Sigma-endliches Maß < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:17 Sa 13.12.2014 | | Autor: | James90 |
Hi!
Sei F eine Sigma-Algebra über [mm] \Omega\not=\emptyset. [/mm] Eine Abbildung [mm] $\mu\colon F\to[0,\infty]$ [/mm] heißt Maß auf F, falls gelten:
i) [mm] \mu(\emptyset)=0
[/mm]
ii) Für jede Folge [mm] (A_n) [/mm] paarweise disjunkter Mengen aus F gilt: [mm] \mu(\bigcup_{n\in\IN}A_n)=\sum_{n\in\IN}\mu(A_n)
[/mm]
[mm] \mu [/mm] heißt Sigma-endlich, falls eine aufsteigende Folge [mm] (\Omega_n) [/mm] von messbaren Teilmengen von [mm] \Omega [/mm] existiert mit [mm] \Omega=\bigcup_{n\in\IN}\Omega_n [/mm] und [mm] \mu(\Omega_n)<\infty [/mm] für jedes [mm] n\in\IN
[/mm]
Ich verstehe die Sigma-endlich Eigenschaft nicht. Wieso wird von messbaren Teilmengen von [mm] \Omega [/mm] gesprochen? Wenn F eine Sigma-Algebra über [mm] \Omega\not=0 [/mm] ist, dann ist [mm] (\Omega,F) [/mm] ein messbarerer Raum und die Elemente von F heißen messbare Mengen. Damit sind messbare Teilmengen von [mm] \Omega [/mm] nichts anderes als Elemente von F. Wieso spricht man nicht einfach von einer Folge [mm] (A_n) [/mm] in F? Außerdem verstehe ich nicht weshalb die Folge aufsteigend sein muss. Kann mir das bitte jemand erklären?
Vielen Dank, James.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:17 Sa 13.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hi!
>
> Sei F eine Sigma-Algebra über [mm]\Omega\not=\emptyset.[/mm] Eine
> Abbildung [mm]\mu\colon F\to[0,\infty][/mm] heißt Maß auf F, falls
> gelten:
> i) [mm]\mu(\emptyset)=0[/mm]
> ii) Für jede Folge [mm](A_n)[/mm] paarweise disjunkter Mengen aus
> F gilt: [mm]\mu(\bigcup_{n\in\IN}A_n)=\sum_{n\in\IN}\mu(A_n)[/mm]
>
> [mm]\mu[/mm] heißt Sigma-endlich, falls eine aufsteigende Folge
> [mm](\Omega_n)[/mm] von messbaren Teilmengen von [mm]\Omega[/mm] existiert
> mit [mm]\Omega=\bigcup_{n\in\IN}\Omega_n[/mm] und
> [mm]\mu(\Omega_n)<\infty[/mm] für jedes [mm]n\in\IN[/mm]
>
> Ich verstehe die Sigma-endlich Eigenschaft nicht. Wieso
> wird von messbaren Teilmengen von [mm]\Omega[/mm] gesprochen? Wenn F
> eine Sigma-Algebra über [mm]\Omega\not=0[/mm] ist, dann ist
> [mm](\Omega,F)[/mm] ein messbarerer Raum und die Elemente von F
> heißen messbare Mengen. Damit sind messbare Teilmengen von
> [mm]\Omega[/mm] nichts anderes als Elemente von F. Wieso spricht man
> nicht einfach von einer Folge [mm](A_n)[/mm] in F?
Das hätte man auch so ausdrücken können.
> Außerdem
> verstehe ich nicht weshalb die Folge aufsteigend sein muss.
Das gehört zur Def.
FRED
> Kann mir das bitte jemand erklären?
>
> Vielen Dank, James.
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:41 Sa 13.12.2014 | | Autor: | James90 |
Danke für deine Antwort. Ich habe auf Wikipedia die Eigenschaft eines Sigma-endlichen Maßes als Definition gefunden. Dort steht: Ein positives Maß [mm] \mu, [/mm] definiert auf einer Sigma-Algebra A über einer Grundmenge [mm] \Omega [/mm] heißt Sigma-endlich, wenn es abzählbar viele messbare Mengen [mm] $A\in [/mm] A$ mit endlichem Maß, das heißt [mm] \mu(A)<\infty [/mm] gibt, deren Vereinigung [mm] \Omega [/mm] ist. Aus welchem Grund steht hier nichts mit aufsteigender Folge? Überlese ich etwas, das eine aufsteigende Folge impliziert? Vielen Dank erneut!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:46 Sa 13.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> Danke für deine Antwort. Ich habe auf Wikipedia die
> Eigenschaft eines Sigma-endlichen Maßes als Definition
> gefunden. Dort steht: Ein positives Maß [mm]\mu,[/mm] definiert auf
> einer Sigma-Algebra A über einer Grundmenge [mm]\Omega[/mm] heißt
> Sigma-endlich, wenn es abzählbar viele messbare Mengen
> [mm]A\in A[/mm] mit endlichem Maß, das heißt [mm]\mu(A)<\infty[/mm] gibt,
> deren Vereinigung [mm]\Omega[/mm] ist. Aus welchem Grund steht hier
> nichts mit aufsteigender Folge? Überlese ich etwas, das
> eine aufsteigende Folge impliziert? Vielen Dank erneut!
Die beiden Def. sind äquivalent. Zeige dies.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:57 Sa 13.12.2014 | | Autor: | James90 |
Danke für die Antwort!
Sei [mm] (\Omega,F,\mu) [/mm] ein Maßraum.
1.Definition:
[mm] \mu [/mm] heißt Sigma-endlich, falls eine aufsteigende Folge [mm] (A_n) [/mm] in F mit [mm] \Omega=\bigcup_{n\in\IN}A_n [/mm] existiert und [mm] \mu(A_n)<\infty [/mm] für alle [mm] n\in\IN.
[/mm]
2.Definition:
[mm] \mu [/mm] heißt Sigma-endlich, falls es abzählbar viele messbare Mengen [mm] $A\in [/mm] F$ mit endlichem Maß, das heißt [mm] \mu(A)<\infty [/mm] gibt, deren Vereinigung [mm] \Omega [/mm] ist.
1->2:
Sei [mm] (A_n) [/mm] eine aufsteigende Folge in F mit [mm] \Omega=\bigcup_{n\in\IN}A_n [/mm] und es gelte [mm] \mu(A_n)<\infty [/mm] für alle [mm] n\in\IN.
[/mm]
Wegen der Sigma-Stetigkeit von unten erhalten wir [mm] \lim_{n\to\infty}\mu(A_n)=\mu(A). [/mm] Wegen [mm] \mu(A_n)<\infty [/mm] für alle [mm] n\in\IN [/mm] ist [mm] \lim_{n\to\infty}\mu(A_n)<\infty [/mm] und damit [mm] \mu(A)<\infty.
[/mm]
2->1:
[mm] \IN [/mm] ist abzählbar und damit definieren wir eine Folge [mm] (A_n)_{n\in\IN} [/mm] in F. Diese können wir aufsteigend sortieren.
Dann folgt aus der Monotonie des Maßes [mm] \mu(A_1)\le\mu(A_2)\le\ldots [/mm] und wegen [mm] \m(A_n)<\infty [/mm] für alle [mm] n\in\IN [/mm] die Aussage.
Ich bitte um Kontrolle.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:28 Mi 17.12.2014 | | Autor: | James90 |
Hi, ich hoffe, dass es in Ordnung ist seine Frage zu pushen. In den Forenregeln habe ich diesbezüglich nichts gefunden. Ich wäre über eine Antwort weiterhin sehr dankbar.
Das sollte eine Mitteilung werden...
|
|
|
| |
|
> Danke für die Antwort!
>
> Sei [mm](\Omega,F,\mu)[/mm] ein Maßraum.
>
> 1.Definition:
>
> [mm]\mu[/mm] heißt Sigma-endlich, falls eine aufsteigende Folge
> [mm](A_n)[/mm] in F mit [mm]\Omega=\bigcup_{n\in\IN}A_n[/mm] existiert und
> [mm]\mu(A_n)<\infty[/mm] für alle [mm]n\in\IN.[/mm]
>
> 2.Definition:
>
> [mm]\mu[/mm] heißt Sigma-endlich, falls es abzählbar viele
> messbare Mengen [mm]A\in F[/mm] mit endlichem Maß, das heißt
> [mm]\mu(A)<\infty[/mm] gibt, deren Vereinigung [mm]\Omega[/mm] ist.
>
> 1->2:
>
> Sei [mm](A_n)[/mm] eine aufsteigende Folge in F mit
> [mm]\Omega=\bigcup_{n\in\IN}A_n[/mm] und es gelte [mm]\mu(A_n)<\infty[/mm]
> für alle [mm]n\in\IN.[/mm]
> Wegen der Sigma-Stetigkeit von unten erhalten wir
> [mm]\lim_{n\to\infty}\mu(A_n)=\mu(A).[/mm]
Wegen [mm]\mu(A_n)<\infty[/mm]
> für alle [mm]n\in\IN[/mm] ist [mm]\lim_{n\to\infty}\mu(A_n)<\infty[/mm] und
> damit [mm]\mu(A)<\infty.[/mm]
Das ist sicherlich nicht richtig. Nimm mal für [mm] $\mu$ [/mm] das eindimensionale Lebesgue-Maß [mm] $\lambda$ [/mm] auf [mm] $\IR$. [/mm] Setze dann [mm] $A_{n}=\left[-n, n\right]$. [/mm] Dann ist ja bekanntermaßen [mm] $\lambda\left(A_{n}\right)=2n [/mm] < [mm] \infty$. [/mm] Also gilt nicht: Aus [mm] $\mu\left(A_{n}\right) [/mm] < [mm] \infty$ [/mm] für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] folgt [mm] $\lim\limits_{n \to \infty} \mu\left(A_{n}\right) [/mm] < [mm] \infty$.
[/mm]
Um 1 [mm] $\rightarrow$ [/mm] 2 zu zeigen: Du hast doch aus 1, dass eine monoton wachsende Folge [mm] $A_{n}$ [/mm] existiert mit [mm] $\Omega=\bigcup\limits_{n \in \IN} A_{n}$. [/mm] Du willst zeigen, dass abzählbar viele messbare Mengen [mm] $\tilde{A_{j}}$ [/mm] existieren mit [mm] $\Omega=\bigcup\limits_{j \in \IN} \tilde{A}_{j}$, [/mm] wobei [mm] $\mu\left(\tilde{A}_{j}\right)< \infty$ [/mm] für jedes $ j [mm] \in \IN [/mm] $ gelten soll. Wie wählst du nun die Mengen [mm] $\tilde{A}_{j}$ [/mm]
>
> 2->1:
>
> [mm]\IN[/mm] ist abzählbar und damit definieren wir eine Folge
> [mm](A_n)_{n\in\IN}[/mm] in F. Diese können wir aufsteigend
> sortieren.
Das können wir sicherlich nicht immer. Nimm zu beispiel wieder $R$ her. Dann definieren wir die Intervalle [mm] $\left[k, k+1\right]$ [/mm] für $k [mm] \in \IZ$. [/mm] Dann sind die Intervalle disjunkt und können somit im mengentechnischen Sinne nicht geordnet werden.
Nach 2 existieren messbare Mengen [mm] $A_{j}$ [/mm] mit [mm] $\Omega=\bigcup\limits_{j \in \IN}$. [/mm] Definiere [mm] $B_{k}:=\bigcup\limits_{j=1}^{k}A_{j}$
[/mm]
Zeige nun
1) Alle Mengen [mm] $B_{k}$ [/mm] sind messbar
2) Die Mengenfolge [mm] $B_{k}$ [/mm] ist monoton
3) [mm] $\Omega=\bigcup\limits_{k \in \IN} B_{k}$
[/mm]
4) [mm] $\mu\left(B_{k}\right)< \infty$ [/mm] für jedes $k [mm] \in \IN$
[/mm]
> Dann folgt aus der Monotonie des Maßes
> [mm]\mu(A_1)\le\mu(A_2)\le\ldots[/mm] und wegen [mm]\m(A_n)<\infty[/mm] für
> alle [mm]n\in\IN[/mm] die Aussage.
>
> Ich bitte um Kontrolle.
|
|
|
|
