Sigma-Algebra < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:27 Do 21.10.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Jetzt mal ne Frage zu Sigma-Algebren (gibt's hier auch als griechischen Buchstaben das "Sigma"?):
Hier die Definition - übernommen aus wikipedia.de, genauso in der Vorlesung definiert.
"Als σ-Algebra über eine Menge Ω bezeichnet man in der Mathematik eine Menge Σ von Teilmengen von Ω, die die folgenden Bedingungen erfüllt:
* Σ enthält Ω.
* Wenn Σ eine bestimmte Teilmenge S von Ω enthält, dann enthält Σ auch deren Komplement [mm] Ω\S.
[/mm]
* Wenn Σ zwei oder mehr Teilmengen von Ω enthält, dann enthält Σ auch deren Vereinigungsmenge; dies gilt auch für eine Folge von abzählbar unendlich vielen Teilmengen."
Bedeuten das zweite und dritte die Abgeschlossenheit des Komplements und der Vereinigung? (das habe ich nämlich auch irgendwo bei einer Definition gefunden)
Was ich aber eigentlich wissen möchte, ist, was das dritte genau bedeutet, denn ich kann mir nicht vorstellen, dass es anders wäre, aber dann würde man es ja nicht in einer Definition erwähnen. Könnte mir jemand ein Beispiel geben, wo die dritte Bedingung nicht erfüllt ist???
Hätte auch hier noch ein Beispiel und soll sagen, ob es eine Sigma-Algebra ist:
A={{AAA},{BBB},{},M,{AAA,BBB}}
wobei M die Menge aller Wörter mit drei Großbuchstaben ist.
Ich bin der Meinung, es ist keine, weil z. B. das Komplement von {AAA} wäre doch die Menge aller Wörter mit drei Großbuchstaben ohne das Wort AAA, also zum Beispiel auch das Wort ABC, oder? (Es steht jedenfalls nirgendwo, dass nur die Buchstaben A und B vorkommen dürfen oder dass alle drei Buchstaben gleich sein müssen!)
Aber mich würde trotzdem interessieren, ob die dritte Bedingung hier erfüllt ist...
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:53 Do 21.10.2004 | | Autor: | Julius |
Liebe Bastiane!
> Jetzt mal ne Frage zu Sigma-Algebren (gibt's hier auch als
> griechischen Buchstaben das "Sigma"?):
Ja. Schau dir doch mal in Ruhe an, wie unser Formel-Editor funktioniert. Zum Beispiel gibst du [mm] $\sigma$ [/mm] wie folgt ein [mm]\sigma[/mm].
> Hier die Definition - übernommen aus wikipedia.de, genauso
> in der Vorlesung definiert.
>
> "Als σ-Algebra über eine Menge Ω bezeichnet man
> in der Mathematik eine Menge Σ von Teilmengen von
> Ω, die die folgenden Bedingungen erfüllt:
> * Σ enthält Ω.
> * Wenn Σ eine bestimmte Teilmenge S von Ω
> enthält, dann enthält Σ auch deren Komplement
> [mm]Ω\S.
[/mm]
> * Wenn Σ zwei oder mehr Teilmengen von Ω
> enthält, dann enthält Σ auch deren Vereinigungsmenge;
> dies gilt auch für eine Folge von abzählbar unendlich
> vielen Teilmengen."
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Bedeuten das zweite und dritte die Abgeschlossenheit des
> Komplements und der Vereinigung? (das habe ich nämlich auch
> irgendwo bei einer Definition gefunden)
Richtig. Eine [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] ist abgeschlossen gegenüber Komplement- und Vereinigungsbildungen.
> Was ich aber eigentlich wissen möchte, ist, was das dritte
> genau bedeutet, denn ich kann mir nicht vorstellen, dass es
> anders wäre, aber dann würde man es ja nicht in einer
> Definition erwähnen. Könnte mir jemand ein Beispiel geben,
> wo die dritte Bedingung nicht erfüllt ist???
Na klar!
Nehmen wir mal
[mm] $\Omega [/mm] = [mm] \{1,2,3,4\}$.
[/mm]
Dann definieren wir ein Mengensystem [mm] ${\cal A}$, [/mm] bestehend aus Teilmengen von [mm] $\Omega$, [/mm] wie folgt:
[mm] ${\cal A}:=\{ \emptyset, \Omega, \{1\}, \{2,3,4\}, \{2,3\}, \{1,4\}\}$.
[/mm]
Dann ist der erste Punkt erfüllt, da [mm] $\Omega$ [/mm] in dem Mengensystem enthalten ist.
Weiterhin ist mit jeder Menge auch deren Komplement in [mm] ${\cal A}$ [/mm] enthalten (z.B. ist ja das Komplement von [mm] $\{1\}$ [/mm] gerade die Menge [mm] $\{2,3,4\}$).
[/mm]
Aber: [mm] ${\cal A}$ [/mm] ist keine [mm] $\sigma$-Algebra, [/mm] da [mm] ${\cal A}$ [/mm] nicht abgeschlossen gegenüber Vereinigungsbildungen sind. So gilt nämlich [mm] $\{1\} \in {\cal A}$, $\{2,3\} \in {\cal A}$, [/mm] aber es gilt: [mm] $\{1\} \cup \{2,3\} =\{1,2,3\} \notin {\cal A}$.
[/mm]
> Hätte auch hier noch ein Beispiel und soll sagen, ob es
> eine Sigma-Algebra ist:
> A={{AAA},{BBB},{},M,{AAA,BBB}}
> wobei M die Menge aller Wörter mit drei Großbuchstaben
> ist.
>
> Ich bin der Meinung, es ist keine, weil z. B. das
> Komplement von {AAA} wäre doch die Menge aller Wörter mit
> drei Großbuchstaben ohne das Wort AAA, also zum Beispiel
> auch das Wort ABC, oder? (Es steht jedenfalls nirgendwo,
> dass nur die Buchstaben A und B vorkommen dürfen oder dass
> alle drei Buchstaben gleich sein müssen!)
Vollkommen richtig argumentiert! ![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]") ![[super]](/images/smileys/super.gif "[super]")
> Aber mich würde trotzdem interessieren, ob die dritte
> Bedingung hier erfüllt ist...
Die ist dort erfüllt, ja.
Ich hoffe es ist alles geklärt. Sonst meldest du dich einfach noch einmal. 
Liebe Grüße
Julius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:59 Do 21.10.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Julius!
Danke für das Gegenbeispiel - keine Ahnung, warum ich da nicht selber drauf gekommen bin, ist ja eigentlich nicht schwierig. Vielleicht hatte mich nur unsere Aufgabe verwirrt, bei der die dritte Bedingung ja erfüllt war... Aber jetzt hab' ich's kapiert und werd's bestimmt nicht mehr vergessen! 
Viele Grüße
|
|
|
|
