\emptyset=\emptyset=\Omega$).
[/mm]
Die Aussage, dass [mm] $\{\emptyset,\Omega\}$ [/mm] eine Sigma-Algebra auf [mm] $\Omega$ [/mm] bildet, gilt gemäß deiner Definition einer Sigma-Algebra hingegen nur für [mm] $\Omega\not=\emptyset$.
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:40 So 16.11.2014 | | Autor: | James90 |
Vielen lieben Dank Tobias für die zahlreichen Verbesserungen und die Geduld mit mir!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:04 Fr 14.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hi Tobias! Ich muss das wieder hier aufgreifen, sorry....
> Da brauchst du dich nicht für zu entschuldigen, dafür
> ist das Forum ja da!
>
>
> > > > Ein Mengensystem F auf [mm]\Omega\not=\emptyset[/mm] heißt
> > Sigma-Algebra, falls gelten:
> >
> > > > 1) [mm]\Omega\in F[/mm]
> > > > 2) [mm]A\in F[/mm], so gilt auch [mm]A^c\in F[/mm]
>
> > >
> > > 3) [mm](A_n)\in F[/mm], so gilt auch [mm]\bigcup_{n\in\IN}A_n\in F[/mm]
>
> >
> > Ist eigentlich die Schreibweise [mm]A_n\in F[/mm] in Ordnung? Ich
> > meine damit nicht die Vernachlässigung der Klammern.
> Die Klammern würde ich keinesfalls vernachlässigen.
> [mm](A_n)[/mm] ist eine Kurzschreibweise für [mm](A_n)_{n\in\IN}[/mm].
> [mm](A_n)_{n\in\IN}\in F[/mm] wiederum ist eine (wörtlich genommen
> falsche) Kurzschreibweise für [mm]A_n\in F[/mm] für alle [mm]n\in\IN[/mm].
das würde ich so nie schreiben. Das kann man auch direkt richtig schreiben
als
[mm] $(A_n) \in F^{\IN}\,.$
[/mm]
Oder man sagt einfach: Sei [mm] $(A_n)$ [/mm] eine Folge in [mm] $F\,$ [/mm] (das ist nur eine Sprechweise
für [mm] $(A_n)_{n \in \IN} \in F^{\IN}$).
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:21 Fr 14.11.2014 | | Autor: | James90 |
Hi!
> Das kann man auch direkt richtig schreiben als
>
> [mm](A_n) \in F^{\IN}\,.[/mm]
>
> Oder man sagt einfach: Sei [mm](A_n)[/mm] eine Folge in [mm]F\,[/mm] (das ist
> nur eine Sprechweise
> für [mm](A_n)_{n \in \IN} \in F^{\IN}[/mm]).
Ich kenne [mm] F^{\IN} [/mm] als [mm] F^{\IN}=\{f\colon\IN\to F\}, [/mm] also [mm] A_n\in\{f\colon\IN\to F\}. [/mm] Hier ist dann wohl die Notation [mm] A_n\in\{A\colon\IN\to F\} [/mm] besser. Richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:55 Fr 14.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hi!
>
> > Das kann man auch direkt richtig schreiben als
> >
> > [mm](A_n) \in F^{\IN}\,.[/mm]
> >
> > Oder man sagt einfach: Sei [mm](A_n)[/mm] eine Folge in [mm]F\,[/mm] (das ist
> > nur eine Sprechweise
> > für [mm](A_n)_{n \in \IN} \in F^{\IN}[/mm]).
>
> Ich kenne [mm]F^{\IN}[/mm] als [mm]F^{\IN}=\{f\colon\IN\to F\},[/mm]
bitte? Das ist doch uninteressant, Du kannst auch
[mm] $F^{\IN}=\{Mickymaus \colon \IN \to F\}$
[/mm]
schreiben!
> also [mm]A_n\in\{f\colon\IN\to F\}.[/mm] Hier ist dann wohl die Notation
> [mm]A_n\in\{A\colon\IN\to F\}[/mm] besser. Richtig?
Du meinst [mm] $(A_n) \in\{A\colon\IN\to F\}\,.$ [/mm] Nein, das ist genauso schlecht, wie
$x [mm] \in \{x \in \IR \mid x \ge 0\}$
[/mm]
zu schreiben - links ist das [mm] $x\,$ [/mm] fest, rechts variabel. (Besser schreibt man
also etwa
$x [mm] \in \{y \in \IR \mid y \ge 0\}$
[/mm]
oder
$x [mm] \in \{t \in \IR \mid t \ge 0\}$
[/mm]
stattdessen...).
Und strenggenommen: [mm] $A_n \in F^{\IN}$ [/mm] würde bedeuten: Das Folgeglied
[mm] $A_n$ [/mm] ist eine Abbildung
[mm] $A_n \colon \IN \to F\,.$
[/mm]
D.h. es wäre [mm] $A_n=((A_n)_{k})_{k \in \IN}$ [/mm] schreibbar (mit [mm] $(A_n)_k=A_n(k)$ [/mm] für
alle $k [mm] \in \IN$)...
[/mm]
Also: [mm] $x=(x_n)_{n \in \IN} \in F^{\IN}=\{Goofy \colon \IN \to F\}$ [/mm] bedeutet: Es ist
$x [mm] \colon \IN \to [/mm] F$
eine Abbildung mit [mm] $x_n=x(n)$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN\,.$
[/mm]
Wodrauf Du vielleicht achten solltest: In der Notation [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] steckt
eigentlich schon (bei obiger Definition) der "Abbildungsname" mit drin - die
Abbildung heißt nämlich [mm] $a\,.$ [/mm] Deswegen gibt es durchaus Dozenten, die,
wenn sie diese Notation verwenden, auch nicht mehr, im Falle der Kgz.
der Folge, den Grenzwert mit [mm] $a\,$ [/mm] bezeichnen wollen - sondern diesen
etwa als [mm] $a_\infty\,$ [/mm] schreiben.
Die meisten stellen sich aber auf den Standpunkt, dass da ja wohl absolut
keine Verwechslungsgefahr zu befürchten ist (zu Recht).
Andere Dozenten sagen wiederum, dass sie etwa in der Notation
[mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] als Folge in [mm] $\IR$
[/mm]
die Abbildung eben nicht als [mm] $a\,$ [/mm] "sehen"/bezeichnen wollen, sondern
etwa, dass diese
[mm] $\tilde{a}$
[/mm]
heißen möge: Vorgegeben sei also
[mm] $\tilde{a} \colon \IN \to \IR$ [/mm]
und dann wird
[mm] $a_n:=\tilde{a}(n)$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN$
[/mm]
definiert und man identifiziert dann [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] mit [mm] $\tilde{a}\,.$
[/mm]
Strenggenommen sind das aber nur *Feinheiten*, und man sollte vllt.,
damit man sich nicht manchmal wundert, immer drauf achten, was der
Dozent da wie verwendet!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:51 Sa 15.11.2014 | | Autor: | James90 |
Noch einmal mit meinen eigenen Worten:
Richtig: Sei [mm] (A_n) [/mm] eine Folge in F
Falsch: Sei [mm] A_n [/mm] eine Folge in F
"Sei [mm] (A_n) [/mm] eine Folge in F" ist äquivalent zu "Sei [mm] $(A_n)\in F^{\IN}$"
[/mm]
Ich bin aber noch unsicher mit [mm] F^{\IN}
[/mm]
[mm] F^{\IN}=\{A:\IN\to F\}?
[/mm]
[mm] (A_n)_{n\in\IN} [/mm] ist eine Folge, also können wir [mm] (A_n) [/mm] auch als Abbildung betrachten [mm] $A:\IN\to [/mm] F$. Wieso geht dann nicht wie bei Folgen, also dann [mm] $A\in F^{\IN}$?
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:48 Sa 15.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Noch einmal mit meinen eigenen Worten:
>
> Richtig: Sei [mm](A_n)[/mm] eine Folge in F
> Falsch: Sei [mm]A_n[/mm] eine Folge in F
genau - noch besser: Sei [mm] $(A_n)_{n \in \IN}$ [/mm] eine Folge in [mm] $F\,.$
[/mm]
> "Sei [mm](A_n)[/mm] eine Folge in F" ist äquivalent zu "Sei
> [mm](A_n)\in F^{\IN}[/mm]"
Per Definitionem!
> Ich bin aber noch unsicher mit [mm]F^{\IN}[/mm]
>
> [mm]F^{\IN}=\{A:\IN\to F\}?[/mm]
Schreib' doch
[mm] $F^{\IN}=\{h \colon \IN \to F\}\,.$
[/mm]
Sonst kommst Du wieder in folgende Problematik: Manche schreiben [mm] $A=(A_n)_{n \in \IN}\,,$
[/mm]
wenn $A [mm] \colon \IN \to [/mm] F$ durchweg mit [mm] $A(n)=:A_n\,.$ [/mm] Das Definitionszeichen steht hier richtig,
denn eigentlich soll $A [mm] \in F^{\IN}$ [/mm] bekannt sein, und die Notation [mm] $(A_n)_{ n \in \IN}$ [/mm] ist "eine neue".
Wenn ich nur von der Folge
[mm] $(x_n)_{n \in \IN}\equiv(\tfrac{1}{n})_{n \in \IN}$
[/mm]
rede, habe ich ein kleines Problem, weil bei der mir bekannten Definition
eigentlich der Zielbereich Bestandteil einer Funktion ist. Das muss aber
nicht immer so sein.
(Hier nachlesbar!)
Jedenfalls besagt der Satz, dass wir die Folge
[mm] $(x_n)_{n \in \IN}\equiv(\tfrac{1}{n})_{n \in \IN}$
[/mm]
betrachten, erstmal nur, dass
$x [mm] \colon \IN \to [/mm] Z$ durch $x(n):=1/n$ ($n [mm] \in \IN$)
[/mm]
definiert ist, wobei $Z [mm] \supseteq \{x(n)=1/n\mid\;\; n \in \IN\}$ [/mm] nicht näher angegeben
wird.
Wenn ich aber von der reellwertigen Folge
[mm] $(x_n)_{n \in \IN}\equiv(\tfrac{1}{n})_{n \in \IN}$
[/mm]
rede, dann ist
$x [mm] \colon \IN \to \IR$ [/mm] durch $x(n):=1/n$ ($n [mm] \in \IN$)
[/mm]
ganz klar, und hier ist [mm] $x=(x_n)_{n \in \IN} \in \IR^{\IN}\,.$
[/mm]
> [mm](A_n)_{n\in\IN}[/mm] ist eine Folge, also können wir [mm](A_n)[/mm] auch
> als Abbildung betrachten [mm]A:\IN\to F[/mm]. Wieso geht dann nicht
> wie bei Folgen, also dann [mm]A\in F^{\IN}[/mm]?
Doch, Du kannst
[mm] $A=(A_n)_{n \in \IN} \in F^{\IN}$
[/mm]
schreiben, wenn [mm] $A=(A_n)_{n \in \IN}$ [/mm] eine Folge mit Werten in [mm] $F\,$ [/mm] sein soll.
"Wertebereich" meint hier aber eher "Zielbereich".
Was Du nicht schreiben solltest, ist
[mm] $\red{\,A\,} \in \{\red{\,A\,} \colon \IN \to F\}\,.$
[/mm]
Wenn das [mm] $A\,$ [/mm] linkerhand fest ist, ist rechts eigentlich auch die Menge
einelementig.
Wenn Du etwa
$A [mm] \in \{h \colon \IN \to F\}$
[/mm]
schreibst, dann bedeutet das:
Es ist
[mm] $A\colon \IN \to F\,,$
[/mm]
und die Menge
[mm] $\{h \colon \IN \to F\}$
[/mm]
ist *groß* - i.a. wesentlich größer als eine einelementige.
Und warum Du
[mm] $(A_n) \in F^{\IN}$
[/mm]
NICHT durch
[mm] $A_n \in F^{\IN}$
[/mm]
abkürzen solltest, habe ich in der anderen Antwort nochmal erklärt: Es gibt
halt auch "Folgen von Folgen"!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:25 So 16.11.2014 | | Autor: | James90 |
Vielen Dank für die ausführliche Erklärung!
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