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| Aufgabe | Seien [mm] $A_1,...,A_n$ [/mm] nichtleere disjunkte Teilmengen einer Menge [mm] $\Omega$.
[/mm]
a) Wie viele Elemente enthält [mm] $\sigma(A_1,...,A_n)$
[/mm]
b) Wie ändert sich die Antwort in a), wenn genau k Mengen [mm] $A_i_1,...,A_i_k, i_j \in [/mm] {1,...,n}, j=1,...,k$
c) Seien nun [mm] $\Omega=\{1,...,9\}, A_1=\{1,9\}, A_2=\{3,4,5\}, A_3=\{2,6,7,8\}$. [/mm] Bestimmen Sie [mm] $\sigma(A_1 [/mm] , [mm] A_2, A_3)$ [/mm] |
Hallo Freunde der Mathematik,
ich wollte nur wissen, ob folgende Ergebnisse richtig sind.
a) [mm] $|\sigma(A_1,...,A_n)|=2^n$
[/mm]
b) Antwort: [mm] $2^{n-k}$ [/mm] k Mengen werden abgezogen
c) [mm] $\sigma(A_1 [/mm] , [mm] A_2, A_3)=\{\emptyset,\{A_1\},\{A_2\}, \{A_3\}, \{A_1\cup A_2\}, \{A_1\cup A_3\}, \{A_2\cup A_3\}, \Omega \}=\{\emptyset,\{1,9\}, \{3,4,5\}, \{2,6,7,8\}, \{1,3,4,5,9\}, \{1,2,6,7,8,9\}, \{2,3,4,5,6,7,8\},\Omega \}$
[/mm]
Viele Dank schon mal im Voraus
Liebe Grüße
Christoph
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:55 So 17.04.2016 | | Autor: | luis52 |
> a) [mm]|\sigma(A_1,...,A_n)|=2^n[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Betrachte den Fall $n=1$ mit [mm] $A_1=A$. [/mm] Es ist [mm] $\sigma(A)=\{A,\overline{A},\emptyset,\Omega\}$ [/mm] ...
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Hallo Luis,
deinem Beispiel zufolge muss es dann [mm] $2^{n+1}$. [/mm] Laut Wikipedia
https://de.wikipedia.org/wiki/%CE%A3-Algebra
muss die Mächtigkeit eine Zweierpotenz sein. Kannst du das besträtigen?
Liebe Grüße
Christoph
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Luis,
ich habe noch einmal recherchiert. Ich glaube ich habe da was missverstanden. Jede Potenzmenge ist eine Sigma-Algebra und nicht umgekehrt.
$|\sigma(A_1,...,A_n)|=|\{\underbrace{\emptyset}_{1}, \underbrace{\{A_1\},...,\{A_n\}}_{n} , \underbrace{\{\overline{A_1}\},...,\{\overline{A_n}\}}_{n}, \underbrace{\Omega}_{1}\}\}|=1+n+n+1=2n+2$
Wenn dies ggf. richtig sein sollte muss ich bei b) doch nur noch k leere Mengen abziehen oder (2n+2-k)?
Ich glaube dies ist richtiger. Könntest du mir das Bestätigen?
Liebe Grüße
Christoph
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:14 Mo 18.04.2016 | | Autor: | luis52 |
> Hallo Luis,
>
> ich habe noch einmal recherchiert. Ich glaube ich habe da
> was missverstanden. Jede Potenzmenge ist eine Sigma-Algebra
> und nicht umgekehrt.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]|\sigma(A_1,...,A_n)|=|\{\underbrace{\emptyset}_{1}, \underbrace{\{A_1\},...,\{A_n\}}_{n} , \underbrace{\{\overline{A_1}\},...,\{\overline{A_n}\}}_{n}, \underbrace{\Omega}_{1}\}\}|=1+n+n+1=2n+2[/mm]
Das stimmt leider immer noch nicht. Z.B. fehlt [mm] $A_1\cup A_2$.
[/mm]
Uebringens: wenn schon, denn schon
[mm] $\{\emptyset, A_1,...,A_n ,\overline{A_1},...,\overline{A_n}, \Omega\}\subset\sigma(A_1,...,A_n)$
[/mm]
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Hallo Luis,
bei jedem Vereinigungstupel der Ereignisse [mm] $A_1,..,A_n$ [/mm] habe ich [mm] $\vektor{n \\ i}$ [/mm] Mögliche Paarungen mit den Komplementen sind es dann [mm] $2*\vektor{n \\ i}$ [/mm] Paarungen davon ziehe ich . Auf das bisherige unvollständige Ergebnis hieße das [mm] $2n+2+2*\vektor{n \\ i}-\underbrace{n^2}_{n*n Ereignisse mit sich selbst vereinigt}$
[/mm]
Liebe Grüße
Christoph
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:04 Mo 18.04.2016 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Luis,
>
> bei jedem Vereinigungstupel der Ereignisse [mm]A_1,..,A_n[/mm] habe
> ich [mm]\vektor{n \\ i}[/mm]
Was ist denn i ??????
> Mögliche Paarungen mit den
> Komplementen sind es dann [mm]2*\vektor{n \\ i}[/mm] Paarungen davon
> ziehe ich .
? Was ziehst Du ?
> Auf das bisherige unvollständige Ergebnis
> hieße das [mm]2n+2+2*\vektor{n \\ i}-\underbrace{n^2}_{n*n Ereignisse mit sich selbst vereinigt}[/mm]
Nein.
FRED
>
> Liebe Grüße
>
> Christoph
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Hallo Fred,
ich formuliere es mal anders. 2n+2 habe ich bereits ja richtig nun addiere ich [mm] $\summe_{i=1}^{n}\vektor{2n\\k}$ [/mm] k ist die Anzahl der vereinigten Ereignisse. 2n steht für die Menge der n Ereignisse und Gegenereignisse.
Ich hoffe es ist nun klarer.
Liebe Grüße
Christoph
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Ich habe nochmal im Internet gestöbert und bin nochmal ein paar Beispiele durchgegangen. Ich glaube es [mm] sin$2^{n+1}$ [/mm] Elemente.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:07 Di 19.04.2016 | | Autor: | luis52 |
> Ich habe nochmal im Internet gestöbert und bin nochmal ein
> paar Beispiele durchgegangen.
Das Internet ist auch nicht mehr das, was es frueher mal war.
> Ich glaube es sind [mm]2^{n+1}[/mm] Elemente.
Fuer [mm] $\Omega=\{\omega_1,\dots,\omega_n\} [/mm] sind das mehr Elemente als die Potenzmenge ...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Mi 20.04.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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