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| Aufgabe | Sei
[mm] \Omega [/mm] = R. Zeigen Sie, dass das Mengensystem
B := {A [mm] \subset \Omega [/mm] : A abzahlbar oder [mm] A^c [/mm] abzahlbar}
eine [mm] \sigma-Algebra [/mm] ist.
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Uns fehtl nur noch das dritte Axiom zum Beweis.. wir denken dass wir drei fälle machen müssen und
1.fall alle [mm] A_i [/mm] abzählbar => [mm] \bigcup_{i=1}^{\infty}A_i [/mm] abzählbar also [mm] \in [/mm] B
2.fall alle [mm] A_i [/mm] überabzählbar => alle [mm] A^c_i [/mm] abzählbar, dann wie 1.fall
3.fall Ein [mm] A_i [/mm] überabzählbar => ???
könnt ihr uns helfen???
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Hiho,
dir reichen sogar 2 Fälle:
> 1.fall alle [mm]A_i[/mm] abzählbar => [mm]\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i[/mm]
> abzählbar also [mm]\in[/mm] B
korrekt.
> 2.fall alle [mm]A_i[/mm] überabzählbar => alle [mm]A^c_i[/mm] abzählbar,
> dann wie 1.fall
Den brauchst du nicht, denn:
> 3.fall Ein [mm]A_i[/mm] überabzählbar => ???
Der reicht, denn der beinhaltet den 2.) Fall ja als Spezialfall.
Also: Sei ein [mm] A_i [/mm] überabzählbar, nennen wir das mal [mm] A_{i_0}, [/mm] dann ist [mm] $A_{i_0}^c$ [/mm] abzählbar.
Nun betrachte mal:
[mm] \left(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i\right)^c [/mm] und form ein bisschen um 
MFG,
Gono.
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Also wir haben uns jetzt gedacht, dass man dies ja dann mit den regeln von de morgan so umstellen kann, dass man dann
[mm] \bigcap_{i=1}^{\infty}A_i [/mm] hätte, da sich dann das C "reinziehen" würde... also wäre ja, da nur ein [mm] A_i [/mm] überabzählbar ist der Schnitt der gesamten [mm] A_i [/mm] abzählbar und der Beweis wäre fertig...
Ist das richtig so? danke schon mal für die Hilfe
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:01 Mo 26.04.2010 | | Autor: | HansPeter |
Sry. Aber das sollte eigentlich als frage gestellt sein
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Hallo,
> Also wir haben uns jetzt gedacht, dass man dies ja dann mit
> den regeln von de morgan so umstellen kann, dass man dann
> [mm]\bigcap_{i=1}^{\infty}A_i[/mm] hätte, da sich dann das C
> "reinziehen" würde... also wäre ja, da nur ein [mm]A_i[/mm]
> überabzählbar ist der Schnitt der gesamten [mm]A_i[/mm] abzählbar
> und der Beweis wäre fertig...
>
> Ist das richtig so?
Es klingt so, als hättet ihr's. Zum Vergleichen: Falls ein [mm] A_{k} [/mm] überabzählbar, betrachten wir das Komplement
[mm] $\left(\bigcup_{i\in\IN}A_{i}\right)^{c} [/mm] = [mm] \bigcap_{i\in\IN}A_{i}^{c}$
[/mm]
Da [mm] A_{k} [/mm] überabzählbar, ist [mm] A_{k}^{c} [/mm] aber sicher abzählbar (weil [mm] A_{k} [/mm] in der [mm] \sigma- [/mm] Algebra liegt). Das bedeutet, in obigem Schnitt befindet sich eine Menge (nämlich [mm] A_{k}^{c}), [/mm] die abzählbar ist. Damit ist der gesamte Schnitt abzählbar.
Also ist [mm] \left(\bigcup_{i\in\IN}A_{i}\right)^{c} [/mm] in der [mm] \sigma- [/mm] Algebra enthalten, und damit auch dessen Komplement [mm] \left(\bigcup_{i\in\IN}A_{i}\right), [/mm] was zu zeigen war.
Grüße,
Stefan
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