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Hallo,
ich besuche einen Mathe-LK in Bayern (K13) und bin beim Durcharbeiten von früheren Abiaufgaben auf folgendes Problem gestoßen.
Abi 2000, III
Aufgabe: Angeblich bevorzugen mindestens 30% der Kaffeetrinker koffeinfreien Kaffe.
Entwerfen Sie auf der Basis von 800 Befragten einen geeigneten signifikanztest mit dem Sign.niveau 5%. Ermitteln Sie die Entscheidungsregel; legen Sie dabei die Nominalverteilung als Näherung zugrunde.
Warum lautet der Ansatz P(x<=c)<=0,05
(<= bedeutet "kleiner/gleich")
Mich interessiert lediglich, warum diese Ungleichheitszeichen gewählt werden und keine anderen.
Danke im Voraus
Michael
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:33 Di 13.04.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Michael!
Willkommen im Matheraum!
Es ist die Hypothese
[mm]H_0: p \ge 0,3[/mm]
zu testen. Nun, wann lehnen wir diese Hypothese ab?
Wenn signifikant wenige Kaffeetrinker bevorzugt koffeinfreien Kaffee trinken!
Denn wir behaupten ja, dass die Wahrscheinlichkeit, dass Kaffeetrinker bevorzugt koffeinfreien Kaffee trinken, größer als oder gleich einem bestimmten Wert (in diesem Fall [mm]p_0=0,3[/mm]) ist und wenn es dann sehr wenige Kaffeetrinker sind, die bevorzugt koffeinfreien Kaffee trinken, dann werden wir misstrauisch. Nehmen wir mal an, wir haben so wenige Kaffeetrinker beobachtet, die bevorzugt koffeinfreien Kaffee trinken, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass so wenige Kaffeetrinker bevorzugt koffeinfreien Kaffee trinken, unter unserer Hypothese kleiner oder gleich 5% ist. Dann sagen wir uns: Moment mal: Wenn wir annehmen, dass [mm]p\ge p_0=0,3[/mm] ist und selbst im Fall [mm]p=p_0=0,3[/mm] die Wahrscheinlichkeit für so wenige bevorzugt koffeinfreien Kaffee trinkenden Kaffeetrinker bereits kleiner oder gleich als 5% ist, dann ist uns das zu unwahrscheinlich, dass dieser Fall eingetreten ist und wir müssen unsere Hypothese wohl oder übel aufgeben. Die Wahrscheinlichkeit, dass wir sie dann zu Unrecht aufgeben, beträgt zwar 5%, aber dieses Risiko gehen wir ein.
Wir suchen also ein [mm]c[/mm], so dass (unter unser Hypothese)
[mm]P(X\le c) \le 0,05[/mm]
gilt. Wenn wir dann höchstens [mm]c[/mm] Kaffeetrinker beobachten, die bevorzugt koffeinfreien Kaffee trinken, dann ist die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis kleiner oder gleich 5% und wir lehnen unsere Hypothese ab.
Wenn wir mehr als [mm]c[/mm] Kaffeetrinker beobachten, die bevorzugt koffeinfreien Kaffee trinken, dann können wir keine Aussage machen und unsere Hypothese nicht widerlegen. Dann müssen wir unserer Hypothese Glauben schenken, können uns dabei aber keinesfalls sicher sein. Wir konnten die Hypothese dann eben nur nicht auf dem 5%-Niveau widerlegen.
Alles klar? 
Liebe Grüße
Julius
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Hallo Stefan,
vielen Dank für die schnelle Antwort.
Habe ich das also richtig verstanden, wenn ich die Lösung folgendermaßen interpretiere:
Wir lehnen die Hypothese, dass mindestens 30% der Kaffeetrinker koffeinfreien Kaffee bevorzugen ab, wenn wir [mm] \le [/mm] c Personen finden, die koffeinfreien Kaffee trinken und die Wahrscheinlichkeit dafür [mm] \le [/mm] 5% ist. Hm... Nein... Was besagen die 5%? Sie bedeuten doch, dass die Abweichung höchstens 5% sein darf, oder?
Also nochmal: Wir dürfen höchstens c Personen finden, die KEINEN koffeinfreien Kaffee trinken, dass die Wahrscheinlichkeit, diese Personen zu finden, höchstens um 5% von [mm] H_0 [/mm] abweicht?
Sorry, aber ich hab da ein echtes Verständnisproblem 
Gruß
Michael
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:23 Mi 14.04.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Michael!
> Wir lehnen die Hypothese, dass mindestens 30% der
> Kaffeetrinker koffeinfreien Kaffee bevorzugen ab, wenn wir
> [mm]\le[/mm] c Personen finden, die koffeinfreien Kaffee trinken und
> die Wahrscheinlichkeit dafür [mm]\le[/mm] 5% ist. Hm... Nein...
Doch!
> Was
> besagen die 5%? Sie bedeuten doch, dass die Abweichung
> höchstens 5% sein darf, oder?
Nein.
> Also nochmal: Wir dürfen höchstens c Personen finden, die
> KEINEN koffeinfreien Kaffee trinken, dass die
> Wahrscheinlichkeit, diese Personen zu finden, höchstens um
> 5% von [mm]H_0[/mm] abweicht?
Nein.
Also, dein erster Ansatz war richtig.
Pass mal auf, wir machen mal ein Gedankenexperiment. Stell dir vor, du vermutest, dass mindestens 30% der Kaffeetrinker bevorzugt koffeinfreien Kaffee trinken und willst diese These untersuchen.
Nehmen wir mal an du fragst 1000 Kaffeetrinker, ob sie bevorzugt koffeinfreien Kaffee trinken und nur 10 davon sagen ja. Dann sagst du: Hmmh, meine Hypothese war wohl falsch. Wenn nur 50 ja sagen, dann sagst du wohl auch, dass deine Hypothese falsch war. Was aber, wenn 150 bevorzugt koffeinfreien Kaffee trinken? Oder 200? Was machst du dann? Dann ist es nicht mehr so klar, was mit deiner Hypothese ist. Laut deiner Hypothese sollten zwar rund 300 Leute koffeinfreien Kaffee trinken, aber wenn es 299 wäre, würdest du garantiert auch nicht an deiner Hypothese zweifeln. Wann ist also der Punkt erreicht, ab dem du sagst: "Wenn wider Erwarten so wenige Leute koffeinfreien Kaffee trinken, dann kann ich meine Hypothese nicht halten!" Bei 150? Bei 130? Bei 100? Hmmh. Du brauchst ein Entscheidungskriterium. Und zwar lautet das so:
Wenn es so wenige Leute sind, die koffeinfreien Kaffee bevorzugen, dass die Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen dieses Ereignisses unter Annahme der Hypothese kleiner oder gleich 5% ist, dann lasse ich meine Hypothese fallen.
Ich muss also ein [mm]c[/mm] suchen, so dass die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis, dass die Anzahl [mm]X[/mm] der koffeinfreien Kaffee Bevorzugenden kleiner oder gleich [mm]c[/mm] ist, kleiner oder gleich 5% ist. Dann habe ich ein Entscheidungskriterium. Wenn [mm]X\le c[/mm] ist, dann ist die Wahrscheinlichkeit dafür höchstens 5%, also sehr klein. So klein, dass ich meine Hypothese beruhigt ablehnen kann. Andernfalls, also im Falle [mm]X>c[/mm] ist die Wahrscheinlichkeit, dass ich mich irre und meine Hypothese zu Unrecht ablehne, zu groß, nämlich größer als 5%.
> Sorry, aber ich hab da ein echtes Verständnisproblem
Immer noch? Dann melde dich noch mal und frag nach.
Liebe Grüße
Julius
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Hallo zusammen,
okay, ich frage 1000 Personen, welche Art von Kaffee sie bevorzugen. Wenn davon mehr als 5%, also ab 51 Personen koffeinfreien Kaffee trinken, lehne ich meine Hypothese nicht ab, richtig? Aber diese 5% sind doch weit entfernt von den eigentlichen 30%.
Grüße
Michael
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:06 Mi 14.04.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Michael!
> okay, ich frage 1000 Personen, welche Art von Kaffee sie
> bevorzugen. Wenn davon mehr als 5%, also ab 51 Personen
> koffeinfreien Kaffee trinken, lehne ich meine Hypothese
> nicht ab, richtig?
Nein. Du lehnst dann ab, wenn die Wahrscheinlichkeit, dass so wenige Personen koffeinfreien Kaffee trinken, kleiner als 5% ist. Dann fallen im Allgemeinen nicht nur 5% der Befragten in den Ablehnungsbereich (das wäre nur dann der Fall, wenn man eine Gleichverteilung annehmen würde), sondern deutlich mehr. Bei den Verteilungen, die man normalerweise annimmt (etwa Binomialverteilung oder Normalverteilung) schwanken die Zahlen ja um den Erwartungswert herum, sprich: das 5%-Quantil (wenn man mit seiner "Messung" unter dem liegt, ist die Wahrscheinlichkeit mit seiner Messung so tief zu liegen, höchstens 5%) liegt in der Nähe des Erwartungswertes. Natürlich hängt das von der Standardabweichung ab, die man annimmt.
Jetzt klarer?
Viele Grüße
Julius
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