Signatur einer Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:01 Di 09.10.2007 | | Autor: | Zerwas |
| Aufgabe | [mm] A=\pmat{1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & 2 & 0 }
[/mm]
(a) Bestimmen Sie die Signatur der durch die Matrix [mm] A\in M_4(\IR) [/mm] dargestellten symmetrischen Bilinearform. Das heißt: Geben Sie die Anzahl der positiven, negativen und verschwindenden Eigenwerte (gezählt mit Vielfachheit) einer darstellenden Matrix an.
(b) Was sagt der Sylvestersche Trägheitssatz über symmetrische positiv definite Bilinearformen auf endliche dimensionalen [mm] \IR [/mm] Vektorräumen aus? |
Meine Überlegung ist die, dass ich vom Sylvesterschen Trägheitssatz ausgehe welcher besagt, dass die Signatur einer symetrischen Bilinearform nicht von deren Basis abhängt. Also kann ich Äquivalenzumformungen mit der Matrix A durchführen ohne die Signatur zu verändern.
Also:
[mm] \pmat{1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & 2 & 0 } \to \pmat{1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & -1 & -1 \\ 0 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 & -1 } \to \pmat{1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & 0 } \to \pmat{1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -2 }
[/mm]
Dies ist eine Dreiecksmatrix, deren EW auf der Hauptdiagonalen stehen [mm] \Rightarrow [/mm] 2 pos 2 neg & kein verschw.
[mm] \Rightarrow [/mm] Signatur= (2,2,0)
Geht das soweit so?
zu (b)
Hierzu habe ich leider nichts gefunden ...
Es gilt jedoch auf jeden Fall das oben genannte... was macht die Einschränkung auf positiv definite Bilinearformen jedoch aus?
Gruß Zerwas
Ich habe diese Frage auf keinem anderen Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:53 Di 09.10.2007 | | Autor: | Fulla |
Hallo Zerwas!
Zu a)
Richtig, die Matrix hat zwei positive und zwei negative Eigenwerte. (Aber die EW sind nicht 1, -1, 2, -2... sonder ziemlich kompliziert: z.B. [mm] $\frac{3}{4}+\frac{1}{4}\sqrt5+\frac{1}{4}\sqrt{62+22\sqrt5}$
[/mm]
Zu b)
In meinem Skript ist der Trägheitssatz von Sylvester so formuliert:
Sei V ein endlich-dimensionaler [mm] $\mathbb{R}$-Vektorraum, [/mm] und sei [mm] \psi [/mm] : [mm] V\times V\rightarrow\mathbb{R} [/mm] eine symmetrische Bilinearform. Dann gibt es eine Basis b von V so, dass die Fundamentalmatrix von [mm] \psi [/mm] bezüglich b die Form
[Matrix mit Diagonaleinträgen 1,...,1,-1,...,-1,0...0 sonst alles 0]
hat. Eine solche Basis nennen wir Sylvester-Basis von [mm] \psi [/mm] .
Ich denke die Antwort auf b) ist, dass es bei reellen Bilinearformen eben diese Form mit 1, -1, 0 auf der Diagonalen gibt. Siehe auch ![[]](/images/popup.gif) hier.
Ich hoffe das hilft dir ein bisschen weiter...
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:14 Di 09.10.2007 | | Autor: | Zerwas |
vielen dank erstmal ... zu(b) hört sich logisch an :)
zu (a) ich habe mir eben ob der Kompliziertheit der EW der "Original-Matrix" die Umformung überlegt, da ich die Aufgabe im Kopf zu lösen sein sollte.
Wobei das Ergebniss die EW ja nicht explizit erfordert und das also so gehen sollte oder?
Gruß Zerwas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Do 11.10.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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