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Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie" - Sigma berechnen
Sigma berechnen < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Sigma berechnen: bitte Korrektur lesen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:38 Mi 09.04.2008
Autor: Nette20

Aufgabe
Es sei [mm] \varepsilon=\{\{1,2,3,4\},\{2\},\{1,4,5\}\} [/mm] . Konstruiere [mm] \sigma(\varepsilon). [/mm]

Hallöchen!
Ich habe dazu folgendes gelöst. Ich würde mich freuen, wenn das jemand korrektur lesen würde.

Ich muss die Schnitte, die Vereinigungen und die Komplemente der Mengen aufstellen. Dazu die leere Menge und alle.

[mm] A=\{1,2,3,4\} [/mm]
[mm] B=\{2\} [/mm]
[mm] C=\{1,4,5\} [/mm]

Schnitte
[mm] A\cap B=\{2\} [/mm]
[mm] A\cap C=\{1,4\} [/mm]
[mm] B\cap C=\emptyset [/mm]

Vereinigungen:
[mm] A\cup B=\{1,2,3,4\} [/mm]
[mm] A\cup C=\{1,2,3,4,5\} [/mm]
[mm] B\cup C=\{1,2,4,5\} [/mm]

Komplemente:
[mm] (A\cap B)^C=\{1,3,4\} [/mm]
[mm] (A\cap C)^C=\{2,3\} [/mm]
[mm] (B\cap C)^C=\{1,2,3,4,5\} [/mm]

[mm] \sigma(\varepsilon)=(\emptyset,\{2\},\{1,4\},\{1,2,3,4\},\{1,2,3,4,5\},\{1,2,4,5\},\{1,3,4\},\{2,3\},\varepsilon) [/mm]

Richtig???
Vielen Dank!

        
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Sigma berechnen: Unvollständig
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:16 Mi 09.04.2008
Autor: subclasser

Hallo Nette!

Das kann leider so noch nicht stimmen, denn deine Antwort ist keine Sigma-Algebra: {2}, {1, 4} sind z.B. Elemente deiner Lösung, ihre Vereinigung aber nicht.

Gruß!

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Sigma berechnen: ohne Ende
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:22 Mi 09.04.2008
Autor: Nette20

Hi!
Danke für Deine Antwort!

Das nimmt dann ja gar kein Ende.

Nehmen wir an, dass
{1,4}=D
{1,2,3,4,5}=E

Dann muss ich also Schnitt, Vereinigung und Komplement von A und B und C und E mit D. Und auch Schnitt, Vereinigung und Komplement von A und B und C und D mit E. usw???

Das ist ja unheimlich viel. Zwar tauchen viele Mengen doppelt auf aber trotzdem.

Geht das nicht auch einfacher?
Vielen Dank!
Janett

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Sigma berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:53 Do 10.04.2008
Autor: Zneques

Hallo,

> Geht das nicht auch einfacher?

Grundsätzlich erstmal : Nein.

Jedoch läßt sich mit einem genauerem Blick erkennen, dass 1 und 4 nur im Doppelpack auftauchen. D.h. es wird keine Menge mit 1, aber ohne die 4 geben. (bzw. mit 4 ohne 1)
Weiterhin kann man [mm] \{1,4\}, \{2\}, \{3\}, \{5\} [/mm] erzeugen. Was heißt das ?


Ciao.

Bezug
                                
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Sigma berechnen: nächster Versuch
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:55 Do 10.04.2008
Autor: Nette20

Hallo!

puhhhh. Hoffe, dass ich jetzt alle Möglichkeiten durch habe.

Mein Ergebnis:

Sigma( [mm] \varepsilon) [/mm] = ( [mm] \emptyset, [/mm] {1,2,3,4}, {2}, {1,4,5}, {1,4}, {1,2,3,4,5}, {1,2,4,5}, {1,3,4}, {2,3}, {1,2,4}, {5}, {2,3,5}, {2,5}, {3}, {1,3,4,5}, {3,5}, [mm] \varepsilon [/mm] )

Noch eine kleine Frage: Ist die Schreibweise (Klammern und Art der Klammern) so richtig?

Danke!
Janett

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Sigma berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:35 Do 10.04.2008
Autor: Zneques


> Sigma( $ [mm] \varepsilon) [/mm] $ = ( $ [mm] \emptyset, [/mm] $ {1,2,3,4}, {2}, {1,4,5}, {1,4}, {1,2,3,4,5}, {1,2,4,5}, {1,3,4}, {2,3}, {1,2,4}, {5}, {2,3,5}, {2,5}, {3}, {1,3,4,5}, {3,5}, [mm] \red{\varepsilon} [/mm] )

Das was du meinst ist sicher [mm] \Omega. [/mm] Also die Menge, die aus allen möglichen Elementen besteht. Das wäre aber [mm] \Omega=\{1,2,3,4,5\}, [/mm] und diese ist schon in deiner Aufzählung.

> Noch eine kleine Frage: Ist die Schreibweise (Klammern und Art der Klammern) so richtig?

Nein. Die Sigmaalgebra ist eine Menge, genauso wie die einzelnen Teile.
Du musst somit jeweils [mm] \{\} [/mm] benutzen.
[mm] \{ \emptyset, \{1,2,3,4\}, \{2\}, ... \} [/mm]

Ciao.

Bezug
                                                
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Sigma berechnen: Version 3
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:21 Do 10.04.2008
Autor: Nette20

Hi!
Also wenn ich [mm] \varepsilon [/mm] gegen [mm] \Omega [/mm] austausche, die () gegen {} tausche und {1,2,3,4,5} in der Auflistung streiche, ist es richtig?
Danke für Deine Hilfe!
Janett

Bezug
                                                        
Bezug
Sigma berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:22 Do 10.04.2008
Autor: Zneques

Dann stimmt das alles.

Ciao.

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