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| Aufgabe | Ein Pharma-Hersteller hat ein neues Medikament gegen Schlaflosigkeit entwickelt. Das bisher beste Medikament auf dem Markt zeigt in 50% der Fälle eine ausreichendce Wirkung. Erste Anwendungen lassen den Hersteller vermuten, dass das neue Medikament in einem noch größeren Anteil ausreichende Wirkung zeigt. Dies soll in einer Studie mit 50 Patienten untersucht werden. Die Hypothese soll nur dann angenommen werden, wenn das Medikament bei mehr als 30 Patienten ausreichend wirkt.
A) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird das neue Medikament als besser als das bisherige eingestuft, obwohl dieser Sachverhalt gar nicht zutrifft?
B) Wie groß muss die Anzahl der Patienten bei denen das Medikament ausreichend wirkt mindestens sein, wenn die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Medikament zu Unrecht als den alten Medikamenten pberlegen eingestuft wird maximal 1% betragen soll?
C) Das Medikament soll tatscächlich bei 60% bzw. 70% bzw. 80% der Patienten ausreichende Wirkung zeigen. Mit welcher Irrtumswahrscheinlichkeit wird es dann im Test a) trotzdem als nicht besser als die bisherigen Medikamente bewertet? |
Hallo,
wir haben die oben gestellte Aufgabe in unserem letzten Test gestellt bekommen, jetzt sollten wir sie als Hausaufgabe noch mal bearbeiten. Eigentlich find ich Signifikanztests relativ einfach, aber irgendwie ist entweder die Aufgabe etwas verdreht, oder ich total verwirrt. Vielleicht könnt ihr mir ja weiterhelfen. Hier ist mein Lösungsversuch:
50 Patienten werden untersucht -> n=50
Da [mm] H_{0} [/mm] angenommen wird, wenn [mm] \overline{k} [/mm] > 30 ist, müsste [mm] H_{0}: [/mm] p > 0.50 sein
-> [mm] H_{1} [/mm] wäre folglich [mm] H_{1}: [/mm] p [mm] \le [/mm] 0.50 -> es handelt sich um einen linksseitigen Test
Ablehnungsbereich k = {0,1,...,30}
Das Risiko 1. Art, bzw. die Irrtumswahrscheinlichkeit, besagt wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass eine richtige Hypothese trotzdem abgelehnt wird. In diesem Fall müsste also gefragt werden, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass das Medikament als gleich, oder schlechter als das alte Medikament eingestuft wird, obwohl es in Wirklichkeit besser ist.
In A) scheint mir aber nach dem Risiko 2. Art gefragt zu sein, da hier eine falsche Hypothese angenommen wird. Um selbiges zu berechnen brauche ich aber die tatsächliche Wahrscheinlichkeit. Deshalb habe ich kurzerhand die Hypothesen ausgetauscht:
[mm] H_{0}: [/mm] p [mm] \le [/mm] 0.50 und [mm] H_{1}: [/mm] p > 0.50 -> rechtsseitiger Test
Jetzt ist der Ablehnungsbereich k = {31,32,...,50}
Ist das nicht ein Widerspruch zur Annahmebedingung???
P(X [mm] \ge [/mm] g) = [mm] \summe_{i=g}^{n} f_{B}(i; [/mm] n; [mm] p_{0})= [/mm] 1- [mm] F_{B}(g-1; [/mm] n; [mm] p_{0}) \le \alpha [/mm]
[mm] f_{B}=Wahrscheinlichkeitsfunktion [/mm]
[mm] F_{B}=Verteilungsfunktion [/mm] (kummuliert)
[mm] \alpha \ge [/mm] 1- [mm] F_{B}(30; [/mm] 50; 0.5) = 1- .9405 = .0595
Auch bei B) stehe ich vor dem gleichen Problem, wenn ich die Hypothesen nun wie unter A) wähle, folgt
0.01 [mm] \ge [/mm] 1- [mm] F_{B}(g-1; [/mm] 50; 0.5) -> [mm] F_{B}(g-1; [/mm] 50; 0.5) = 0.99 -> g-1 = 33 -> g = 34 Das Medikament muss bei mindestens 34 Patienten ausreichend wirken, damit [mm] \alpha [/mm] unterhalb der 1%-Grenze bleibt; wobei bei der verwendeten Hypothese die Antwort wohl eher lauten müsste, dass das Medikament nicht bei mehr als 33 Patienten eine positive Wirkung zeigen darf, damit die Hypothese nicht fälschlicherweise abgelehnt wird, da nun der Ablehnungsbereich k = {34, 35, ..., 50} ist.
C) [mm] \beta [/mm] = [mm] \summe (i=\overline{k}) f_{B}(i; [/mm] n; [mm] p_{tatsächlich})
[/mm]
Angenommen wird zwischen 31 und 50 ->
[mm] \beta(0.6) [/mm] = [mm] \summe_{i=31}^{50} f_{B}(i; [/mm] 50, 0.6) = 0.4465
[mm] \beta(0.7) [/mm] = [mm] \summe_{i=31}^{50} f_{B}(i; [/mm] 50, 0.7) = 0.9152
[mm] \beta(0.8) [/mm] = [mm] \summe_{i=31}^{50} f_{B}(i; [/mm] 50, 0.8) = 0.9991 Zumindest folglich der Annahmebedingung der Aufgabenstellung, setzte ich auch hier um auf [mm] H_{0} [/mm] <= 0.50
ist der Annahmebereich 0 bis 30 ->
[mm] \beta(0.6) [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{30} f_{B}(i; [/mm] 50, 0.6) = 0.5535
[mm] \beta(0.7) [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{30} f_{B}(i; [/mm] 50, 0.7) = 0.0848
[mm] \beta(0.8) [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{30} f_{B}(i; [/mm] 50, 0.8) = 0.0009 Die Wahrscheinlichkeit, dass das Medikament trotz seiner besseren Wirkung nicht als rentabler erkannt wird beträgt [mm] \beta(0.6) [/mm] bzw. [mm] \beta(0.7) [/mm] bzw. [mm] \beta(0.8).
[/mm]
A) und B) habe ich mit Hilfe der Siebertafeln bestimmt, C) mit dem Taschenrechner, Tabellen, wären aber auch kein Problem gewesen. Nur wüsste ich jetzt ganz gerne, ob ich die Aufgabe zunächst falsch interpretiert habe, ob sie falsch gestellt ist, oder ob ich irgendeinen ganz anderen Fehler gemacht habe.
Danke schon mal im Vorraus,
Rachel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:07 So 28.01.2007 | | Autor: | Walde |
Hi Rachel,
meiner Meinung nach ist die Aufgabenstellung etwas unglücklich formuliert.
Die Vermutung der Firma soll durch einen Test bestätigt werden. Etwas durch einen statistischen Test belegen/bestätigen kann man NUR, wenn man die Nullhypothese ablehnen kann! Denn nur dann hat man ja ein (gegen [mm] H_0) [/mm] signifikanntes Ergebnis erhalten. Deshalb ist es entscheident, was man als Nullhypothese wählt. Im Aufgabentext heisst es "Die Hypothese soll nur dann angenommen werden, wenn das Medikament bei mehr als 30 Patienten ausreichend wirkt. " Das ist der unglücklich formulierte Punkt.Es hätte besser"Die Vermutung der Firma, soll nur dann..." heissen sollen.
Eine Nullhypothese, die nicht ablehnt werden kann, erlaubt keine bedeutsame Aussage über deren Gültigkeit. Es konnten dann nur keine starken Hinweise dagegen gefunden werden. Wird eine Nullhypothese aber abgelehnt, irrt man sich nur in seltenen Fällen (mit W'keit [mm] \alpha=Fehler [/mm] 1.Art).
Damit die Vermutung "Medikament ist besser" als statistisch belegt angesehen werden kann, muss die Nullhypothese " Medikament ist nicht besser" abgelehnt werden. Und das soll der Fall sein, wenn es bei mehr als 30 von 50 Patienten wirkt, was dann als signifikant (besser als 50%) angesehen wird.
Demnach muss die Nullhypothese lauten:
[mm] $H_0:p\le0,5$ $H_1:p>0,5$
[/mm]
(Ein rechtsseitiger Test)
Bei a) ist dann tatsächlich nach der W'keit für einen Fehler 1.Art gefragt.
b) und c) schaffst du dann ja auch.
L G walde
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