Sigma-Algebra bestimmen < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei [mm] $\Omega=\IZ$ [/mm] und [mm] $\epsilon=\{[-n,n]\cap \IZ \mid n \in \IN\}$. [/mm] Bestimmen Sie die von [mm] $\epsilon$ [/mm] erzeuge [mm] $\sigma$-Algebra! [/mm] |
Klar ist, dass [mm] $\Omega$ [/mm] und [mm] $\emptyset$ [/mm] drin sein müssen. Und auch die Mengen
[mm] $A:=\{[-n,n]\cap \IZ | n \in \IN\}$ [/mm] und [mm] $B=A^c$
[/mm]
müssen enthalten sein. Irgendwie komme ich nicht weiter. Vielleicht wisst ihr ja Rat!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:15 Do 17.07.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo,
> Sei [mm]\Omega=\IZ[/mm] und [mm]\epsilon=\{[-n,n]\cap \IZ \mid n \in \IN\}[/mm].
> Bestimmen Sie die von [mm]\epsilon[/mm] erzeuge [mm]\sigma[/mm]-Algebra!
schau bitte erstmal, wie ich den Quelltext editiert habe, damit es lesbar wird. Die Zahlenmengen mußt du mit vorangestelltem I angeben.
> Klar ist, dass [mm]\Omega[/mm] und [mm]\emptyset[/mm] drin sein müssen. Und
> auch die Mengen
>
> [mm]A:=\{[-n,n]\cap \IZ | n \in \IN\}[/mm] und [mm]B=A^c[/mm]
schon wahr, aber sind das deine einzigen Gedanken?
Hinsichtlich welcher Operationen muß eine [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] denn abgeschlossen sein?
Dann überlege weiter, welche Teilmengen von [mm] $\IZ$ [/mm] sich auf diese Weise erzeugen lassen.
Überlege besonders: Welche gemeinsame Eigenschaft haben sie alle?
Daraus folgt sofort, daß solche Teilmengen von [mm] $\IZ$, [/mm] die diese Eigenschaft nicht haben, sich nicht erzeugen lassen.
Mache dir einige Beispiele.
LG
Will
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> schau bitte erstmal, wie ich den Quelltext editiert habe,
> damit es lesbar wird. Die Zahlenmengen mußt du mit
> vorangestelltem I angeben.
Ja, sorry!
> schon wahr, aber sind das deine einzigen Gedanken?
> Hinsichtlich welcher Operationen muß eine [mm]\sigma[/mm]-Algebra
> denn abgeschlossen sein?
Hinsichtlich jeder Mengenoperation muss die [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] abgeschlossen sein. Z.B. muss auch drin sein [mm] $\{\{-n,n\}|n\in\IN\}$. [/mm] und natürlich das Komplement davon. Allgemein muss drin sein [mm] $\{([-n,n]\setminus[-m,m])\cap\IZ|n\geq m,n,m\in\IN\}$.
[/mm]
Aber ich sehe immer noch keinen allgemeinen Zusammenhang. ???
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:37 Do 17.07.2008 | | Autor: | Merle23 |
> >
> > schau bitte erstmal, wie ich den Quelltext editiert habe,
> > damit es lesbar wird. Die Zahlenmengen mußt du mit
> > vorangestelltem I angeben.
>
> Ja, sorry!
>
> > schon wahr, aber sind das deine einzigen Gedanken?
> > Hinsichtlich welcher Operationen muß eine
> [mm]\sigma[/mm]-Algebra
> > denn abgeschlossen sein?
>
> Hinsichtlich jeder Mengenoperation muss die [mm]\sigma[/mm]-Algebra
> abgeschlossen sein. Z.B. muss auch drin sein
> [mm]\{\{-n,n\}|n\in\IN\}[/mm]. und natürlich das Komplement davon.
> Allgemein muss drin sein
> [mm]\{([-n,n]\setminus[-m,m])\cap\IZ|n\geq m,n,m\in\IN\}[/mm].
>
Und mit n=m+1 haste dann die Menge [mm] \{-n,n\} [/mm] für alle [mm] n \in \IN. [/mm] Da in einer [mm] \sigma-Algebra [/mm] auch unendliche Vereinigungen drin sind, folgt damit ... .
> Aber ich sehe immer noch keinen allgemeinen Zusammenhang.
> ???
Schau dir meine Menge oben an. "Kleiner" geht sie nicht *wink-mit-dem-Zaunpfahl*.
>
>
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> > >
> > > schau bitte erstmal, wie ich den Quelltext editiert habe,
> > > damit es lesbar wird. Die Zahlenmengen mußt du mit
> > > vorangestelltem I angeben.
> >
> > Ja, sorry!
> >
> > > schon wahr, aber sind das deine einzigen Gedanken?
> > > Hinsichtlich welcher Operationen muß eine
> > [mm]\sigma[/mm]-Algebra
> > > denn abgeschlossen sein?
> >
> > Hinsichtlich jeder Mengenoperation muss die [mm]\sigma[/mm]-Algebra
> > abgeschlossen sein. Z.B. muss auch drin sein
> > [mm]\{\{-n,n\}|n\in\IN\}[/mm]. und natürlich das Komplement davon.
> > Allgemein muss drin sein
> > [mm]\{([-n,n]\setminus[-m,m])\cap\IZ|n\geq m,n,m\in\IN\}[/mm].
> >
>
> Und mit n=m+1 haste dann die Menge [mm]\{-n,n\}[/mm] für alle [mm]n \in \IN.[/mm]
> Da in einer [mm]\sigma-Algebra[/mm] auch unendliche Vereinigungen
> drin sind, folgt damit ... .
Ok: Es muss auch [mm] $\bigcup_n \{-n,n\}$ [/mm] drin sein. Und nu?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:55 Do 17.07.2008 | | Autor: | Merle23 |
Du kannst beliebige Mengen, die in der [mm] \sigma-Algebra [/mm] sind, vereinigen - dazu müssen sie nicht "in Reihenfolge" sein, so wie du es mit dem großen Vereinigungszeichen ausdrückst (auch wenn es vll so von dir nicht gewollt war).
Damit folgt, dass alle Teilmengen von [mm] \IZ [/mm] in der [mm] \sigma-Algebra [/mm] sind, die eine einzige Bedingung erfüllen, und die wäre ... .
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> Du kannst beliebige Mengen, die in der [mm]\sigma-Algebra[/mm] sind,
> vereinigen - dazu müssen sie nicht "in Reihenfolge" sein,
> so wie du es mit dem großen Vereinigungszeichen ausdrückst
> (auch wenn es vll so von dir nicht gewollt war).
Ja, machen wir das genauer so: [mm] $\bigcup_{n\in I}\{-n,n\}$ [/mm] für eine beliebige Indexmenge [mm] $I\subset \IN$ [/mm] (hier in [mm] $\IN$ [/mm] ist die 0 enthalten)? Oder irre mich jetzt?
Setze
[mm] $A:=\{\bigcup_{n\in I}\{-n,n\}|\text{alle Indexmengen }I\subset \IN\}$
[/mm]
> Damit folgt, dass alle Teilmengen von [mm]\IZ[/mm] in der
> [mm]\sigma-Algebra[/mm] sind, die eine einzige Bedingung erfüllen,
> und die wäre ... .
Also [mm] $\sigma(\epsilon)=A\neq 2^{\Omega}$
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:12 Fr 18.07.2008 | | Autor: | Merle23 |
> > Du kannst beliebige Mengen, die in der [mm]\sigma-Algebra[/mm] sind,
> > vereinigen - dazu müssen sie nicht "in Reihenfolge" sein,
> > so wie du es mit dem großen Vereinigungszeichen ausdrückst
> > (auch wenn es vll so von dir nicht gewollt war).
>
> Ja, machen wir das genauer so: [mm]\bigcup_{n\in I}\{-n,n\}[/mm] für
> eine beliebige Indexmenge [mm]I\subset \IN[/mm] (hier in [mm]\IN[/mm] ist die
> 0 enthalten)? Oder irre mich jetzt?
>
> Setze
>
> [mm]A:=\{\bigcup_{n\in I}\{-n,n\}|\text{alle Indexmengen }I\subset \IN\}[/mm]
>
> > Damit folgt, dass alle Teilmengen von [mm]\IZ[/mm] in der
> > [mm]\sigma-Algebra[/mm] sind, die eine einzige Bedingung erfüllen,
> > und die wäre ... .
>
> Also [mm]\sigma(\epsilon)=A\neq 2^{\Omega}[/mm]
>
Du solltest vielleicht noch diese eine Eigenschaft benennen, nämlich das alle Mengen in der [mm] \sigma-Algebra [/mm] "symmetrisch" zum Nullpunkt sind, also wenn n drin ist, dann auch -n.
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> > > Du kannst beliebige Mengen, die in der [mm]\sigma-Algebra[/mm] sind,
> > > vereinigen - dazu müssen sie nicht "in Reihenfolge" sein,
> > > so wie du es mit dem großen Vereinigungszeichen ausdrückst
> > > (auch wenn es vll so von dir nicht gewollt war).
> >
> > Ja, machen wir das genauer so: [mm]\bigcup_{n\in I}\{-n,n\}[/mm] für
> > eine beliebige Indexmenge [mm]I\subset \IN[/mm] (hier in [mm]\IN[/mm] ist die
> > 0 enthalten)? Oder irre mich jetzt?
> >
> > Setze
> >
> > [mm]A:=\{\bigcup_{n\in I}\{-n,n\}|\text{alle Indexmengen }I\subset \IN\}[/mm]
>
> >
> > > Damit folgt, dass alle Teilmengen von [mm]\IZ[/mm] in der
> > > [mm]\sigma-Algebra[/mm] sind, die eine einzige Bedingung erfüllen,
> > > und die wäre ... .
> >
> > Also [mm]\sigma(\epsilon)=A\neq 2^{\Omega}[/mm]
> >
>
> Du solltest vielleicht noch diese eine Eigenschaft
> benennen, nämlich das alle Mengen in der [mm]\sigma-Algebra[/mm]
> "symmetrisch" zum Nullpunkt sind, also wenn n drin ist,
> dann auch -n.
Oki Doki!
Aber wie zeigt man nun, dass dies tatsächlich die kleinste [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] ist. Annahme: Es gibt eine kleinere - nenne sie F - so dass
[mm] $\epsilon\subset F\subset [/mm] A$.
zu zeigen: [mm] $A\subset [/mm] F$.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:39 Fr 18.07.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Aber wie zeigt man nun, dass dies tatsächlich die kleinste
> [mm]\sigma[/mm]-Algebra ist. Annahme: Es gibt eine kleinere - nenne
> sie F - so dass
>
> [mm]\epsilon\subset F\subset A[/mm].
>
> zu zeigen: [mm]A\subset F[/mm].
>
Das es die kleinste ist, folgt aus unserer Konstruktion. Wir haben sukzessiv alle Teilmengen reingenommen in unsere [mm] \sigma-Algebra, [/mm] die laut den Axiomen drin sein müssen - weniger geht nicht, denn wir haben ja nur die Axiome angewandt bisher.
Viel wichtiger ist die Frage, ob wir damit alle erwischt haben.... aber das folgt daraus, dass alle Teilmengen diese eine Eigenschaft erfüllen müssen, und wir haben alle Teilmengen reingenommen, die das machen.
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Nehmen wir jetzt mal
[mm] $\epsilon=\{[-n/2,(n+1)/2]\cap \IZ|n\in \IN\}=\{\{0\},\{0,1\},\{-1,0,1\},...\}$.
[/mm]
Wieso folgt nun [mm] $\sigma(\epsilon)=2^{\IZ}$??? [/mm] (*)
Man beobachtet, dass jede ganze Zahl in der [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] enthalten sein muss. Also folgt sofort (*), stimmts?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:01 Fr 18.07.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Nehmen wir jetzt mal
>
> [mm]\epsilon=\{[-n/2,(n+1)/2]\cap \IZ|n\in \IN\}=\{\{0\},\{0,1\},\{-1,0,1\},...\}[/mm].
>
> Wieso folgt nun [mm]\sigma(\epsilon)=2^{\IZ}[/mm]??? (*)
>
> Man beobachtet, dass jede ganze Zahl in der [mm]\sigma[/mm]-Algebra
> enthalten sein muss. Also folgt sofort (*), stimmts?
>
Richtig.
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