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| Aufgabe | Sei [mm] $\Omega$ [/mm] nicht leer und $G:= [mm] \{\{a\}: a \in \Omega\}$ [/mm] das Mengensystem aller einelementigen Teilmengen von [mm] $\Omega$.
[/mm]
Bestimme die von $G$ erzeugte [mm] $\sigma$-Algebra $\sigma(G)$ [/mm] in den Fällen:
a) [mm] $\Omega$ [/mm] ist höchstens abzählbar
b) [mm] $\Omega$ [/mm] ist überabzählbar. |
Hallo,
Ich habe Schwierigkeiten bei dieser Aufgabe. Erstens versteh ich nicht ganz was mit "höchstens abzählbar" gemeint ist.
Was eine Sigma-Algebra ist weiß ich:
Damit Sigma(G) eine Sigma-Algebra ist, muss gelten:
i) Omega [mm] \in [/mm] Sigma(G)
ii) A in Sigma(G) [mm] \Rightarrow A^{c} \in [/mm] Sigma(G)
iii) [mm] A_{1},A_{2},... \in [/mm] Sigma(G) [mm] \Rightarrow \bigcup_{i=1}^{} A_{n} \in [/mm] Sigma(G)
Was muss ich bei der Aufgabe genau machen, um die einzelnen Sigma-Algebren für a) und b) bestimmen zu können?
Vielen Dank für die Hilfe!
Milka
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> Sei Omega nicht leer und G:= [mm] \{{a}: a \in Omega\} [/mm] das
> Mengensystem aller einelementigen Teilmengen von Omega.
> Bestimme die von G erzeugte Sigma-Algebra sigma(G) in den
> Fällen:
> a) Omega ist höchstens abzählbar
> b) Omega ist überabzählbar
> Hallo,
>
> Ich habe Schwierigkeiten bei dieser Aufgabe. Erstens
> versteh ich nicht ganz was mit "höchstens abzählbar"
> gemeint ist.
Hallo,
mit höchstens abzählbar ist gemeint: endlich oder abzählbar.
> Was eine Sigma-Algebra ist weiß ich:
> Damit Sigma(G) eine Sigma-Algebra ist, muss gelten:
> i) Omega [mm] \in [/mm] Sigma(G)
> ii) A in Sigma(G) [mm]\Rightarrow A^{c} \in[/mm] Sigma(G)
> iii) [mm]A_{1},A_{2},... \in[/mm] Sigma(G) [mm]\Rightarrow \bigcup_{i=1}^{} A_{n} \in[/mm]
> Sigma(G)
[mm] \sigma(G) [/mm] ist unter allen Algebren über [mm] \Omega [/mm] die kleinste, welche G enthält, die "von G erzeugte [mm] \sigma-Algebra".
[/mm]
Es ist also [mm] G\subseteq \sigma(G).
[/mm]
a) Hier wissen wir also bis jetzt schonmal, daß [mm] \Omega, \emptyset [/mm] und alle einelementigen Mengen in [mm] \sigma(G) [/mm] enthalten sind.
Folglich auch das Komplement der einelementigen Mengen.
Mit den einelementigen Mengen sind auch alle abzählbaren Vereinigungen enthalten, ebenso deren Komplement.
Insgesamt ergibt sich, daß [mm] \sigma(G) [/mm] die Potenzmenge von [mm] \Omega [/mm] ist.
Ist das wirklich die kleinste [mm] \sigma-Algebra, [/mm] die G enthält?
Angenommen, es gäbe eine Teilmenge T von [mm] \Omega, [/mm] die nicht in [mm] \sigma(G) [/mm] liegt. Da [mm] \Omege [/mm] abzählbar, ist T abzählbar. Also ist T die abzählbare Vereinigung von Elementen von G und somit [mm] \in \sigma(G). [/mm] Widerspruch.
Also ist jede Teimenge von [mm] \Omega [/mm] in [mm] \sigma(G).
[/mm]
b) Für überabzählbares [mm] \Omega [/mm] sieht die Situation anders aus.
Neben [mm] \Omega [/mm] und [mm] \emptyset [/mm] hat man hier alle abzählbaren Mengen drin und deren Komplement. Mitnichten jede Teilmenge!
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:01 Di 24.10.2006 | | Autor: | Milka_Kuh |
Hallo Angela,
vielen Dank für deine Erklärung zu dieser Aufgabe. Ich habe gar nicht verstanden, was die Aufgabe eigentlich von mir verlangt hat.
Bei der b) hab ich nicht ganz verstanden, warum nicht jede Teilmenge in [mm] \sigma(G) [/mm] drin ist. Wenn [mm] \Omega [/mm] überabzählbar ist, dann bedeutet das doch, dass es unendlich viele Teilmengen gibt, die man nicht alle aufzählen kann oder? Wieso sollten sie dann nicht alle drin liegen?
Vielen Dank für deine Hilfe!
Milka
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> Bei der b) hab ich nicht ganz verstanden, warum nicht jede
> Teilmenge in [mm]\sigma(G)[/mm] drin ist.
>Wenn [mm]\Omega[/mm] überabzählbar
> ist, dann bedeutet das doch, dass es unendlich viele
> Teilmengen gibt, die man nicht alle aufzählen kann oder?
> Wieso sollten sie dann nicht alle drin liegen?
Hallo,
ich empfehle Dir zunächst wärmstens, daß Du Dir nochmal genau anguckst, was "abzählbar" bedeutet. Es ist wichtig. [mm] \IN [/mm] und sogar [mm] \IQ [/mm] sind abzählbar, [mm] \IR [/mm] nicht. "abzählbar" - dann ist es endlich, oder es gibt eine Bijektion in die natürlichen Zahlen.
So, jetzt nochmal zu der [mm] \sigma-Algebra. [/mm] Wenn [mm] \Omega [/mm] überabzählbar ist, enthält G überabzählbar viele einelementige Mengen.
In der von G erzeugten [mm] \sigma-Algebra \sigma(G) [/mm] sind all diese vielen einelementigen Mengen drin. Auch die abzählbaren Vereinigungen (nach Definition der [mm] \sigma-Algebra!) [/mm] von Teilmengen. Und deren Komplemente. Das ergibt eben nur einen Teil der Potenzmenge. Eben die abzählbaren Mengen und ihre Komlpemente.
Wenn [mm] \Omega =\IR [/mm] ist, und G definiert wie oben, dann sind in [mm] \sigma(G) [/mm] keine Intervalle enthalten. In der Potenzmenge schon.
Enthalten in [mm] \sigma(G) [/mm] ist aber [mm] \sigma(G) \IR [/mm] \ [mm] \IN. [/mm]
Gruß v. Angela
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