Signatur Bilinearform < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:09 Di 24.08.2010 | | Autor: | natascha |
| Aufgabe | Sei V der reelle Vektorraum der Polynome mit reellen Koeffizienten vom Grade kleiner gleich 3:
V:{p(x)=a0+a1x+a2x²+a3x³, ai in R}
(a) Bestimme die Dimension von V und beweise, dass die Formel
(p1,p2) := [mm] \integral_{-1}^{1}{p1(x)p2(x)x^{2}dx} [/mm] eine symmetrische Bilinearform auf V definiert
(b) Bestimme die Signatur der obigen symmetrischen Bilinearform
(c) Finde eine Basis von V in welcher die Matrix der Bilinearform diagonal ist |
Hallo,
Aufgabe (a) konnte ich bereits beweisen, jedoch habe ich eine Frage zu (b), denn da komme ich einfach nicht weiter:
Soweit bin ich:
Die dimV ist = 4 , also ist {1,x,x²,x³} eine Basis für V.
Ich weiss, dass die Signatur von einer Diagonalmatrix abgelesen werden kann, indem man die Diagonaleinträge ordnet je nach dem ob sie Vielfache von 0, 1 oder -1 sind.
Wie finde ich jedoch so die Signatur bzw. eine entsprechende Matrix?
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:12 Di 24.08.2010 | | Autor: | fred97 |
Schau mal hier nach:
http://de.wikipedia.org/wiki/Signatur_(Mathematik)
In Deinem Fall sind die Räume [mm] V_0, V_{+} [/mm] und [mm] V_{-} [/mm] recht einfach zu bestimmen.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:24 Di 24.08.2010 | | Autor: | natascha |
Hallo,
Danke erstmal für die Antwort. Sehe ich es richtig, dass der V0 dann ist, wenn (p1,p1)=0 ist, in meinem Fall? Dies müsste ja eigentlich immer der Fall sein, weil es dann ein Quadrat gibt (p1(x)*p1(x)) und das zusätzliche x². Weil das Integral symmetrisch ist (also von -1 nach 1), müsste es dann 0 geben, oder sehe ich da etwas nicht?
Das würde bedeuten, dass die Signatur (4,0,0) wäre. Stimmt das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:37 Di 24.08.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> Danke erstmal für die Antwort. Sehe ich es richtig, dass
> der V0 dann ist, wenn (p1,p1)=0 ist, in meinem Fall? Dies
> müsste ja eigentlich immer der Fall sein, weil es dann ein
> Quadrat gibt (p1(x)*p1(x)) und das zusätzliche x². Weil
> das Integral symmetrisch ist (also von -1 nach 1), müsste
> es dann 0 geben, oder sehe ich da etwas nicht?
> Das würde bedeuten, dass die Signatur (4,0,0) wäre.
> Stimmt das?
Nein. Hast Du richtig gelesen ?
Ist p [mm] \in V_0, [/mm] so ist (p,q)= 0 für alle q [mm] \in [/mm] V, also auch (p,p)=0
D.h.: [mm] \integral_{-1}^{1}{p(x)^2x^2 dx}=0
[/mm]
Was folgt für p ???
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:23 Di 24.08.2010 | | Autor: | natascha |
> Nein. Hast Du richtig gelesen ?
>
> Ist p [mm]\in V_0,[/mm] so ist (p,q)= 0 für alle q [mm]\in[/mm] V, also auch
> (p,p)=0
>
> D.h.: [mm]\integral_{-1}^{1}{p(x)^2x^2 dx}=0[/mm]
>
> Was folgt für p ???
> X_+ := [mm] \{v \in V: s(v,v)>0\},
[/mm]
X_- := [mm] \{v \in V: s(v,v)<0\} [/mm] bzw.
[mm] X_0 [/mm] := [mm] \{v \in V: s(v,v)=0\}. [/mm]
> FRED
>
Leider verstehe ich das immer noch nicht, wie das funktionieren soll. Wir haben ja eine Basis (1,x,x²,x³) und die Signatur sollte ja gleich sein für jede Basis, soweit ich das verstanden habe. Also nochmal langsam:
X_+ := [mm] \{v \in V: s(v,v)>0\},
[/mm]
X_- := [mm] \{v \in V: s(v,v)<0\} [/mm] bzw.
[mm] X_0 [/mm] := [mm] \{v \in V: s(v,v)=0\}. [/mm]
In meinem Fall wäre das immer (p,p)=0, (p,p)<0 und (p,p)>0, also das ganze bezieht sich immer auf den Fall, dass zwei gleiche Elemente genommen werden?
[mm]\integral_{-1}^{1}{p(x)^2x^2 dx}=0[/mm]
Das ist ein Integral von zwei positiven Zahlen (da zwei Quadrate...)...irgendwie komm ich gar nicht weiter...
Danke für die Geduld :)
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Hallo!
> > Nein. Hast Du richtig gelesen ?
> >
> > Ist p [mm]\in V_0,[/mm] so ist (p,q)= 0 für alle q [mm]\in[/mm] V, also auch
> > (p,p)=0
> >
> > D.h.: [mm]\integral_{-1}^{1}{p(x)^2x^2 dx}=0[/mm]
> >
> > Was folgt für p ???
> > X_+ := [mm]\{v \in V: s(v,v)>0\},[/mm]
> X_- := [mm]\{v \in V: s(v,v)<0\}[/mm]
> bzw.
> [mm]X_0[/mm] := [mm]\{v \in V: s(v,v)=0\}.[/mm]
> > FRED
> >
> Leider verstehe ich das immer noch nicht, wie das
> funktionieren soll. Wir haben ja eine Basis (1,x,x²,x³)
> und die Signatur sollte ja gleich sein für jede Basis,
> soweit ich das verstanden habe. Also nochmal langsam:
> X_+ := [mm]\{v \in V: s(v,v)>0\},[/mm]
> X_- := [mm]\{v \in V: s(v,v)<0\}[/mm]
> bzw.
> [mm]X_0[/mm] := [mm]\{v \in V: s(v,v)=0\}.[/mm]
> In meinem Fall wäre das immer (p,p)=0, (p,p)<0 und
> (p,p)>0, also das ganze bezieht sich immer auf den Fall,
> dass zwei gleiche Elemente genommen werden?
Genau. Und p ist ein Element deines Vektorraums.
> [mm]\integral_{-1}^{1}{p(x)^2x^2 dx}=0[/mm]
> Das ist ein Integral
> von zwei positiven Zahlen (da zwei Quadrate...)...irgendwie
> komm ich gar nicht weiter...
Unter dem Integral steht eine stetige Funktion (Polynom).
Diese stetige Funktion ist immer [mm] \ge [/mm] 0 (da Quadrate).
Das Integral selbst ist aber Null.
--> p = ?
(Es gibt nur eine Möglichkeit, was p für ein Polynom sein kann!)
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:10 So 29.08.2010 | | Autor: | natascha |
Hi,
Erstmal vielen Dank für die Antworten.
Ich habe mir das jetzt nochmal in Ruhe angesehen und versucht zu verstehen:
> Unter dem Integral steht eine stetige Funktion (Polynom).
> Diese stetige Funktion ist immer [mm]\ge[/mm] 0 (da Quadrate).
> Das Integral selbst ist aber Null.
>
> --> p = ?
> (Es gibt nur eine Möglichkeit, was p für ein Polynom
> sein kann!)
Das heisst die Fläche unter der Kurve ist 0, d.h. zum Beispiel kann das passieren, wenn eine Funktion symmmetrisch ist vom Quadranten unten links im Koordinatensystem zu dem Quadranten oben rechts. Das kann jedoch in diesem Fall nicht sein, weil p ja immer grösser als 0 ist...also bleibt nur noch die Möglichkeit, dass p die konstante Nullfunktion ist? Oder ist das jetzt ganz daneben?
Liebe Grüsse,
n.
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Hallo,
> Hi,
>
> Erstmal vielen Dank für die Antworten.
> Ich habe mir das jetzt nochmal in Ruhe angesehen und
> versucht zu verstehen:
>
> > Unter dem Integral steht eine stetige Funktion (Polynom).
> > Diese stetige Funktion ist immer [mm]\ge[/mm] 0 (da Quadrate).
> > Das Integral selbst ist aber Null.
> >
> > --> p = ?
> > (Es gibt nur eine Möglichkeit, was p für ein Polynom
> > sein kann!)
>
> Das heisst die Fläche unter der Kurve ist 0, d.h. zum
> Beispiel kann das passieren, wenn eine Funktion
> symmmetrisch ist vom Quadranten unten links im
> Koordinatensystem zu dem Quadranten oben rechts. Das kann
> jedoch in diesem Fall nicht sein, weil p ja immer grösser
> als 0 ist...also bleibt nur noch die Möglichkeit, dass p
> die konstante Nullfunktion ist? Oder ist das jetzt ganz
> daneben?
Nein, das ist vollkommen richtig!
Merke dir das:
- f stetig, es gilt [mm] $f\ge [/mm] 0$ auf [a,b] und [mm] $\int_{a}^{b}f(x) [/mm] dx = 0$ [mm] \Rightarrow [/mm] $f = 0$ auf [a,b].
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:23 So 29.08.2010 | | Autor: | natascha |
Hi,
Heisst das nun, dass die Signatur (0,0,n) ist? Weil es tritt ja dann immer der Fall auf, dass es =0 gibt und die Fälle <0 und >0 treten nicht auf. Ist das richtig?
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Hallo!
> Hi,
>
> Heisst das nun, dass die Signatur (0,0,n) ist?
Nein.
> Weil es
> tritt ja dann immer der Fall auf, dass es =0 gibt und die
> Fälle <0 und >0 treten nicht auf. Ist das richtig?
Nein. Nochmal zum Ausgangspunkt: Wir wollten die Mengen
[mm] $X_{0} [/mm] := [mm] \{p\in V:(p,p)=0\}$
[/mm]
[mm] $X_{+} [/mm] := [mm] \{p\in V:(p,p)>0\}$
[/mm]
[mm] $X_{-} [/mm] := [mm] \{p\in V:(p,p)<0\}$
[/mm]
Wir haben mit [mm] X_{0} [/mm] angefangen. Um herauszufinden, welche Mengen in [mm] X_{0} [/mm] liegen, haben wir ausgehend von (p,p) = 0 herausgefunden, dass dann p = 0 sein muss. Das bedeutet: [mm] $X_{0} [/mm] = [mm] \{0\}$ [/mm] beinhaltet nur das Nullpolynom. Die Dimension von [mm] X_{0} [/mm] ist also 0.
Nun musst du die anderen beiden Räume bestimmen!
Wann gilt (p,p) > 0?
Es ist ja
$(p,p) = [mm] \int_{-1}^{1}p^{2}(x)*x^{2} [/mm] dx$
Im Integranden stehen nur positive Funktionen. Wenn also p nicht gerade das Nullpolynom ist, so ist das Integral stets ... ? ...
Was bedeutet das für [mm] X_{+} [/mm] und [mm] X_{-} [/mm] ?
Was bedeutet das für die Signatur?
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Fred hat dir ja diesen Weg vorgeschlagen (er ist in diesem Fall wohl auch wirklich der einfachste). Was habt ihr für Möglichkeiten kennen gelernt, die Signatur zu bestimmen? Vielleicht möchtest du es lieber mit einem von euren Verfahren machen?
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:47 So 29.08.2010 | | Autor: | natascha |
> Nein. Nochmal zum Ausgangspunkt: Wir wollten die Mengen
Hallo Stefan,
Danke für deine Antwort.
>
> Wir haben mit [mm]X_{0}[/mm] angefangen. Um herauszufinden, welche
> Mengen in [mm]X_{0}[/mm] liegen, haben wir ausgehend von (p,p) = 0
> herausgefunden, dass dann p = 0 sein muss. Das bedeutet:
> [mm]X_{0} = \{0\}[/mm] beinhaltet nur das Nullpolynom. Die Dimension
> von [mm]X_{0}[/mm] ist also 0.
>
> Nun musst du die anderen beiden Räume bestimmen!
> Wann gilt (p,p) > 0?
> Es ist ja
>
> [mm](p,p) = \int_{-1}^{1}p^{2}(x)*x^{2} dx[/mm]
>
> Im Integranden stehen nur positive Funktionen. Wenn also p
> nicht gerade das Nullpolynom ist, so ist das Integral stets
> ... ? ...
positiv?
> Was bedeutet das für [mm]X_{+}[/mm] und [mm]X_{-}[/mm] ?
> Was bedeutet das für die Signatur?
Wenn ich das nun verstanden habe, ist es also so, dass weil das ja immer positiv ist, die Menge X- die leere Menge ist, hingegen X+ die anderen Werte beeinhaltet. Das würde bedeuten, dass X- null Elemente enthält, X0 1 Element und X+ dann alle anderen Elemente, also n-1?
> [mm]X_{0} := \{p\in V:(p,p)=0\}[/mm]
> [mm]X_{+} := \{p\in V:(p,p)>0\}[/mm]
>
> [mm]X_{-} := \{p\in V:(p,p)<0\}[/mm]
> ---
>
> Fred hat dir ja diesen Weg vorgeschlagen (er ist in diesem
> Fall wohl auch wirklich der einfachste). Was habt ihr für
> Möglichkeiten kennen gelernt, die Signatur zu bestimmen?
> Vielleicht möchtest du es lieber mit einem von euren
> Verfahren machen?
Also in den Übungen hatten wir es immer so, dass wir eine Matrix hatten, die wir diagonalisieren konnten und so konnten wir die Signatur ja dann quasi ablesen, von der Diagonalen. Leider ist das ja hier nicht möglich und ein solches Beispiel kam in der Vorlesung gar nie vor...
Vielen Dank für die Geduld,
Liebe Grüsse,
n.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:56 So 29.08.2010 | | Autor: | felixf |
Moin n.!
> > Im Integranden stehen nur positive Funktionen. Wenn also p
> > nicht gerade das Nullpolynom ist, so ist das Integral stets
> > ... ? ...
> positiv?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> > Was bedeutet das für [mm]X_{+}[/mm] und [mm]X_{-}[/mm] ?
> > Was bedeutet das für die Signatur?
> Wenn ich das nun verstanden habe, ist es also so, dass
> weil das ja immer positiv ist, die Menge X- die leere Menge
> ist, hingegen X+ die anderen Werte beeinhaltet. Das würde
> bedeuten, dass X- null Elemente enthält, X0 1 Element und
> X+ dann alle anderen Elemente, also n-1?
Nein, $X_+$ enthaelt nicht $n - 1$ Elemente, sondern unendlich viele. Naemlich alle des Vektorraums ausser 0.
> > [mm]X_{0} := \{p\in V:(p,p)=0\}[/mm]
> > [mm]X_{+} := \{p\in V:(p,p)>0\}[/mm]
>
> >
> > [mm]X_{-} := \{p\in V:(p,p)<0\}[/mm]
> > ---
> >
> > Fred hat dir ja diesen Weg vorgeschlagen (er ist in diesem
> > Fall wohl auch wirklich der einfachste). Was habt ihr für
> > Möglichkeiten kennen gelernt, die Signatur zu bestimmen?
> > Vielleicht möchtest du es lieber mit einem von euren
> > Verfahren machen?
>
> Also in den Übungen hatten wir es immer so, dass wir eine
> Matrix hatten, die wir diagonalisieren konnten und so
> konnten wir die Signatur ja dann quasi ablesen, von der
> Diagonalen.
Genau. Das geht hier auch!
> Leider ist das ja hier nicht möglich und ein
> solches Beispiel kam in der Vorlesung gar nie vor...
Wie kommst du darauf, dass es hier nicht moeglich ist? Du hast die Bilinearform gegeben und du kennst eine Basis ($1, x, [mm] x^2, x^3$) [/mm] des Vektorraums. Also stell die Grammatrix auf und diaogonalisiere sie!
Fuer Aufgabenteil c) brauchst du sie sowieso.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:18 Mo 30.08.2010 | | Autor: | natascha |
Hi, Vielen Dank für deine Antwort. Ich habe mir das mit der Grammatrix angesehen und ich denke, dass ich das besser verstehen kann. Ich habe diese nun aufgestellt und erhalte:
[mm] \pmat{ 1/6 & 0 & 2/5 & 0 \\ 0 & 2/5 & 0 & 2/7 \\ 2/5 & 0 & 2/7 & 0 \\ 0 & 2/7 & 0 & 2/9 }
[/mm]
Stimmt das soweit?
Jedoch müsste ich ja nun die Eigewerte ausrechnen, um sie dann zu diagonalisieren...das gestaltet sich jedoch sehr aufwendig, da es sehr viele lange Brüche gibt. Gibt es da einen Trick?
Vielen Dank!
Liebe Grüsse
n.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:02 Mo 30.08.2010 | | Autor: | felixf |
Moin n.!
> Hi, Vielen Dank für deine Antwort. Ich habe mir das mit
> der Grammatrix angesehen und ich denke, dass ich das besser
> verstehen kann. Ich habe diese nun aufgestellt und
> erhalte:
> [mm]\pmat{ 1/6 & 0 & 2/5 & 0 \\
0 & 2/5 & 0 & 2/7 \\
2/5 & 0 & 2/7 & 0 \\
0 & 2/7 & 0 & 2/9 }[/mm]
>
> Stimmt das soweit?
Der Eintrag oben links ist falsch. Der Rest stimmt.
> Jedoch müsste ich ja nun die Eigewerte ausrechnen, um sie
> dann zu diagonalisieren...das gestaltet sich jedoch sehr
> aufwendig, da es sehr viele lange Brüche gibt. Gibt es da
> einen Trick?
Die Eigenwerte scheinen ziemlich haesslich zu sein.
Du musst bei (c) nicht umbedingt diagonalisieren; es reicht, wenn du Gram-Schmidt auf [mm]1, x, x^2, x^3[/mm] anwendest. Die Basis, die du dann erhaelst, gehoert zur Matrix [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 }[/mm].
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:45 Fr 10.09.2010 | | Autor: | Matts |
Hallo zusammen.
ich möchte nur kurz fragen, wie man die Gram-Matrix ausrechnen kann aus der Basis [mm] {1,x,x^2,x^3}
[/mm]
danke für eine Anwort.
lg Matts
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Matts und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Hallo zusammen.
>
> ich möchte nur kurz fragen, wie man die Gram-Matrix
> ausrechnen kann aus der Basis $\{{1,x,x^2,x^3\}$
Na, wie geht das denn üblicherweise?
Du hast die Basis [mm]\{1,x,x^2,x^3\}=\{b_1,b_2,b_3,b_4\}[/mm]
Die Einträge der Grammatrix berechnen sich doch so:
[mm]a_{ij}=\langle b_i,b_j\rangle[/mm], wobei [mm]\langle , \rangle[/mm] ja oben definiert ist.
Bsp. Eintrag 2,4 der Grammatrix, also [mm]a_{24}[/mm]:
[mm] $a_{24}=\langle b_2,b_4\rangle=\int\limits_{-1}^{1}{\underbrace{x}_{b_2}\cdot{}\underbrace{x^3}_{b_4}\cdot{}x^2 \ dx}=\int\limits_{-1}^{1}{x^6 \ dx}=\ldots$
[/mm]
> danke für eine Anwort.
>
> lg Matts
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:22 Fr 10.09.2010 | | Autor: | Matts |
aha war ja gar nicht so schwer =) danke für deine schnelle antwort.
Dann sollte es auch möglich sein diese Basis mit Hilfe des Orthogonalisierungsverfahrens von Schmidt Orthogonalisieren?
mfg Matts
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:38 Fr 10.09.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Dann sollte es auch möglich sein diese Basis mit Hilfe des
> Orthogonalisierungsverfahrens von Schmidt
> Orthogonalisieren?
Ja. Das geht wie mit jedem anderen Skalarprodukt auch.
LG Felix
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